ภาคตัดกรวย : วงกลม

Circle

การศึกษาเรื่องภาคตัดกรวย (Conic Section) เกี่ยวข้องกับเรื่องของกราฟที่เป็นเส้นโค้ง เช่น วงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา
ซึ่งลักษณะของการเกิดกราฟเหล่านี้ก็เหมือนกับเรานำระนาบไปตัดรูปทรงกรวยในมุม และทิศทางต่างๆ นั่นเอง

ความรู้เรื่องภาคตัดกรวยถูกนำไปใช้ในงานด้านต่างๆ มากมาย เช่น
วงกลม - การหาจุดศูนย์กลางแผ่นดินไหว
วงรี - การวิเคราะห์วงโคจรของดาวเคราะห์ต่างๆ รวมทั้งดาวหาง และดาวเทียม
พาราโบลา - เลนส์ การเคลื่อนที่วิถีโค้ง จานรับสัญญาณดาวเทียม
ไฮเพอร์โบลา - การหาตำแหน่งของต้นกำเนิดสัญญาณแบบคิดผลต่างของเวลาระหว่างสองจุด

เอาละ เรามาเริ่มกันที่ วงกลม กันก่อนเลยนะครับ ^^

xxxxxxxxxxx

จากรูปจะเห็นว่า การตัดระนาบในแนวขนานกับพื้นราบ ทำให้เกิดวงกลมน้อยใหญ่ขึ้นมามากมาย

พิจารณารูปวงกลมบนระบบพิกัดฉากต่อไปนี้
xxxxxxxxx

เราจะได้สมการวงกลม: (x-h)² + (y-k)² = r²

เมื่อ (h, k) เป็นจุดศูนย์กลางและ r เป็นรัศมีของวงกลม

ในกรณีที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จะได้สมการเป็น x² + y² = r²

ถ้าวงกลมวงนี้ขยับไปจุดอื่น รัศมียังเท่าเดิม แต่สมการของวงกลมจะเปลี่ยนไปเนื่องจากจุดศูนย์กลาง (h, k) ถูกย้ายตำแหน่งไปนั่นเอง

จากกราฟข้างบน จะได้สมการของวงกลมทั้ง 5 วง ดังนี้

สมการวงกลม A: x² + y² = 2²

สมการวงกลม B: (x-4)² + (y-4)² = 2²

สมการวงกลม C: (x+6)² + (y-6)² = 2²

สมการวงกลม D: (x+6)² + (y+1)² = 2²

สมการวงกลม E: (x-3)² + (y+5)² = 2²

โจทย์เรื่องวงกลม จะเกี่ยวข้องกับการหาจุดศูนย์กลาง ความยาวรัศมี หรือจุดตัดระหว่างวงกลมกับเส้นตรง เป็นต้น

สมมติว่าโจทย์ให้สมการทั่วไปอันหนึ่งมา (สมการทั่วไป คือสมการที่แตกวงเล็บออกมาหมดแล้ว และด้านขวาของสมการเป็น 0)
เช่น x² + y² + 2x - 4y -3 = 0

หน้าที่ของเราคือ

1. ต้องดูให้ออกก่อนว่านี่คือสมการวงกลมหรือไม่ นั่นคือเช็คว่า
- มี x² และ y² ปรากฏอยู่ในสมการ และ
- ทั้งสองเทอมนี้มีสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1
ถ้าเป็นตามนี้แสดงว่าเป็นสมการวงกลมแน่ๆ

2. ค่อยๆ จัดสมการให้อยู่ในรูปแบบของสมการวงกลม พอเสร็จขั้นนี้จะได้จุดศูนย์กลาง และรัศมี

จาก x² + y² + 2x - 4y -3 = 0

ค่อยๆ ย้ายให้ด้านซ้ายเป็นส่วนของ x, y ด้านขวาเป็นตัวเลขธรรมดา
(x² + 2x) + (y² - 4y) = 3

จากนั้นพยายามทำให้เป็นกำลังสองที่สมบูรณ์ โดยการเติมตัวเลขเข้าไปในวงเล็บของ x และ y และอย่าลืมเติมตัวเลขนั้นลงไปในด้านขวาของสมการด้วย
(x² + 2x + 1²) + (y² - 4y + 2²) = 3 + 1² + 2²(x+1)² + (y-2)² = 8

ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้คือ (-1, 2) ความยาวรัศมีเท่ากับ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msqrt»«mn»8«/mn»«/msqrt»«/math»

ถ้าโจทย์ให้จุดศูนย์กลางมา พร้อมกับบอกว่าวงกลมนี้ผ่านจุดๆหนึ่ง (x, y) (แสดงว่าจุดนี้อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมนั่นเอง) ให้หาสมการทั่วไปของวงกลม จะทำอย่างไรดี?
ลองทำตามนี้ดูนะครับ ^^

1. คิดถึงรูปแบบสมการวงกลมไว้
2. เราต้องการ (h, k) และ r ในกรณีนี้มี r ตัวเดียวที่ยังไม่ทราบ
3. หารัศมี โดยใช้ความรู้ระยะทางระหว่างจุด 2 จุด (จุดศูนย์กลางและจุดบนเส้นรอบวง) จะได้ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msqrt»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»k«/mi»«msup»«mo»)«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/msqrt»«/math»
4. แทนค่าลงในสมการวงกลม จากนั้นแตกกำลังสองออกมา จัดให้ด้านขวาเป็น 0 ก็เป็นอันว่าได้สมการทั่วไปแล้ว

หากพูดถึงเส้นสัมผัสวงกลม ควรจำไว้ว่าเส้นจะผ่านจุดบนวงกลมที่เพียงจุดเดียวเท่านั้น เรียกว่า จุดสัมผัส และเส้นตรงนี้จะตั้งฉากกับเส้นรัศมี ณ จุดนั้นเสมอ

เขียนใน GotoKnow โดย นาย ฐานิศวร์ ผลเจริญ
ใน @ ฐานิศวร์ ^^ครูคณิตศาสตร์^^ @

คำสำคัญ (Tags): #circle#ฐานิศวร์ ผลเจริญ#ภาคตัดกรวย#วงกลม#conic section

หมายเลขบันทึก: 430424เขียนเมื่อ 9 มีนาคม 2011 21:15 น. ()แก้ไขเมื่อ 11 ธันวาคม 2012 13:38 น. ()สัญญาอนุญาต: ครีเอทีฟคอมมอนส์แบบ แสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกันจำนวนที่อ่าน

ความเห็น (16)

บุษรา

เขียนเมื่อ 10 มีนาคม 2011 07:46 น. ()

สวัสดีค่ะ
ช่วงนี้พี่นกไม่ค่อยได้แวะไปทักทายกัลยาณมิตรเหมือนอย่างเคย ด้วยภาระงาน....ถ้าทุกอย่างลงตัวก็จะแวะมาทักทายอย่างสม่ำเสมอเหมือนเดิมค่ะ
อากาศเปลี่ยนแปลงบ่อย ๆ รักษาสุขภาพด้วยค่ะ
ขอบคุณค่ะ