การเข้าใจถึงรากเหง้าแบบ First Principles จะทำให้เราสามารถมีทางเลือกมากมายเกิดขึ้นในมือ ทำให้สามารถสร้างเทคโนโลยีขึ้นใช้แก้ปัญหาเฉพาะหน้าได้ง่าย

 

First Principles เป็นการที่เราใช้สิ่งที่เรียบง่ายขั้นมูลฐาน มาอธิบายสิ่งที่ซับซ้อนกว่า

คำนี้ ผมแปลตรงตัวว่า หลักการมูลฐาน หรือ หลักการปฐมมูล

ชื่ออาจไม่บอกอะไรเท่าไหร่

ตัวอย่างของต้นตำรับวิธีคิดแบบ First Principles ที่คนทั้งโลกรู้จักดี ก็คือ ยูคลิด (Euclid) คนที่เขียนตำราเรขาคณิตตั้งแต่สองพันปีก่อน

ส่วนที่เกี่ยวกับทฤษฎีบททางเรขาคณิตของเขา ไม่ว่าจะซับซ้อน ยอกย้อนซ่อนเงื่อนเพียงใด ล้วนงอกออกมาจากหลักการมูลฐานเพียงไม่กี่ข้อ ที่เรียกว่า สัจพจน์

ลองดูตัวอย่าง สัจพจน์

  • จุดสองจุด มีเส้นเชื่อมสั้นที่สุดเพียงเส้นเดียว เป็นเส้นตรง
  • มุมฉากทุกมุม เท่ากันหมด
  • ฯลฯ

อยากรู้ว่า สัจพจน์ไม่กี่ข้อ งอกขึ้นมาได้ไกลขนาดไหน ต้องลองไปอ่านงานของยูคลิดดูเอง

การเข้าใจซึ้งถึงแนวคิดแบบ First Principles ก็เหมือนการหยั่งรากแก้วลงดินได้ลึก สามารถทำให้โตได้ไกล แม้ว่า ตอนแรก ๆ จะดูช้า ไม่ทันใจ

ตัวอย่างเช่น วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์หาผลเฉลยเป็นตัวเลข รากเหง้า ล้วนงอกมาจาก Taylor Series

Taylor Series ก็คือ อนุกรมอนันต์ ที่บอกว่า ในทางคณิตศาสตร์ เราสามารถ นิยามตัวเรา โดยอ้างอิงกับคนอื่น หรือนิยามคนอื่น โดยอ้างอิงกับตัวเราเอง ก็ได้

 

หน้าตาเป็นอย่างนี้ (จาก wikipedia)

f(x) =

f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots

คือว่า ถ้าเรารู้ทุกอย่าง เกี่ยวกับฟังก์ชันอะไรก็ได้ ที่ตำแหน่งหนึ่ง  (ที่ตำแหน่ง a ใด ๆ) เราสามารถบอกได้เลยว่า ที่ตำแหน่งอื่นที่อยู่ไกลออกไป (ที่ตำแหน่งอื่น คือ x) จะมีค่าเป็นเท่าไหร่

หรือพูดง่าย ๆ คือ หากรู้ลึกซึ้งถึงที่สุดที่ตรงไหนก็ได้ เราสามารถรู้ทุกอย่างของที่อื่นได้หมด

ตัวอย่างเช่น จะหารากที่สอง ของ x=2

ขอเพียงรู้คุณสมบัติืทุกอย่างของรากที่สองที่จุดอื่น เช่น ที่ x=1 เราจะสามารถหารากที่สองของ x=2 ได้ หรือที่จุดอื่นใดก็ได้

หากสูตรรากที่สอง เขียนว่า f(x)=x^(1/2)

^ คือ ยกกำลัง

คราวนี้ เราสามารถหาอนุพันธ์อันดับต่าง ๆ ได้ (ใช้ความรู้แคลคูลัส)

f'(x)=(1/2)x^(-1/2)

f''(x)=(-1/4)x^(-3/2)

f'''(x)=(3/8)x^(-5/2)

....

ถ้าเรารู้รายละเอียดของรากที่สอง ที่ a=1 อย่างละเอียดครบถ้วน เช่น อนุพันธ์อันดับต่าง ๆ ของ รากที่สอง มีหน้าตาอย่างไร ก็แค่จับแทนค่า

f(2) = f(1) + (2-1)f'(1)/1! + (2-1)^2f''(1)/2! + (2-1)^3f'''(1)/3! + ...

=1 + 1/2 - 1/8 +1/16 - 5/128 + 7/256 - 21/1024 + 33/2048 - 429/32768 ...

เพียงไม่กี่พจน์ เราก็ได้คำว่าคร่าว ๆ ว่า รากที่สองของสอง มีค่า 1.4 กว่า ๆ โดยการคำนวณนี้ อ้างอิงถึงพฤติกรรมของรากที่สองของ 1 ล้วน ๆ

แนวคิด Taylor Series นี้  ก็เป็นกระบวนท่าแม่บท ที่แตกแขนงออกไปได้ไม่รู้จบ ในศาสตร์แขนงต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับวิธีประมาณค่าตัวเลขต่าง ๆ (วิธีคำนวณเชิงตัวเลขในปัจจุบันจำนวนมาก งอกมาจาก Taylor Series เพียงอย่างเดียว !)

ยังมีตัวอย่างอีกมาก ที่สะท้อนให้เห็นถึงหลักการ First Principles

  • Schrödinger สร้างสมการจากกฎการอนุรักษ์พลังงาน โดยอาศัยความเข้าใจเรื่องคลื่น  
  • ความเข้าใจลึกซึ้งเรื่อง entropy คือบ่อเกิดของทฤษฎี quantum โดยเริ่มจากผลการศึกษาการแผ่ความร้อนของเตาอบ (ที่เรียกว่า black body radiation) ที่มีผู้พยายามอธิบายปรากฎการณ์ แต่ Max Planck มาพบสมการแบบลองผิดลองถูกที่อธิบายข้อมูลดิบได้แม่น ภายหลัง เขาตระหนักว่า การจะอธิบายปรากฎการณ์นี้ ต้องสมมติให้หน่วยย่อยสุดของพลังงาน ต้องอยู่เป็นก้อน ๆ เพราะ Entropy มีสูตรคำนวณรูปแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการจัดเรียง ถ้าพลังงานไม่อยู่เป็นก้อนแบบหน่วยนับ ก็คำนวณความเป็นไปได้การจัดเรียงไม่ได้ 
  • ที่ Max Planck มองทะลุว่า ต้องเอา entropy มาคิด เพราะแขนงหลักที่เขาจับอยู่ก่อนโดยตลอดก็คืออุณหพลศาสตร์ ซึ่งเขาเขียนตำราเรื่องอุณหพลศาสตร์อยู่เล่มหนึ่งตั้งแต่สิบกว่าปีก่อนหน้า ทำให้ความหมาย entropy เป็นเรื่องที่แสนจะธรรมดาถึงที่สุด ที่เขาสามารถหยิบมาใช้ได้สบาย ๆ ในสถานการณ์ใหม่นี้
  • และต่อมา ไอน์สไตน์ก็ทำนายว่า แสง ก็ต้องมีหน่วยย่อยสุดเป็นก้อนด้วย เพราะเมื่อใช้สมการคำนวณการเปลี่ยน entropy จากผลของการเปลี่ยนปริมาตรที่บรรจุแสงอยู่  สมการที่บรรยายพฤติกรรม ก็จะมีหน้าตาเหมือนกับสมการบรรยายการเปลี่ยน entropy ของ gas ดังนั้น แสงจึงควรมีหน่วยย่อยสุดเป็นก้อนที่นับได้เหมือน gas ด้วย ซึ่งมุมมองนี้ ทำให้เขาพยากรณ์พฤติกรรมของ photoelectric effect ได้อย่างถูกต้อง จนได้รางวัลโนเบลในเวลาต่อมา
  • การทำ stochastic simulation ไม่ว่าจะซับซ้อนขนาดไหน ก็จะใช้ตัวกำเนิดตั้งต้นจากเลขสุ่มพฤติกรรมดี ร่วมกับตัวเปลี่ยนเลขสุ่มให้มีพฤติกรรมการแจกแจงที่ต้องการ แล้วนำไปแทนค่าในสมการที่บรรยายระบบ ก็จะทำให้เห็นความเป็นไปได้ต่าง ๆ ของระบบโดยภาพรวม
  • พฤติกรรมทางเคมีกายภาพของโมเลกุล สามารถทำนายจากสูตรโครงสร้างทางอิเล็กทรอนิกส์ไำด้พอสมควร ตัวอย่างเช่น ธาตุตะกูล halides (เช่น คลอรีน โบรไมด์) อิเล็กตรอนวงนอกสุดขาดอีก 1 ตัวก็จะเต็ม ทำให้มีพฤติกรรมเหมือนเศรษฐีอดอยาก คือชอบแย่งอิเล็กตรอนของชาวบ้าน ทำให้เมื่อเข้าไปอยู่ในโครงสร้างของสารเคมีอินทรีย์ การชอบดึงอิเล็กตรอน ก็เท่ากับการไล่โปรตรอน ทำให้เพิ่มความเป็นกรดให้โครงสร้างรวม และผลจากการอดอยากอิเล็กตรอนนี้ ก็ไปส่งผลให้โครงสร้างสารเคมีเพิ่มความไวแสงด้วย ซึ่งอาจส่งผลต่อความคงตัวของยาอีกต่อหนึ่ง

การเข้าใจถึงรากเหง้าแบบ First Principles จะทำให้เราสามารถมีทางเลือกมากมายเกิดขึ้นในมือ ทำให้สามารถสร้างเทคโนโลยีขึ้นใช้แก้ปัญหาเฉพาะหน้าได้ง่าย

ตัวอย่างคือ ผมเคยเจอปัญหา modeling ระบบที่ต้องนิยามโดยสมการเชิงอนุพันธ์หลายชั้นที่อาจเป็นไปได้หลายแบบ ต้องหาค่าคงที่จากสมการเหล่านี้ ในเงื่อนไขว่า สถานการณ์จริงที่เก็บข้อมูล มีความซับซ้อนกว่าที่ซอฟท์แวร์ที่มีขายทางการค้า จะรับมือไหว ผมผ่าทางตันด้วยการใช้เทคโนโลยีที่มีใช้ในคอมพิวเตอร์(แทบ)ทุกเครื่อง คือใช้ spreadsheet

ผลคือได้คำตอบที่ต้องการแบบไม่เหนื่อยมาก เพราะเข้าในแนวคิดรากเหง้าทำนองนี้แบบครบองค์ คือ

1) รู้จักตระกูลวิธีต่าง ๆ ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ว่า วิธีไหน ใช้ได้หรือใช้ไม่ได้ วิธีไหนง่าย วิธีไหนยากในการคำนวณใน spreadsheet และ

2) รู้จักวิธีการทำ optimization เพื่อหาค่าคงที่ที่เหมาะสมที่สุดทางสถิติ โดยรู้ว่า วิธีไหน ไว้ใจได้ และ ทำง่ายโดยไม่ต้องเขียนโปรแกรม และได้คำตอบเร็วพอสมควรด้วย เพื่อจูนหาแบบ "ทำมือ" โดยต้องรู้

3) เข้าใจถึงแนวคิดเรื่อง best fit criteria ด้วย ว่ามีหลายตระกูล แต่ละตระกูลก็มีจุดเด่นคนละแบบ แบบไหนเหมาะกับสถานการณ์เฉพาะหน้า

ถ้ารู้ไม่ครบองค์ ผมก็ทำอะไรไม่ได้

รู้แค่ชื่อ ผมก็ทำอะไรไม่ได้

แต่การที่เคยลงลึกในระดับรายละเอียดในแต่ละเรื่องมากพอสมควร ทำให้เหมือนกับมีระบบนำทางชั้นเลิศ สามารถท่องป่าโดยไม่หลงทาง ไปถึงจุดหมายได้เหมือนกัน