ซึ่งลักษณะของการเกิดกราฟเหล่านี้ก็เหมือนกับเรานำระนาบไปตัดรูปทรงกรวยในมุม และทิศทางต่างๆ นั่นเอง
ความรู้เรื่องภาคตัดกรวยถูกนำไปใช้ในงานด้านต่างๆ มากมาย เช่น
วงกลม - การหาจุดศูนย์กลางแผ่นดินไหว
วงรี - การวิเคราะห์วงโคจรของดาวเคราะห์ต่างๆ รวมทั้งดาวหาง และดาวเทียม
พาราโบลา - เลนส์ การเคลื่อนที่วิถีโค้ง จานรับสัญญาณดาวเทียม
ไฮเพอร์โบลา - การหาตำแหน่งของต้นกำเนิดสัญญาณแบบคิดผลต่างของเวลาระหว่างสองจุด
เอาละ เรามาเริ่มกันที่ วงกลม กันก่อนเลยนะครับ ^^
xxxxxxxxxxx
จากรูปจะเห็นว่า การตัดระนาบในแนวขนานกับพื้นราบ ทำให้เกิดวงกลมน้อยใหญ่ขึ้นมามากมาย
พิจารณารูปวงกลมบนระบบพิกัดฉากต่อไปนี้
xxxxxxxxx
เราจะได้สมการวงกลม: (x-h)2 + (y-k)2 = r2
เมื่อ (h, k) เป็นจุดศูนย์กลางและ
r เป็นรัศมีของวงกลม
ในกรณีที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด
จะได้สมการเป็น x2 + y2 =
r2
ถ้าวงกลมวงนี้ขยับไปจุดอื่น
รัศมียังเท่าเดิม แต่สมการของวงกลมจะเปลี่ยนไปเนื่องจากจุดศูนย์กลาง
(h, k) ถูกย้ายตำแหน่งไปนั่นเอง
จากกราฟข้างบน จะได้สมการของวงกลมทั้ง 5 วง ดังนี้
สมการวงกลม A: x2 + y2 = 22
สมการวงกลม
B: (x-4)2 +
(y-4)2 = 22
สมการวงกลม
C: (x+6)2 +
(y-6)2 = 22
สมการวงกลม
D: (x+6)2 +
(y+1)2 = 22
สมการวงกลม
E: (x-3)2 +
(y+5)2 = 22
โจทย์เรื่องวงกลม จะเกี่ยวข้องกับการหาจุดศูนย์กลาง ความยาวรัศมี หรือจุดตัดระหว่างวงกลมกับเส้นตรง เป็นต้น
สมมติว่าโจทย์ให้สมการทั่วไปอันหนึ่งมา (สมการทั่วไป
คือสมการที่แตกวงเล็บออกมาหมดแล้ว และด้านขวาของสมการเป็น 0)
เช่น x2 + y2 + 2x - 4y -3 =
0
หน้าที่ของเราคือ
1.
ต้องดูให้ออกก่อนว่านี่คือสมการวงกลมหรือไม่ นั่นคือเช็คว่า
- มี x2 และ y2
ปรากฏอยู่ในสมการ และ
- ทั้งสองเทอมนี้มีสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1
ถ้าเป็นตามนี้แสดงว่าเป็นสมการวงกลมแน่ๆ
2. ค่อยๆ จัดสมการให้อยู่ในรูปแบบของสมการวงกลม
พอเสร็จขั้นนี้จะได้จุดศูนย์กลาง และรัศมี
จาก x2 + y2 + 2x - 4y -3 =
0
ค่อยๆ ย้ายให้ด้านซ้ายเป็นส่วนของ x, y
ด้านขวาเป็นตัวเลขธรรมดา
(x2 + 2x) + (y2 - 4y) =
3
จากนั้นพยายามทำให้เป็นกำลังสองที่สมบูรณ์
โดยการเติมตัวเลขเข้าไปในวงเล็บของ x และ y
และอย่าลืมเติมตัวเลขนั้นลงไปในด้านขวาของสมการด้วย
(x2
+ 2x + 12) + (y2 - 4y + 22) = 3 +
12 + 22
(x+1)2 +
(y-2)2 = 8
ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้คือ (-1, 2) ความยาวรัศมีเท่ากับ
ถ้าโจทย์ให้จุดศูนย์กลางมา พร้อมกับบอกว่าวงกลมนี้ผ่านจุดๆหนึ่ง
(x, y) (แสดงว่าจุดนี้อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมนั่นเอง)
ให้หาสมการทั่วไปของวงกลม จะทำอย่างไรดี?
ลองทำตามนี้ดูนะครับ ^^
1. คิดถึงรูปแบบสมการวงกลมไว้
2. เราต้องการ (h, k) และ r ในกรณีนี้มี r
ตัวเดียวที่ยังไม่ทราบ
3.
หารัศมี โดยใช้ความรู้ระยะทางระหว่างจุด 2 จุด
(จุดศูนย์กลางและจุดบนเส้นรอบวง) จะได้
4. แทนค่าลงในสมการวงกลม จากนั้นแตกกำลังสองออกมา
จัดให้ด้านขวาเป็น 0
ก็เป็นอันว่าได้สมการทั่วไปแล้ว
หากพูดถึงเส้นสัมผัสวงกลม
ควรจำไว้ว่าเส้นจะผ่านจุดบนวงกลมที่เพียงจุดเดียวเท่านั้น เรียกว่า
จุดสัมผัส
และเส้นตรงนี้จะตั้งฉากกับเส้นรัศมี ณ จุดนั้นเสมอ
ขอบคุณค่ะ..ถ้าเรียนแล้วได้นำไปใช้งานบ่อยๆ..ย่อมไม่คืนครูวืชาให้นะคะ..
ประโยคสุดท้าย..งง ??..ป้าใหญ่หมายถึง..ย่อมไม่คืนวิชาให้ครูค่ะ..
ขอบคุณกัลยาณมิตร ทุกท่านครับผม
สวัสดีค่ะคุณครูฐานิศวร์
มาหาความรู้และมาดูรูป
มาเยือนเรือนชานบ้านพี่น้องครับผม
สวัสดีคะ คุณครู
กำลังทำคะแนน และแบบป.พ. กัน เลยไม่ได้มาเยี่ยมและมาเรียนเลขเลย
คุณครูสบายดีนะคะ
มาฟื้นความจำที่นี่ ดีจังเลย เพราะความรู้ส่วนใหญ่เมื่อไม่ได้ใช้ มันก็จะลืมเลือนนะ
เป็นแหล่งเรียนรู้ที่ยอดเยี่ยมมาก อ่านแล้วเข้าใจดี ขอให้สร้างสรรค์แหล่งเรียยรู้ดีๆแบบนี้ต่อไปนะครับ