สวัสดีครับทุกคนที่รักธรรมชาติ

    สบายดีกันนะครับ เมื่อวาน (18.เมษายน 2551) โปรเฟสเซอร์วิลลี่ เยเกอร์ ท่านได้พูดในสัมมนาเรื่อง

Kann die Natur Mathematik? แปลตรงๆ เป็นอังกฤษจะได้ว่า Can nature Mathematics?

มีจำนวนผู้เข้าฟังสัมมนาเต็มห้องเลยครับ ตั้งแต่น้องๆ ระดับมัธยมศึกษา ไปจนถึง นักศึกษาในมหาวิทยาลัย ระดับต่างๆ จนถึงโปรเฟสเซอร์อีกหลายๆ คนเข้าร่วมฟังครับ  เวลาผมเห็นบรรยากาศแบบนี้นะครับ ทำให้ผมนึกถึงอยากให้มีบรรยากาศแบบนี้ในประเทศไทย บ้านเรามากๆ เลยครับ

(From http://www.ph-heidelberg.de/wp/filler/mathabend/matheabend1.html)

    ผมจึงขอนำแนวคิดเกี่ยวกับธรรมชาติกับคณิตศาสตร์มาฝากนะครับ ว่าด้วยเรื่องของจากลำัดับฟิโบนักชี Fibonacci sequence มาสู่ธรรมชาติดูนะครับ จริงๆ ว่าไปก็คือ ลำดับเลขฟิโบนักชีก็ได้จากการสังเกตของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนชื่อ เลโอนาร์โด ฟีโบนักชี (Leonardo Fibonacci) แห่งเมื่องปิซา ในสมัย ค.ศ. 1202 นะครับ ได้สังเกตจำนวนคู่ของกระต่าย

โดยมีข้อมูลดังนี้คือ

เดือนที่ 1      มีลูกกระต่าย 1 คู่
เดือนที่ 2      มีลูกกระต่าย 1 คู่
เดือนที่ 3      มีลูกกระต่าย 2 คู่
เดือนที่ 4      มีลูกกระต่าย 3 คู่
เดือนที่ 5      มีลูกกระต่าย 5 คู่
เดือนที่ 6      มีลูกกระต่าย 8 คู่
เดือนที่ 7      มีลูกกระต่าย 13 คู่
เดือนที่ 8      มีลูกกระต่าย 21 คู่
เดือนที่ 9      มีลูกกระต่าย 34 คู่

ไปเรื่อยๆ โดยมีความสัมพันธ์ว่า

จำนวนกระต่ายในเดือน นั้น มีจำนวนคู่ เ่ท่ากับจำนวนกระต่ายในสองเดือนก่อนนั้น รวมกัน

เช่น กระต่ายในเดือนที่ 10 เท่ากับจำนวนกระต่ายในเดือนที่ 9 รวมกับ เดือนที่ 8 ซึ่งมีจำนวน 55 คู่นั่นเอง

เราจึงนำจำนวนคู่ของกระต่ายมาเรียงต่อกันเป็นลำดับ ดังนี้

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .... ไปเรื่อยๆ

และเราเรียกลำดับชุดตัวเลขนี้ว่า ลำดับฟิโบนักชี นั่นเองครับ

(ภาพจาก ... http://britton.disted.camosun.bc.ca/fibslide/fib00.jpg )

ผมจะยกตัวอย่างหนึ่ง เกี่ยวกับ ดอกไม้ก็แล้วกันนะครับ ทุกคนก็เคยชินและคุ้นกับการนับกลีบดอกไ้ม้อยู่แล้วนะครับนะครับ เช่น ที่เราเล่นกันว่า รัก ไ่ม่รัก รัก ไม่รัก นับไปเรื่อยๆ จนกว่าจะหมดกลีบครับ...ซึ่งโดยส่วนใหญ่เรากำหนดได้่ว่าจะให้ลงท้ายด้วยคำว่า รักหรือ ไม่รัก หากเรารู้ว่า จำนวนกลีบของดอกไม้นั้นๆ ว่ามีกี่กลีบนะครับ

มาดูกันเลยนะครับ

  • จำนวน หนึ่งกลีบ เช่น white calla lily
  • จำนวน 2 กลีบ เช่น euphorbia
  • จำนวน 3 กลีบ เช่น trillium
  • จำนวน 5 กลีบ เช่น columbine
  • จำนวน 8 กลีบ เช่น bloodroot
  • จำนวน 13 กลีบ เช่น black-eyed susan
  • จำนวน 21 กลีบ เช่น shasta daisy
  • จำนวน 34 กลีบ เช่น field daisies

    เห็นไหมครับ ว่าดอกไม้ส่วนใหญ่จะีมีจำนวนกลีบเท่ากับจำนวนค่าตัวเลขค่าใดค่าหนึ่ง เป็นส่วนใหญ่ครับ แต่ก็มีดอกไม้จำนวนหนึ่งนะครับ ที่ไม่เป็นไปตามหลักนี้ครับ เช่น มี จำนวน 4 กลีบ หรือ 6 กลีบ หรือ 10 ดอก ครับ

    นี่คือตัวอย่างที่ อยู่นอกเหนือกฏจากลำดับนี้นะครับ กรณีที่เป็นดอกไม้นะครับ


This flower (prairie blue-eyed grass) has six petals. มี 6 กลีบ
Credit: I. Peterson (from http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_05_06.html)


A flower with 10 petals. มี 10 กลีบ
Credit: I. Peterson (from http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_05_06.html)

 

คราวนี้ เรามาลองพิจารณากรณีที่เป็นต้นไ้ม้ดูบ้างนะครับ

จากภาพต้นไม้ตัวอย่างนี้นะครับ หากเราแบ่งเป็นระดับชั้นๆ ดังต่อไปนี้นะครับ

คุณลองนับดูไหมครับ นับจำนวนกิ่งดูไหมครับ ว่าในแต่ละชั้นได้จำนวนกิ่งกี่กิ่งครับ

เห็นไหมครับ ว่าจะได้ตัวเลข เป็นชุดในลำดับของ ฟิโบนักชีเลยครับ แล้วหากเรานับจำนวนใบดูละครับ

จำนวนใบก็เป็นไปตามนั้นเช่นกันนะครับ แต่นี่อาจจะเป็นจำนวนพืชเพียงจำนวนหนึ่งครับที่เป็นไปตามแบบนี้ครับ

มาดูอีกกรณีนะครับ การนับจำนวนกิ่งและลำต้นนะครับ

ต่อไปมาลองดูอีกตัวอย่างนะครับ เกี่ยวกับการจัดเรียงใบ ของใบไม้นะครับ ตามหลักแล้วธรรมชาติได้ออกแบบมาอย่างชาญฉลาดมากๆ นะครับ ใบไม้มักจะมีการจัดเรียงใบเพื่อรับแสง

หากคุณเคยสังเกตต้นไม้ ใบไม้ เราจะเห็นการจัดเรียงของใบไม้ มาลองดูโมเดลจำลองการจัดเรียงของใบไม้จากใบล่างสุดไปยังใบสูงสุดครับ

    สิ่งที่เราจะพิจารณาได้คือ จากใบล่างสุด แล้วก็ให้นับจำนวนใบวนทวนเข็มนาฬิกาโดยนับค่าสองค่าดังต่อไปนี้คือ

  1. จำนวนใบ (Leaves)
  2. จำนวนรอบ (Revolutions)

    ความหมายก็คือว่า ให้สังเกตใบที่เรายึดล่างสุด จะอยู่ตรงกับอีกใบหนึ่งในชั้นบน นั่นคือ จำนวนใบในการครบกี่รอบ นั่นเอง  ยกตัวอย่างเช่น

    เรานับได้  ว่า  มีจำนวน 2 รอบ มีจำนวน 5 ใบ  เราจะได้อัตราส่วนที่เรียกว่า Phyllotaxis ครับ

โดยค่านี้ จะมีค่าทำกับ = จำนวนรอบ ต่อ จำนวนใบที่มี  = 2/3 นั่นเอง

เราลองมานับดูนะครับ ว่าวิธีการจัดเรียงใบของต้นใบอย่างชาญฉลาดเพื่อเพิ่มพื้นที่การรับแสงในการนำไปสังเคราะห์อาหารในการเลี้ยงอุ้มชูลำต้นนะครับ

ภาพจาก http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

ค่านี้จะเป็นค่าการจัดเรียงใบของพืชนั้นๆ นั่นเองครับ พืชแต่ละชนิดจะมีค่านี้ต่างๆ กันไปครับ แต่ในพันธุ์เดียวกันจะมีการเรียงเหมือนกัน เช่น 1/2, 3/5,  3/8, 5/8, ....

    ในตัวเลขในลำดับฟิโบนักชี ยังสามารถจะอธิบายการจัดเรียงเมล็ดของทานตะวันได้อีกเช่นกันครับ หรือการจัดเรียงของตาสับปะรด ดังเช่นภาพต่อไปนี้ครับ

และสำหรับ สับปะรด

ว่างๆ มีโอกาสซื้อหรือเจอสิ่งเหล่านี้ลองนับๆ กันดูนะครับ เป็นคณิตศาสตร์ในธรรมชาติ ที่อยู่ใกล้ตัวเรานั่นเองครับ

    คราวนี้....หากเรากลับไปดูลำดับฟิโบนักชีกันอีกรอบนะครับ

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .... ไปเรื่อยๆ

    หากเรานำค่าสองค่าที่อยู่ติดกันมาหารกัน โดยเอาตัวหน้าตั้งและตัวที่ตามมาเป็นตัวหาร เราจะได้ว่า

1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89, ... ไปเรื่อยๆ

เราจะเรียกค่าอัตราส่วนนี้ว่า อัตราส่วนทอง Golden Ratio นั่นเองครับ ซึ่งค่านี้ จะมีความสำคัญในการอธิบายและออกแบบของธรรมชาติมากๆ นักออกแบบทั้งหลายจึงนิยมใช้ อัตราส่วนทองและตัวเลขฟิโบนักชีในการนำไปประยุกต์ใช้จนอย่างแพร่หลายในปัจจุบัน

เห็นไหมครับ ว่าในธรรมชาิตินั้น มีอะไรใกล้ๆ ตัวเรามากมาย แม้แต่ตัวเราก็มีตัวเลขและอัตราส่วนทองอีกมากมายเลยนะครับ ผมจะนำเสนอในตอนต่อๆ ไปนะครับ

Pinecone!Bones!

  • ปุ่มของลูกสน
  • เมล็ดดอกทานตะวัน มีการจัดเรียงตัวเป็นเกลียวที่หมุนตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกา
  • อัตราส่วนระหว่างเส้นผ่านศูนย์กลางของเกลียวเปลือกหอยนอติลุส
  • เกลียวการหมุนของยอดปุ่มของกะหล่ำดอกพันธุ์โรมาเนตโก (Romanesco)
  • ความยาวของกระดูกนิ้วมือแต่ละข้อจะมีอัตราส่วนเรียงตามลำดับเลขฟีโบนักช

(From http://learners.in.th/blog/eva/55052 )

คุณไปฟังเพิ่มเติมได้จากที่นี่ด้วยนะครับ... น่าสนใจ เป็นการบอกว่าเราพบจากที่ไหนอีกบ้างครับ ในตัวอย่างจากคลิปข้างล่างนี้ จะบอกและยกตัวอย่างมากมายจากธรรมชาตินะครับ

 

จาก http://www.youtube.com/watch?v=P10wGxupVcY

และตัวอย่างอื่นๆ เช่น

  • การไหลของน้ำลงในอ่างล้างจาน
  • การหมุนของพายุไต้ฝุ่น
  • การงอนของเขาสัตว์
  • การขดของลายนิ้วมือก้นหอยของคน
  • ระยะต่างๆ ของคนเรา ทั้งภายในภายนอก
  • และอื่นๆ อีกมากมายครับ

ข้อมูลอ้างอิงจาก...

    สำหรับการที่มนุษย์จะนำตัวเลขนี้ไปใช้ ผมจะทยอยเขียนให้อ่านกันนะครับ... เพราะมีบทบาทในการนำไปใช้ในด้านต่างๆ เช่น

  • การสร้างบ้าน ปราสาท และทางการก่อสร้างในด้านวิศวกรรมและสถาปัตย์
  • การออกแบบบัตรต่างๆ เช่น บัตรเอทีเอ็ม และบัตรต่างๆ จะเป็นบัตรที่เรียกว่า สี่เหลี่ยมฟิโบนักชี
  • การออกแบบรถยนต์ในชิ้นส่วนต่างๆ

  • อื่นๆ อีกมากครับ... เพราะเราพบตัวเลขเหล่านี้จากธรรมชาติ ดังนั้นสิ่งที่มนุษย์สร้างขึ้นก็จะนำมาจากธรรมชาติด้วยนะครับ เพราะเราเชื่อว่าสิ่งเหล่านั้น ธรรมชาติเลือกดีที่สุดแล้ว การที่เราสร้างของใหม่ๆ ขึ้นมาก็นำมาใช้เพื่อให้กลมกลืนกับธรรมชาติด้วยครับ... นี่คือ

จากความงามของธรรมชาติ

สู่
ความงามของคณิตศาสตร์

The beauty of Mathematics from Nature

ขอบพระคุณมากนะครับ

เม้ง