ความมีตัวตนของพระเจ้าในมุมมองนักคณิตศาสตร์ และ Decision Theory
ตอนนี้เอาอะไรสนุกๆมาให้ดูกันเล่นๆครับ ในตอนเรื่องของเลขศูนย์นั้น บอกว่าเลขศูนย์นั้นเป็นเรื่องท้าทายมาก เพราะว่าถ้าบอกว่าเลขศูนย์นั้นมี ก็เท่ากับว่าบอกว่าเรายอมรับถึงอินฟินิตี้ แล้วก็เลยไปท้าทายกับความคิดของอริสโตเติลที่บอกว่า พระเจ้าเป็นคนหมุนโลก และด้วยความคิดนี้แหละครับ ที่ทำให้เลขศูนย์นั้นไม่แพร่หลาย
แต่แล้วอยู่ดีๆครับ ก็มีนักคณิตศาสตร์คนหนึ่งคิดพิเรนทร์ขึ้นมา ใช้คณิตศาสตร์มาบอกว่า ถึงจะมีเลขศูนย์ ถึงจะมีอินฟินิตี้ก็ไม่เป็นไร ยังไงๆ เราก็ต้องเชื่อว่าในโลกนี้มีพระเจ้าอยู่ดี เขาคนนั้นเป็นนักคณิตศาสตร์ชื่อดังที่เรารู้จักกันดีครับ ชื่อว่า ปาสคาล
แล้วทำไมปาสคาลถึงบอกแบบนั้น
ปาสคาลให้ concept ของ expected value ครับ คำว่า expected value คืออะไร
expected value ถ้าเทียบกับฟิสิกส์ก็คือจุดซีจี (center of gravity) หรือ จุดศูนย์ถ่วงของวัตถุ ถ้าเทียบในทางความน่าจะเป็น ก็คือค่าเฉลี่ยเมื่อทำการทดลอง เช่นโยนเหรียญ ทอดลูกเต๋า
แล้ววิธีการหา expected value เป็นยังไง วิธีคิดก็คือการหาค่าเฉลี่ยแบบมีน้ำหนัก (weighted average) นั่นแหละครับ
คือ E(X)=Σxp(x) เมื่อ E(X) คือ expected value หรือ expectation ของ X, x คือค่าตัวเลขใน sample space ของเรา และ p(x) คือ ความน่าจะเป็นหรือโอกาสที่ x จะเกิดขึ้น (อันนี้ใช้กับเฉพาะ x ที่เป็น discrete คือ x เป็นตัวๆ นะครับ)
ยกต้วอย่าง เช่น ทอยลูกเต๋า มี 6 หน้าใช่ไหมครับ ดังนั้นเราสามารถหา ค่า expected value ได้
E(X)=1*(1/6)+2*(1/6)+...+6*(1/6)= 3.5
หรือ ยกตัวอย่างใหม่ โยนเหรียญหัวก้อย ถ้าออกหัวให้แทนด้วย 1 ก้อย ให้แทนด้วย 0 แต่สมมติต่อไปว่า หัวมีโอกาสออกได้มากกว่าก้อย สามเท่า
E(X)=1*(3/4)+0*(1/4)=0.75
ไม่ยากเลยใช่ไหมครับ
เอาล่ะ คราวนี้เรามาดูกันว่าแล้วคุณปาสคาล เขาคิดยังไง
พระเจ้ากับ Expectated Value
เขาบอกว่า เอาล่ะในโลกนี้มีสองกรณี
กรณีแรก พระเจ้ามีจริง
กรณีที่สอง พระเจ้าไม่มีจริง
แล้วในแต่ละกรณีก็มีสองความเชื่อ ซึ่งก็คือ เราเชื่อในพระเจ้า กับเราไม่เชื่อ
คราวนี้เรามาสมมติกันในกรณีแรกก่อนคือเราเชื่อในพระเจ้า
กรณีแรกพระเจ้ามีจริง ผลลัพธ์ ตายไปเราขึ้นสวรรค์ ให้ค่าความสุข เป็น อินฟินิตี้ ∞
กรณีที่สอง ถ้าพระเจ้าไม่มีจริง ตายไปไม่เกิดอะไรขึ้น ไม่มีสวรรค์ไม่มีนรก ให้ค่าความสุขได้ 0
แต่ถ้าจะหาค่า expected value ได้ เราต้องให้ค่าความน่าจะเป็นด้วย อ่ะให้โอกาสที่พระเจ้ามีจริงนั้น แค่ 1%
E(X)=0.01*∞+0.99*0=∞
สรุปแล้วไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้น ขอแค่มีโอกาสความน่าจะเป็นว่าพระเจ้ามีจริง ยังไงๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ ค่า Expected value ก็ ∞ ถูกไหมครับ
เอาล่ะมาดูในกรณีที่เราไม่เชื่อว่าพระเจ้ามีจริงบ้าง
แต่พระเจ้ามีจริง ผลลัพธ์ ตายไปก็ตกนรกสิครับ ให้ค่าความสุข เป็น -อินฟินิตี้ (-∞)
กรณีที่สอง พระเจ้าไม่มีจริง ตายไปไม่เกิดอะไรขึ้น ไม่มีสวรรค์ไม่มีนรก ให้ค่าความสุขได้ 0
ดังนั้น เราก็จะสามารถหา Expected value ได้ ว่า -∞
เอาล่ะแล้วมาดูกันครับ ในทาง Decision Theory
ตอนแรกเราก็มาสร้างตารางกันก่อน วิธีการสร้างตารางก็ง่ายๆครับไม่ยุ่งยาก
หลักให้เป็น state of the world หรือเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ (ในกรณีนี้ก็คือ พระเจ้ามีจริงหรือเปล่า)
แถวให้เป็น ตัวเลือกที่เราตัดสินใจ (เลือกจะเชื่อหรือเปล่า)
อย่างที่เห็นในตารางด้านล่างครับ
| เชื่อ/พระเจ้า | มีจริงๆไม่ได้โม้ | โม้แหกตา |
| เชื่อ | ∞ ** | 0 |
| ไม่เชื่อ | -∞ | 0 |
วิธีการตัดสินใจนั้นก็มีหลายแบบครับ
เอาแบบง่ายที่สุดก่อน เรียกว่า Maximum Payoff หรือก็คือเลือกการตัดสินใจที่มีประโยชน์มากที่สุด ดูจากตารางนะครับ แล้วก็เลือกเอาอันที่มากที่สุด (ดังนั้น เราจะเห็นได้ว่า ช่องที่มี ∞ นั้น ให้ค่ามากสุด) เพราะฉะนั้น เราก็ต้องเลือกที่จะเชื่อว่าพระเจ้ามีจริง
เอาล่ะมาอีกกรณีเรียกว่า Maximax อันนี้ ก็คล้ายๆกับ Maximum Payoff ครับ แต่วิธีนี้นั้นจะเลือกเอา ค่าสูงสุดของบรรดาค่าสูงสุดทั้งหมด ดังนั้นวิธีนี้ ขั้นตอนการหาประกอบด้วย สองวิธีครับ
ขั้นแรกคือการหาประโยชน์สูงสุด แล้วขั้นก็สองก็คือเลือกเอาอันที่มากที่สุด (จริงๆแล้ว ค่าที่ได้ก็จะได้เหมือน Maximum Payoff ครับ)
| เชื่อ/พระเจ้า | มีจริงๆไม่ได้โม้ | โม้แหกตา | ค่าผลประโยชน์สูงสุด |
| เชื่อ | ∞ | 0 | ∞ ** |
| ไม่เชื่อ | -∞ | 0 | 0 |
ดังนั้นวิธีนี้เราก็จะเลือกเชื่อพระเจ้าอีกเหมือนกัน
อีกวิธีหนึ่งครับ เรียกว่า Maximin อันนี้ จะเลือกเป็นการหาโดยการเลือกเอาค่าที่มากที่สดของบรรดาค่าที่น้อยที่สุด วิธีการคล้ายๆกับ Maximax ครับ คือแต่แทนที่จะหา ค่าผลประโยชน์มากสุด ในแต่ละการตัดสินใจมา อันนี้เอาค่าประโยชน์น้อยสุดมา แล้วก็เลือกเอาค่าผลประโยชน์ที่มากสุดครับ
ดูตามตารางข้างล่างนะครับ
| เชื่อ/พระเจ้า | มีจริงๆไม่ได้โม้ | โม้แหกตา | ค่าผลประโยชน์น้อยสุด |
| เชื่อ | ∞ | 0 | 0 ** |
| ไม่เชื่อ | -∞ | 0 | -∞ |
เราก็จะเลือกได้อีกเหมือนกันว่า ต้องเชื่อว่าพระเจ้ามีจริง
เอาละ ในนี้จะมีอีกสองวิธีครับ คือ Minimin ซึ่งก็เลือกเอาค่าที่น้อยที่สุดของค่าที่น้อยที่สุด และอันสุดท้ายคือ Minimax ซึ่งก็เลือกเอาค่าที่น้อยที่สุดของผลประโยชน์มากสุด แต่สองกรณีนั้นเหมาะกับการใช้การตัดสินใจกับค่าเสียประโยชน์ เช่น ค่าใช้จ่ายมากกว่าครับ
วิธีสุดท้ายครับ เรียกว่า Minimax Regret
Regret แปลว่าเสียใจครับ แต่ถ้าจะให้แปลแบบลูกทุ่งก็คือ เลือกเอาอันที่เราเสียใจน้อยสุดนั่นแหละครับ วิธีการคือเราต้องการ Regret ก่อนครับ Regret นั้นหาได้จากว่า เอาค่าที่มากที่สุดลบกับค่าผลประโยชน์ที่ได้ในในแต่ละ state of the world ครับ
| เชื่อ/พระเจ้า | มีจริงๆไม่ได้โม้ | โม้แหกตา | Max Regret |
| เชื่อ | ∞-(∞)=0 | 0-0=0 | 0 ** |
| ไม่เชื่อ | ∞-(-∞)=2∞ | 0-0=0 | 2∞ |
แล้ววิธีการหา Minimax ก็คือการเอาค่าน้อยที่สุดของค่ามากที่สุดครับ
ซึ่งก็เหมือนเดิมเลยคือการเลือกที่จะตัดสินใจว่า เชื่อว่าพระเจ้ามีจริงนั้นจะได้ผลดีที่สุด
เอาล่ะครับ ทั้งหมดก็คือมุมมองของพระเจ้าในแง่มุมของคณิตศาสตร์และทฤษฏีการตัดสินใจครับว่าทำไม บางคนถึงเชื่อว่าพระเจ้ามีจริง :D
ที่มา Seife, C. Zero The biography of a dangerous idea, Penguin Book, NY 2000 ISBN0-14-029647-6
Bernstein, P. L. Agaist the Gods: The remarkable history of risk. John Wiley & Sons Inc. NY 1996 ISBN 978-0471121046
หนังสือเกี่ยวกับ Decision Theory นั้นหาได้ทั่วไปครับ หรือไม่ก็อาจจะหาอ่านจากหนังสือพวก Operation Research ก็ได้ครับ
ความเห็น (11)
55555 ชอบค่ะชอบ... good decision ค่ะ ; D
เข้าใจคิดดีจริงๆครับ สมเป็นนักคณิตศาสตร์ อิอิ
พี่ต้นก็ช่างสรรหาครับ ยกนิ้วให้เลยครับ อ่านแล้วงงงง แต่ก็ได้ข้อสรุปที่สมเหตุสมผลดีครับ ไม่งั้นพระเจ้าแย่แน่ อิอิ
ขอบคุณครับ
สวัสดีครับอาจารย์ดร. กมลวัลย์ ลือประเสริฐ
ขอบพระคุณมากครับที่ได้กรุณาสละเวลาเข้ามาอ่านครับ :D
ถึงตอนนี้ก็คงจะบอกว่าการตัดสินใจนับถือศาสนาเป็นการตัดสินใจที่ถูกต้องใช่ไหมครับ
สวัสดีครับคุณน้องเดอ
ผมไม่ได้ช่างสรรหาหรอกครับ ต้องบอกว่าคนที่เขียนหนังสือทั้งสองเล่มนั้นช่างสรรหามากกว่าครับ
ถ้าอ่านแล้ว งง ผมเดาว่าอ่านแล้วงง เรื่อง decision theory นะครับ ถ้าอยากรู้ ก็ลองไปดูหนังสือเกี่ยวกับการวิจัยและคำเนินงาน ครับ แต่หลักก็คือว่า
เราเอาค่าที่น้อยที่สุด หรือค่าที่มากที่สุดมาใช้ในการตัดสินใจครับ แต่วิธีการที่หาก็ขึ้นอยู่กับว่าเราต้องการอะไรนะครับ
อย่าง maximax ถือเป็นวิธีการที่เรียกว่า risk seeking ครับ ก็คือว่าชอบความเสี่ยง
แต่ถ้าเป็นพวก minimax ก็เป็นพวก risk averse ครับ คือพวกไม่ชอบเสี่ยง
ถ้าเป็นพวก regret finder พวกนี้สนใจเกี่ยวกับค่าเสียโอกาสครับ
จริงๆเคยตั้งใจจะเขียนเรื่อง decision theory มานานแล้วครับ เพียงแต่โอ้เอ้มาเรื่อย แล้วก็มาเจอเรื่องนี้พอดี ก็เลยเอามาผสมๆกันครับ
ต้น
แบบนี้เข้าใจขึ้นแล้วครับ เหมือนเล่นหุ้นเลย อิอิ ผมพวกชอบเสี่ยงกลางๆ พอหอมปากหอมคอครับ
ขอบคุณพี่ต้นครับ
เจอข้อมูลอ้างอิงอีกอันใน Stanford Encyclopedia of Philosophy ครับ เค้าเรียกปัญหานี้ว่า Pascal's Wager -- มีข้อโต้แย้งจากนักคณิตศาสตร์อีกสามมุม (ซึ่งก็มีนักคณิตศาสตร์โต้แย้งอีก ว่าข้อโต้แย้งไม่สมเหตุผล)
เอามาแปะไว้เฉยๆ ครับ
สวัสดีครับคุณน้องเดอ
อย่าลืมอะไรไปอย่างนะครับ วิธีที่บอกมานั้นไม่ได้พูดถึงความน่าจะเป็นครับ
เพราะความน่าจะเป็นนั้นเป็นฟังก์ชั่นของความน่าจะเป็นและผลประโยชน์ครับ (ให้คำจำกัดความโดย Frank Knight นะครับ)
ต้น
สวัสดีครับอาจารย์Conductor
ขอบพระคุณมากสำหรับข้อมูลอ้างอิงครับ :D
เรื่องคณิตศาสตร์กับวิทยาศาสตร์ก็สนุกตรงนี้แหละครับ เถียงกันได้ด้วยเหตุผล เหมือนตอนที่ string theory กำลังได้รับความนิยมตอนต้นๆ ใครๆก็บอกว่า string theory นี่แหละ คือตัวเชื่อมของทฤษฏีของนิวตันและไอน์สไตน์ ตอนนี้ก็เริ่มมีคนมาบอกแล้วว่า string theory นั้นไม่สมบูรณ์ สนุกดีครับ เถียงกันไปเถียงกันมา
หรืออย่างสมัยนีล โบร์ เถียงกับ ไอน์สไตน์ ว่าความแปรปรวน (variablity) เกิดจากอะไร มีอยู่ในธรรมชาติด้วยตัวมันเองหรือเปล่า :D
ขอบพระคุณอาจารย์อีกครับ
แล้วบอกได้ไงครับว่า 0 มันมากกว่าอีกค่า
อำเภอ จอมทอง จังหวัด เชียงใหม่
ขายรีสอร์ท เชียงใหม่ : ทางขึ้นน้ำตกแม่ยะ พร้อมเข้าดำเนินกิจการได้ทันที ใกล้ชิดธรรมชาติ, พื้นที่ 26 ไร่ 3 งาน 50 ตารางวา, บ้านพักรับรอง 15 หลัง, เฟอร์นิเจอร์ครบ, แอร์, โทรทัศน์, พัดลม, ร้านอาหาร 1 ร้าน, ใกล้แหล่งท่องเที่ยวดอยอินทนนท์, มีใบอนุญาตเปิดกิจการโรงแรมและรีสอร์ท, เน้นความเป็นส่วนตัว, ปลอดภัย, การเดินทางสะดวก, ทางแยกขึ้นดอยอินทนนท์, เลยน้ำตกแม่กลางไป 4.5 กิโลเมตร,................ต้องการขายด่วน.
0856074427
คำนวนอย่างนั้นไม่ถูก เพราะถ้าหากเราเชื่อพระเจ้า เราต้องดำเนินชีวิตตามคำสอนBB ซึ่งอาจทำให้หลายๆคนไม่มีความสุขได้เท่ากับดำเนินชีวิตอย่างที่ใจต้องการ