GotoKnow
  • เข้าระบบ
  • สมัครสมาชิก
  • แผงจัดการ
  • ออกจากระบบ
GotoKnow

Rectangle Quadrature กับ Babylonian algorithm

อัลกอริธึมน่าทึ่งยุคบาบิโลน คำนวณพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยแปลงเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัส (=การคำนวณหารากที่สอง) กระบวนการที่ว่า สามารถ "คำนวณ" โดยใช้เชือกเส้นเดียว สามารถรายงานเป็นความยาวเชือกได้เลย ทั้งที่คนยุคใหม่ ต้องคูณ และถอดรากที่สองก่อน ที่ต้องทำก็เพียงแค่ทาบเชือก ลากเส้น ทบครึ่ง หมุนวงกลม ลากเส้น แล้ววัดความยาว ... เท่านั้นเอง เชือกเพียงเส้นเดียว สามารถใช้คำนวณได้ตลอดกระบวนการโดยไม่ต้องคำนวณเลย โดยไม่ต้องคิด ไม่ต้องทด ไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

ถ้าเราอ่านประวัติศาสตร์ เราจะเห็นโลกในมุมมองที่ต่างไปจากเดิม

ตัวอย่างเช่น ก่อนยุคที่พีชคณิตจะแพร่หลาย การถอดรากที่สอง ก็มีความสำคัญแล้ว

เรขาคณิตเฟื่องฟูก่อนยุคพีชคณิต เพื่อปกป้องผลประโยชน์ที่วัดกันด้วยที่ดิน จึงต้องคำนวณเนื้อที่ทางเรขาคณิตให้เป็น

ดังนั้น การคูณ หาร ยกกำลังสอง หรือถอดรากที่สอง ล้วนมีความหมายผ่านกระบวนการทางเรขาคณิต เพื่อตอบสนองการชี้วัดความเป็นเจ้าของที่ดิน

คนยุคเก่า รู้จักแนวคิดเรขาคณิตที่เรียกว่า quadrature คือแปลงรูปทรงที่ตนมี ให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัสที่เนื้อที่เทียบเท่ากันได้ ไม่ว่าจะเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ดูบทพิสูจน์) สามเหลี่ยม หรือรูปหลายเหลี่ยม

ซึ่งรากที่สอง ก็คือการผันกลับของ quadrature นั่นเอง (แปลงจากพื้นที่ กลับไปเป็นความยาวด้านของจตุรัส)

ถ้าอยากรู้ว่าตำราเรขาคณิตยุคเก่าให้ความสำคัญกับเรื่อง quadrature มากขนาดไหน คงต้องไปค้น Elements ของ Euclid มาพลิกดู

สูตรคำนวณรากที่สองที่เป็นแบบ recursive: a = (N/a +a) ที่เรียกกันว่า Babylonian algorithm ซึ่งเก่าแก่หลายพันปี ก็สามารถอธิบายได้ด้วยแนวคิดเรขาคณิตของการทำ quadrature ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

แนวคิดหลักของ Babylonian algorithm คือ

รากที่สองของ a x b จะมีค่าประมาณด้วย (a+b)/2

แนวคิดนี้ นักสถิติ จะบอกว่า อธิบายอีกแบบก็ได้ ว่า geometric mean ใกล้เคียง arithmetric mean (แต่นั่นเป็นการอธิบายแบบคนยุคใหม่)

รูปข้างล่าง เล่าถึงการทำ quadrature ตามวิธีของ Euclid ซึ่งปรากฏ อยู่ในตำรา Elements แต่ผมมาวาดรูปเสียใหม่ และเล่าด้วยภาษาพีชคณิตแทน เพราะภาษาเรขาคณิตของยูคลิดนั้น "เหลือกิน" จริง ๆ คือ อ่านแล้วเวียนหัว

แนวคิดที่ว่า ก็คือการแปลงให้สี่เหลี่ยมผืนผ้ากลายไปเป็นจตุรัส โดยใช้เครื่องมือพื้น ๆ สำหรับสร้างวงกลมและการขีดเส้นเท่านั้น

รูปแรก มีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กว้าง a สูง b

รูปที่สอง ต่อด้าน a ให้ยื่นออกไปอีก b แล้วหาจุดกลางของส่วนที่ต่อเติมเสร็จ

รูปที่สาม ใช้กึ่งกลางส่วนที่ต่อเติมเสร็จ ลากครึ่งวงกลมครอบให้แตะปลายทั้งสองฟาก ตอนนี้ ความสูงจากจุดกลางถึงจุดสูงสุด จะเป็น (a+b)/2

รูปที่สี่ สร้างครึ่งวงกลมครอบ รัศมีจะเป็น (a+b)/2

รูปสุดท้าย ใช้วิธีลากเส้นจากมุมขวาบนของผืนผ้าเดิม ตรงขึ้นไปจรดกับขอบวงกลม สร้างจตุรัสโดยใช้เส้นนี้

ก็จะได้ว่า จตุรัสที่เพิ่งสร้างขึ้นมา มีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีด้านยาวเท่ากับรากที่สองของ a x b

ในรูปสุดท้าย ด้านทะแยงมุม ก็มีความยาวเท่ากับรัศมี ซึ่งก็คือ (a+b)/2 และด้านฐาน ก็จะเกิดจากรัศมี ลบ b ซึ่งก็จะเท่ากับ (a+b)/2 - b = (a-b)/2 ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า ด้านที่เหลือ ต้องเป็นรากที่สองของ (a คูณ b) เพราะสามเหลี่ยมนี้ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในรูปสุดท้ายนี้เอง ที่ความสูงของจตุรัส ซึ่งก็คือ รากที่สองของ (a x b) มีค่าใกล้เคียงกับความสูงของครึ่งทรงกลม ซึ่งก็คือ (a+b)/2

และเราก็จะเห็นว่า (a+b)/2 จะมีค่ามากกว่ารากที่สองของ ab เสมอ

หรือพูดอีกนัยหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะมีค่ามากกว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเสมอ (ดูจากรูป ค่ารัศมีของวงกลมหรือค่าเฉลี่ยเลขคณิต จะสูงสุด เพราะอยู่ตรงตำแหน่งศูนย์กลาง ส่วนค่าเฉลี่ยเรขาคณิต พยายามสูงเลียนแบบ แต่ตำแหน่งไม่ได้อยู่ตรงศูนย์กลาง ก็จะชนหลังคาเตี้ยกว่าเสมอ

นี่ก็เทียบเท่าการตีความเชิงเรขาคณิตของ algorithm ที่ได้ชื่อว่า เก่าแก่ย้อนยุค เก่ากว่ายุคพุทธกาลเสียอีก ที่เรียกว่า Babylonian algorithm นั่นเอง

สำหรับผู้สนใจ ย้อนกลับไปอ่านเรื่องเกี่ยวข้องได้ที่

ถอดรากที่สองด้วยมือ ตอนที่ 1, ตอนที่ 2, ตอนที่ 3

บันทึกนี้เขียนที่ GotoKnow โดย 

หมายเลขบันทึก: 115692
เขียน:
แก้ไข:
อ่าน:
สัญญาอนุญาต: สงวนสิทธิ์ทุกประการ

ความเห็น (0)