ลองมาดูที่มาของ หา natural log ด้วย Square root (1) ว่า มีเหตุผลเบื้องหน้าเบื้องหลังอย่างไร

ประการแรก เรารู้ว่่า ถอดรากที่สองไปหลาย ๆ ครั้ง ตัวเลขจะลู่เข้าหา 1 เสมอ

ประการที่สอง จากสูตรการอินทิเกรทของ 1/(1+x)

ค่านี้ เป็นอนุกรมอนันต์

1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ...

ถ้าอินทิเกรททั้งสองข้างพร้อมกัน

ข้างซ้ายจะเป็น ln (1+x)

ข้างขวา จะเป็น x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 +

หรือหาก x น้อยมาก ๆ ก็ได้ว่า

ln(1+x) ~ x

การที่ผมถอดรากที่สองของตัวเลขอะไรก็ตามไปซ้ำ ๆ N ครั้ง ก็เหมือนถอดรากที่ (2 ยกกำลัง N)

เช่น

รากที่ 4096 ของ 5 มีค่า 1.000 393 06

หรือนั่นคือ ถ้ามองว่า 1.000 393 06 คือ 1+x

ln(รากที่ 4096 ของ 5) ~ 0.000 393 06

แต่ 

ln(รากที่ 4096 ของ 5) = (1/4096) คูณ ln 5

ดังนั้น

ln 5 ~ 4096 * 0.000 393 06 ~ 1.60975

นี่คือที่มาของวิธีการในตอนก่อนครับ 

กลับมาดูสูตร ln(1+x) อีกที

ซึ่งหาก x มีค่าน้อยมาก ๆ เราสามารถตัดเหลือ 1 หรือ 2 พจน์แรก

จะได้ว่า ln(1+x) ~ x - 0.5*x^2

ถ้าทำให้เทอมที่สองน้อยมากกว่าเทอมแรกมาก ๆ เราตัดเทอมที่สองทิ้งได้ด้วยซ้ำ

เมื่อไหร่ที่เริ่มตัดเทอมที่สองทิ้งได้ ?

ก็เมื่อกดเครื่องคิดเลขไปถึงจุดที่ "ครึ่งหน้าเป็นระเบียบ ครึ่งหลังไม่เป็นระเบียบ"ไงครับ

เพราะถ้าครึ่งหลัง เป็น x

การยกกำลังสองของ x จะไปกระทบตรงตัวเลขที่ถูกซ่อนอยู่ลึก ๆ ไปหลัง "ครึ่งหลังที่ไม่เป็นระเบียบ" ทำให้ผลจาก x^2 หายไปจากจอเครื่องคิดเลขพอดี

มันก็จะไม่มีผลกระทบต่อการคำนวณอีก

ถ้าเรากดเครื่องคิดเลขเพลินไปกว่าที่ควร ทำให้เป็นระเบียบเกือบตลอดแถวล่ะ ?

ก็จะทำให้เราสูญเสียจำนวนหลักของเลขนัยสำคัญไปโดยใช่เหตุ ก็จะทำให้ความผิดพลาดในการคำนวณ กลับเพิ่มขึ้นมาใหม่

จุดที่ "ครึ่งหน้าเป็นระเบียบ ครึ่งหลังไม่เป็นระเบียบ" จะเป็นจุดสมดุลที่ผลจาก x^2 น้อยที่สุด และเลขนัยสำคัญ มีจำนวนหลักมากที่สุด นี่คือจุดที่ดีที่สุดสำหรับการ "คิดด่วน" ด้วยเครื่องคิดเลขร้าย ๆ

 

หมายเหตุแนบท้าย

หากคิดจะทดสอบที่ผมว่ามา อย่าใช้ Excel นะครับ เพราะเขาเก็บตัวเลขไว้มากกว่าที่แสดงให้เราดู ถ้าเข้าใจไม่ผิดคือใช้จริงด้วยเลขนัยสำคัญ 16 หลัก แต่แสดงไว้แค่ 8 หลัก จะเห็นผลที่ไม่เป็นไปดังที่ว่านี้