ฟังก์ชัน

สวัสดีครับ..ผมนายสุรศักดิ์  ชื่นชม...นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/1 (เด็กสุรินทร์ครับ) 

นำเสนอเรื่อง...   ฟังก์ชัน...

ความสัมพันธ์ที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกนั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับไม่เหมือน

กันเลย สรุปได้ว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ r ซึ่งเขียนแบบบอกเงื่อนไข

เป็นฟังก์ชันหรือไม่อาจใช้วิธีการดังนี้

สำหรับความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นฟังก์ชัน เราสามารถหาสับเซตของความสัมพันธ์นั้นที่เป็นฟังก์ชันได้

เช่น จากความสัมพันธ์ r = { (x,y) | y² = x }

สามารถหาสับเซตของ r ที่เป็นฟังก์ชันได้ เช่น

 

จากรูป ถ้าลากเส้นขนานกับแกน Y ให้ตัดกราฟแล้ว เส้นขนานกับแกน Y จะตัดกราฟของ r₁ และ r₂

เพียงจุดเดียวเท่านั้น ดังนั้น r₁ และ r₂ เป็นฟังก์ชัน

ในกรณีที่ความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันเรียกโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นั้นว่า โดเมนและเรนจ์ของ

ฟังก์ชันตามลำดับ

พิจารณาโดเมนและเรนจ์ของฟังกชันที่ได้จากการจับคู่ระหว่างสมาชิกของเซต A และเซต B ดัง

ตัวอย่างต่อไปนี้

    จากตัวอย่างที่ 6, 7, 8 และ 9 จะเห็นว่าโดเมนของฟังก์ชันคือ A และเรนจ์ของฟังก์ชันเป็นสับเซตของ B

ฟังก์ชันในตัวอย่างดังกล่าวนี้เรียกว่า ฟังก์ชันจาก A ไป B ( function from A into B )

โดยทั่วไปเมื่อกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชัน จะหมายถึงฟังก์ชันจากสับเซตของ R ไป R

จากตัวอย่างที่ 7 และ 9 จะเห็นว่า โดเมนของฟังก์ชันคือ A และ เรนจ์ของฟังก์ชันคือ B

เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติเช่นนี้ว่า

ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ( function from A onto B )

จากตัวอย่างที่ 8 และ 9 จะเห็นว่าสมาชิกแต่ละตัวของ B ที่ถูกจับคู่ จะถูกจับคู่โดยสมาชิกของ A เพียง

ตัวเดียวเท่านั้น เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติเช่นนี้ว่า ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one function)

จากบทนิยามของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งข้างต้นจะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อ

ถ้า (x₁,y) f และ (x₂,y) f แล้ว x₁ = x₂

f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B (one-to-one function from A onto B หรือ

one-to-one correspondence) เขียนแทนด้วย หมายถึงฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่มี

D_f = A และ R_f = B

การพิจารณาว่าฟังก์ชันใดจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่อาจพิจารณาได้จากกราฟของฟังก์ชันนั้น

โดยลากเส้นขนานกับแกน X

     ถ้าไม่มีเส้นขนานกับแกน X เส้นใด ตัดกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้มากกว่าหนึ่งจุด ฟังก์ชัน

นั้นจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

    แต่ถ้ามีเส้นขนานกับแกน X แม้เพียงเส้นเดียว ตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุดแล้วฟังก์ชันนั้นจะ

ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

 

      ในการพิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดให้ว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลดในเซตที่กำหนดให้

ถ้าพบว่าไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่ม(หรือลด) จะสรุปว่าเป็นฟังก์ชันลด(หรือเพิ่ม)ไม่ได้

ต้องทำการตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชันลด(หรือเพิ่ม)หรือไม่ ตามบทนิยาม

และที่สำคัญจะต้องไม่เรียกฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่ม(หรือลด) ว่าฟังก์ชันไม่เพิ่ม(หรือไม่ลด)

เพราะคณิตศาสตร์มีบทเรียนเรื่องนี้อยู่ด้วย แต่เกรงว่าจะเป็นเรื่องที่ทำให้สับสนจึงไม่ได้เสนอไว้ในบทเรียนนี้

1.ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกแต่ละตัวในโดเมนของความสัมพันธ์นั้นไปจับคู่สมาชิกในเรนจ์

เพียงตัวเดียวเท่านั้น

2. ความสัมพันธ์จะไม่เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวในโดนเมนของความสัมพันธ์นั้นไปจับคู่

สมาชิกในเรนจ์มากกว่าหนึ่งตัว

3. ความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน จะมีลักษณะการจับคู่ของสมาชิกในโดเมนกับสมาชิกในเรนจ์ 2 แบ

4. ความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นฟังก์ชัน จะมีลักษณะการจับคู่ของสมาชิกในโดเมนกับสมาชิกในเรนจ์

ดังนี้ one to many

5. ค่าของฟังก์ชัน f ที่ x

นิยาม ค่าฟังก์ชัน f ที่ x หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f(x)

ตัวอย่าง f(1) หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน f เมื่อ x=1

        h(-3) หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน g เมื่อ x=2

หมายเหตุ

1. ถ้าโจทย์กำหนดว่า f(1) =2 ต้องรู้เองว่า ในฟังก์ชัน f ถ้า x=1 จะได้ y=2 หรือ (1,2) ....f

2. ถ้าโจทย์กำหนด f ={(1,a),(2,b),(3,c)} หมายถึง f(1) = a, f(2) = b,f(3) = c

 

6.จากบทนิยาม กล่าวง่าย ๆ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง คือฟังก์ชันที่สมาชิกแต่ละตัวในเรนจ์ของฟังก์ชันนั้น

มีสมาชิกในโดเมนเพียงตัวเดียวเท่านั้นมาจับคู่ และฟังก์ชันที่ไม่เป็น 1-1 ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวในเรนจ์

ของฟังก์ชันนั้นที่มีสมาชิกในโดเมนมากกว่าหนึ่งตัวมาจับคู่

7. วิธีการตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่

1. ถ้ากำหนดฟังก์ชันแบบแจกแจงสมาชิก

วิธีการตรวจสอบ "ให้ดูที่สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ"

ถ้าไม่ซ้ำกัน แสดงว่าฟังก์ชันเป็นแบบ1-1

ถ้ามีซ้ำกัน แสดงว่าไม่ใช่ฟังก์ชัน 1-1

ตัวอย่างโจทย์ f(1) = {(1,2),(1,3),(2,2),(3,4)}

จะเห็นว่ามีสมาชิกอยู่ 2 คู่ ที่มีสมาชิกตัวหลังซ้ำกัน สรุปได้ว่าไม่ฟังก์ชันเป็นแบบ 1-1

2. ถ้ากำหนดแบบบอกเงื่อนไข

วิธีตรวจสอบ "ให้สมมติให้ค่า y ที่อยู่ในเรนจ์ของฟังก์ชันนั้นขึ้นมา 1 ค่า แทนลงในเงื่อนไขของฟังก์ชัน

แล้วหาค่า x ออกมา"

ถ้าได้ค่า x ค่าเดียว แสดงว่า ฟังก์ชันนั้นเป็นแบบ 1-1

ถ้าได้ค่า x มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าไม่เป็นแบบ 1-1

ตัวอย่างโจทย์

f(x) = x²+2x-2 วิธีทำให้สมมติค่า f(x) = y =1 เมื่อแทนค่าแล้วจะได้ x=-3,1 ซึ่งแสดงว่า

เงื่อนไขนี้ไม่เป็นฟังก์ชันแบบ 1-1

3. ถ้ากำหนดเป็นกราฟ

วิธีการตรวจสอบ "ให้ลากเส้นตรงตั้งฉากกับแกน y ตัดกราหของฟังก์ชันนั้น"

ถ้าตัดกราฟเพียงจุดเดียว แสดงว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1

ถ้าตัดกราฟมากกว่า 1 จุด แสดงว่า ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1

 

8.วิธีการตรวจสอบว่า f เป็งฟังก์ชันจาก A ไป B หรือไม่

1. หา D_f

ถ้า D_f .A สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

ถ้า D_f =.A ยังสรุปไม่ได้ต้องพิสูจน์ต่อไปว่า

2. หา R_f

ถ้า R_f B สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

ถ้า R_f B สรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

 

9. วิธีการตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B หรือไม่

1. หา D_f

ถ้าD_f A สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

ถ้าD_f =.A ยังสรุปไม่ได้ต้องพิสูจน์ต่อไปว่า

2. หา R_f

ถ้า R_f B สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชัน A ไปทั่วถึง B

ถ้า R_f = B สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชัน A ไปทั่วถึง B

ความหมายของฟังก์ชัน จากความรู้เรื่องความสัมพันธ์ที่เรียนมาแล้ว พิจารณาความสัมพันธ์ต่อไปนี้

1. กำหนดให้

r₁ = { (0,1), (1,2), (2,3), (1,1), (0,4) }

r₂ = { (0,3), (1,1), (2,1), (3,4) }

ถ้าต้องการแสดงว่าสมาชิกใดของโดเมนมีความสัมพันธ์กับสมาชิกใดของเรนจ์อาจจะใช้วิธี

เขียนลูกศรโยงเรียกว่าการจับคู่ เช่นจากความสัมพันธ์ r₁ และ r₂เขียนแผนภาพแสดงการจับคู่ได

้ดังนี้ การจับคู่ระหว่างสมาชิกในโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r₁ และ r₂ มีข้อแตกต่างกันคือ

   ใน r₁ มีคู่อันดับที่สมาชิกตัวหน้าเหมือนกัน แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน คือ (0,1) กับ (0,4) และ

(1,1) กับ (1,2) ส่วนใน r₂ สมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับไม่เหมือนกันเลย นั่นคือแต่ละสมาชิก

ในโดเมนของ r₂ จะจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของ r₂ เพียงตัวเดียวเท่านั้น

 

ความสัมพันธ์ที่มีลักษณะดังใน (1), (2) และความสัมพันธ์ r₂ ใน (3) เรียกว่า ฟังก์ชัน

 

จากบทนิยามกล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน f คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งถ้ามี (x,y) f และ (x,z f แล้ว y = z

ตัวอย่างที่ 1 จงแสดงว่า

f = { (x,y) | y = x² + 1} เป็นฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 2 จงแสดงว่า f= {(x,y) | y = x²+1 } เป็นฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาว่า

g = { (x,y) | y² = x } เป็นฟังก์ชันหรือไม่

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณาจากกราฟของ

r = { (x,y) | y = 2 } ว่า r เป็นฟังก์ชันหรือไม่

ตัวอย่างที่ 5 จากกราฟของ

r = { (x,y) | y² = x } จงพิจารณาว่า r

เป็นฟังก์ชันหรือไม่

r₁ = { (x,y) | y = }

r₂ = { (x,y) | y = - }

ตัวอย่างที่ 6

ตัวอย่างที่ 7

ตัวอย่างที่ 8

 

ตัวอย่างที่ 9

 

ตัวอย่างที่ 10 จงพิจารณาจากกราฟว่า ฟังก์ชัน f = { (x,y) | y =}

เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่

ตัวอย่างที่ 11 จงพิจารณาจากฟังก์ชันต่อไปนี้ว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันหนึ่ง

ต่อหนึ่ง f = { (x,y) | y = x² } เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่

ตัวอย่างที่ 12
จงตรวจสอบว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่
ก. f(x) = ¹/_x - 3

ข. g(x) = x² + 2x + 1

ตัวอย่างที่ 13

ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลดในเซตที่กำหนดให้หรือไม่

ก. f(x) = 2x³+1,[-2,2]

ข. g(x) = 4-3x,R

ค. h(x) = 2-x²,R

 

ก.one to one

XY

ข. many to one