มีวิธีถอดรากที่สองด้วยมืออีกแบบหนึ่ง ว่ากันว่าเก่าแก่ถึงยุคบาบิโลนโน่นเลย (ราว 1000 ปีก่อนพุทธกาล) [1] ซึ่งแนวคิดคือ "รากที่สอง เท่ากับค่าเฉลี่ยของสิ่งคล้ายกันที่มาคูณกันได้ค่าดังกล่าว"

หรืออาจจะเขียนอีกอย่างว่า "ค่าเฉลี่ยเลขคณิต กับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต จะใกล้เคียงกันมาก หากทั้งคู่ที่จะใช้นั้นมีค่าใกล้เคียงกันอยู่ก่อน"

เช่น 10 เกิดจาก 1 x 10 ก็ได้ 2 x 5 ก็ได้ หรือ 2.5 x 4 ก็ได้ หรือ 3 x 3.333 ก็ได้ หรือ 3.25 x 3.0769 ก็ได้

ค่าเฉลี่ยของคู่ที่คล้ายกันที่สุด จะเป็นค่าที่ดีที่สุด ของรากที่สองของ 10 ในกรณีนี้

กรณี 1 x 10 เฉลี่ย 1 กับ 10 ได้ 5.5

กรณี 2 x 5 เฉลี่ย 2 กับ 5 ได้ 3.5

กรณี 2.5 x 4 เฉลี่ย 2.5 กับ 4 ได้ 3.25

กรณี 3 x 3.3333 เฉลี่ย 3 กับ 3.3333 ได้ 3.1667

กรณี 3.25 x 3.0769 เฉลี่ย 3.25 กับ 3.0769 ได้ 3.1635

ก็เลยมีคนหัวใส ใช้วิธีหมุนเวียนซ้ำ หรือที่เรียกว่า recursion ซึ่งผมเคยพูดถึงไว้ในเกลียวแห่งชีวิต

สมมติว่าตอนแรก ผมหลับหูหลับตาเลือกคู่ 1 x 10

เฉลี่ยได้ 5.5 ถามว่าดีไหม บอกได้เลยว่ายัง เพราะ 1 หรือ 5.5 หรือ 10 ล้วนไม่มีเค้าละม้ายกันเลย

คราวนี้ผมก็เอา 5.5 กับคู่ของมัน (ก็ต้องเป็น 10/5.5 สิ จะได้คูณ 5.5 ได้ 10 ลงตัว)

5.5 คูณ 10/5.5 = 10

รากที่สองของ 10 ก็กลายมาเป็น (5.5 + 10/5.5) หาร 2

ซึ่งคราวนี้ก็กลายเป็น 3.659

ทำซ้ำ หา (3.659 + 10/3.659) หาร 2 คราวนี้ได้ 3.196

ทำอีกที ใช้ 3.196 เป็นจุดเริ่ม ก็จะได้ 3.1625

วิธีนี้จะได้คำตอบที่ดีขึ้นเร็วมาก ยิ่งใกล้คำตอบ ยิ่งเร็วขึ้นเรื่อย ๆ ถือเป็นวิธีที่เสถียรภาพดีมาก เคยได้ยินว่าสมองกลในเครื่องคิดเลขรุ่นแรก ๆ ก็ใช้สูตรนี้ในการหาค่ารากที่สองเหมือนกัน

Reference:

[1] Berman, K.A., Paul, J.L., Algorithms: Sequential, parallel, and distributed. Thomson Course Technology, 2005.