GotoKnow
  • เข้าระบบ
  • สมัครสมาชิก
  • แผงจัดการ
  • ออกจากระบบ
GotoKnow

คูณเลขสองชุดที่ลงท้ายด้วย 5 ในใจ

บางครั้งซื้อของ ต้องมีการคิดเลขในใจ เช่น ซื้อทุเรียน 3.5 กิโลกรัม กิโลกรัมละ 65 บาท ซึ่งตัวเลขที่พบบ่อย มีการลงท้ายด้วย 5

กรณีแรก เป็นกรณีเฉพาะ คือเลขลงท้ายด้วย 5 ยกกำลังสอง

มีวิธีคิดลัดกรณีนี้ที่ผมเคยอ่านเจอสมัยเด็ก อยากอ้างอิงแหละครับ แต่จำไม่ได้ และหาอ้างอิงไม่ได้แล้ว ผ่านมานานเกินไป

วิธีการคือ ให้นำเลขหน้า คูณกับ (เลขหน้า+1) แล้วเติม 25 ห้อยท้าย

เช่น 65 ยกกำลังสอง ก็จะหยิบเลขหน้า คือ 6 ออกมา

6 คูณกับ (6+1) = 6 x 7 = 42

เติม 25 ต่อท้าย ก็จะได้ 4225

กรณีที่สอง เป็นกรณีทั่วไป 

เช่น  45 x 85

วิธีนี้ผมคิดเองตอนเด็ก แล้วบังเอิญใช้ได้ จะว่าคิดก็ไม่ใช่ซะทีเดียว ต้องเรียกว่ามองเห็น เพราะผมมองว่า น่าจะเอากรณีเลขยกกำลังสองนั่นแหละ มาปรับใช้

ปรับใช้ยังไง ?

ถ้าผมเอา 4 คูณ (8+1) ก็คงไม่ยุติธรรมกับ 8 x (4+1) จริงไหม ?

ในมุมกลับ ถ้าเอา 8 x (4+1) ก็คงไม่ยุติธรรมกับ 4 คูณ (8+1) เช่นกัน

เอาทั้งคู่ก็ไม่ได้ ต้องเอามารายการเดียว 

เพื่อให้ยุติธรรม ก็ต้องแบ่งกัน

4 คูณ (8+1) มาแบ่งเฉลี่ยกับ 8 คูณ (4+1)

ก็คือ (36 + 40) หาร 2

ก็ได้ 38

คราวนี้ก็เติม 25 ตามหลัง ก็ได้ 3825 เสร็จเรียบร้อย

ลองตรวจสอบดู เอ๊ะ ตรง

หลังจากตรวจสอบดูหลาย ๆ ครั้ง เอ๊ะ ใช้ได้ แต่บางครั้งก็เจอกรณีที่เฉลี่ยแล้วไม่ลงตัว

ลองดูอย่างเช่น 75 x 45

ทำตามวิธีข้างต้น ได้ ((7 x 5) + (4 x 8)) / 2 = (35+32)/2 = 33.5

ทำไงกับ 0.5 ล่ะ ?

กรณีที่หารแล้วมี 0.5 ก็ให้ใช้ 75 เป็นตัวต่อท้าย

กรณีนี้ 75 x 45 จึงได้ 3375

หลังจากนั้น เมื่อเรียนพีชคณิต ผมก็ลองหยิบกรณีเหล่านี้มาพิสูจน์ดู ก็เห็นชัดว่า วิธีคิดลัดตามนี้ สอดคล้องกับหลักพีชคณิต

เช่น กรณีแรก เช่น 35 ยกกำลังสอง

ทำให้เป็นพีชคณิต ก็จะเป็น (10a+5) คูณ (10a+5)

ก็จะได้ 100 a*a+ 100 a + 25 = 100*a*(a+1) + 25

ซึ่งถ้าดูให้ดี การที่มี 100 มาคูณ a(a+1) เป็นการรับประกันว่า จะไม่มีส่วนไหนล้ำไปยังสองตำแหน่งหลังเลย เพราะไม่ว่าคูณกันได้เท่าไหร่ ก็เป็นเรื่องของระดับหลักร้อยล้วน ๆ ดังนั้น การต่อท้ายด้วย 25 จึงทำได้ทันที

ผลคือ 35 กำลังสอง ก็จะได้ 1225

ส่วนกรณีที่สอง เช่น 35 x 65

ก็คือกรณี (10a+5)(10b+5)

ก็จะได้ 100ab + 50a + 50b + 25

จำตรงนี้ไว้ดี ๆ นะครับ เพราะจะสามารถแตกแขนงไปสู่ข้อสรุปใหม่

ตรงนี้ ถ้าจับมาพิสูจน์เอกลักษณ์ ก็จะได้เท่ากับ 100{ [a(b+1) + b(a+1)]/2 } + 25 ซึ่งตรงกับที่ผมว่าไว้ตอนต้น

แต่จากพีชคณิตนี้ มีวิธีจัดเรียงใหม่ที่เรียบง่ายสวยงามกว่ามาก นั่นคือ จัดเรียงให้เป็น

100 [ab + (a+b)/2] + 25

ซึ่งสรุปเป็นการกระทำก็คือ ให้เลขเลขหน้าทั้งคู่คูณกันเอง บวกด้วยค่าเฉลี่ยของเลขหน้า ถ้าเฉลี่ยแล้วลงตัว ให้เติม 25 หรือถ้าเฉลี่ยแล้วไม่ลงตัว ให้เติม 75

ดังนั้น 35 x 65 ก็จะได้ว่า ข้างหน้า จะต้องเป็น (3 x 6 บวกค่าเฉลี่ยของ 3 และ 6) = 18 + 4.5 = 22.5 ดังนั้น คำตอบ จะกลายเป็น 2275

จากกรณีนี้ สอนใจผมว่า

  • การแก้ปัญหาโดยเน้นความสมมาตรเชิงรูปภาพ  เป็นวิธีการคิดแบบหนึ่ง เป็นการคิดเป็นภาพ ซึ่งบางครั้งอาจนำมาใช้แก้ปัญหาได้เหมือนกัน
  • การลองผิดลองถูก ก็เป็นวิธีที่พอใช้ได้ แต่ต้องพิสูจน์กันหน่อยว่าไม่ได้สรุปผิด
  • สมการ หรือปรากฎการณ์ อาจมีได้หลายหน้า บางหน้าอาจใช้ประโยชน์ได้ง่ายกว่า บางหน้าก็อาจใช้ยากกว่า บางหน้าเราเข้าใจง่าย บางหน้าเราอาจไม่เข้าใจ ดังนั้น เมื่อเจอสิ่งที่ไม่เข้าใจ ลองตั้งคำถามตัวเองว่าเรากำลังมองผิดมุมอยู่ไหม

 

บันทึกนี้เขียนที่ GotoKnow โดย 

คำสำคัญ (keywords): คณิตศาสตร์อุปมา
หมายเลขบันทึก: 58862
เขียน:
แก้ไข:
ความเห็น: 2
อ่าน:
สัญญาอนุญาต: สงวนสิทธิ์ทุกประการ

ความเห็น (2)

เอ ทีบันทึกนี้เรารู้เรื่องค่ะ

พอใช้ได้นะคะ..อาจารย์ หมายถึงดิฉันน่ะค่ะ

สวัสดีครับ คุณหมอP  จริยา

  • ทำไมถ่อมตัวยังงั้นล่ะครับ ?
  • เรื่องเคล็ดพวกนี้ ดูให้ดี ๆ ก็ไม่ได้จำเป็น จึงไม่แปลกที่จะมีบางคนรู้ บางคนไม่รู้
  • ไม่รู้ก็ไม่ได้เสียหายครับ
  • ผมบังเอิญรู้ ก็มาเล่าให้ฟัง ให้เยาวชนได้เห็นเรื่องแปลกหูแปลกตาที่ประเทืองใจ