การสอนวิธีแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

ไม่รู้ว่าจะตั้งต้นแก้ปัญหาได้อย่างไร เมื่อพอตั้งต้นได้แล้ว ก็ไม่รู้ว่าจะเดินต่อไปเพื่อให้.ได้คำตอบที่ถูกต้อง.อย่างไร

คณิตคิดเป็นระบบคือวิธีการแก้ปัญหาให้กับโจทย์ปัญหาวิทยาศาสตร์ที่เป็นปัญหาเชิงตัวเลขได้อย่างเป็นระบบ ซึ่งทำให้สามารถแก้ปัญหาได้โดยเร็ว และได้คำตอบที่ถูกต้อง

 

ที่ผ่านมาพบว่านักเรียนนักศึกษาจำนวนมากจะประสบปัญหาคือ เมื่อโจทย์มีความยุ่งยากมากขึ้น ก็ไม่รู้ว่าจะตั้งต้นแก้ปัญหาได้อย่างไร เมื่อพอตั้งต้นได้แล้ว ก็ไม่รู้ว่าจะเดินต่อไปเพื่อให้ถึงจุดหมายจนได้คำตอบที่ถูกต้องได้อย่างไร บ่อยครั้งไปหาทางออกไม่เจอ (หลงป่าคณิตศาสตร์) บ่อยครั้งเดินวนเวียนไปมาแล้วกลับมาที่เดิม บ่อยครั้งคิดว่าพบทางออกแต่เป็นทางออกที่ผิด ประเด็นทั้งหลายที่กล่าวมานี้เนื่องจากไม่ได้แก้ปัญหาอย่างเป็นระบบ

 

หลักการและขั้นตอนการแก้ปัญหาอย่างเป็นระบบ  ตามที่ผมได้คิด้นไว้คือ :-

1. เขียนรูปประกอบ (ถ้าทำได้)
2. กำหนดรายการสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ และสิ่งที่โจทย์ถาม (ถ้าเขียนรูปก็ให้กำหนดสิ่งเหล่านี้ลงบนรูปในตำแหน่งที่ถูกต้อง
3. ขั้นตอนสำคัญที่สุดคือ ...โจทย์ถามหาค่าตัวแปรตัวใด ก็ให้ ”ตั้งสมการ” เกี่ยวกับตัวแปรตัวนั้นให้ได้ (เช่นโจทย์ถามหาค่า a)   ถ้ามีสมการให้เลือกได้หลายสมการ ก็ให้เลือกเพียงสมการเดียวที่คิดว่าเป็นสมการที่เหมาะสมที่สุด ถ้าไม่รู้ว่าสมการไหนเหมาะสมที่สุด
4. พิจารณาว่าสามารถแก้สมการนี้เพื่อหาคำตอบให้ a ได้หรือไม่ โดยทั่วไปถ้าเป็นสมการที่มีตัวแปร a เพียงตัวเดียวจะสามรถแก้สมการได้  เช่น อาจได้สมการเป็น 5a + 30= 60  (สมการที่ 1)  ก็จะได้คำตอบทันทีว่า a = 6
5. แต่บ่อยครั้งสมการนี้มีตัวแปรอื่นปนอยู่ด้วย เช่น 5a + b = 60 (สมการที่ 2)   ในกรณีนี้เราต้องหาค่าให้ b  ดังนั้นโจทย์ปัญญากลายมาเป็นว่า จะหาค่า b ได้อย่างไร ไปแล้ว เพราะถ้าได้ค่า b ก็เอามาแทนในสมการที่ 1 ก็ได้ค่า a ซึ่งเป็นคำตอบที่โจทย์ต้องการ
6. แนวทางการหาค่า b นั้นก็ใช้หลักการเดียวกับการหาค่าให้ a นั่นคือ ต้องตั้งสมการอีกอันหนึ่งให้ b ให้ได้ ซึ่งสมการนี้อาจมีรูปแบบต่างๆดังนี้

6.1  มีตัวแปร b เพียงตัวเดียว เช่น 9 + 4b = 12  ซึ่งสามารถหาค่า b ได้ จากนั้นเอาไปแทนค่าในสมการที่ 2 ก็ได้คำตอบ b แล้วเอาไปแทนในสมการ 1 ก็ไดค่า a  

6.2  อาจมีตัวแปรอื่นปนอยู่ในสมการด้วย เช่น 3b + 2c =8  ซึ่งในกรณีนี้โจทย์ปัญหาใหม่กลายเป็นว่าต้องหาค่า c ให้ได้ ถ้าได้ค่า c ก็ได้ b ก็จะได้ a ด้วยการทะยอยแทนค่าย้อนกลับไปในที่สุด

6.3  ตัวแปรอื่นที่ปนมาในสมการใหม่อาจเป็น a เสียเอง เช่น 3b + 2a= 8  ซึ่งในกรณีนี้ ถือว่า a เป็นตัวแปรซ้ำเก่าในสมการที่  1  อยู่แล้ว ดังนั้นจึงไม่ต้องไปหาสมการอื่นมาหาค่าให้ a อีกแล้ว เพราะเราสามารถแก้สมการนี้ร่วมกับสมการที่ 2 ซึ่งเป็นระบบสมการที่มี 2 สมการ ใน 2 ตัวแปร ซึ่งสามารถแก้สมการได้ตามวิธีการทางคณิตศาสตร์ (เช่น ด้วยการกำจัดตัวแปร หรือด้วยการแทนค่าตัวแปร)

6.4  ในกรณีข้อ 6.2 การหาค่าตัวแปร c อาจไปสร้างตัวแปรใหม่ d e f  รวมทั้งตัวแปรเก่า a b ด้วยก็ได้ ก็ทำไปด้วยวิธีการเดิมเรื่อยๆ จนกว่าจะหาค่าตัวเลขให้กับตัวแปรได้หมด แล้วทยอยแทนค่ากลับเข้าไปหาตัวแปรที่โจทย์ถามหาก็จะได้คำตอบในที่สุด ถ้าสมการ “พันกัน” ก็ต้องทำการแก้สมการทั้งหมดพร้อมๆกันไป หลักการสำคัญคือ

6.4.1        ต้องมีจำนวนตัวแปรเท่ากับจำนวนสมการ

6.4.2        สมการเหล่านั้นต้องเป็นอิสระต่อกัน ซึ่งหมายความว่า ไม่สามารถสร้างสมการใดขึ้นได้จากการเอาสมการที่เหลือมาผสมกัน ถ้าสมการไม่อิสระต่อกันก็เท่ากับว่าเรายังมีสมการไม่ครบจำนวนตัวแปร ซึ่งจะทำให้ไม่สามารถหาค่าตัวแปรออกมาเป็นตัวเลขไม่ได้ แต่อาจได้คำตอบในนามของตัวแปรอื่น (ซึ่งในกรณีของการศึกษาขั้นสูง อาจกลายเป็นสิ่งที่ดีกว่าการได้คำตอบเป็นตัวเลขเสียอีก)

6.4.3        สมการหรือระบบสมการที่ได้นี้อาจเป็นสมการพีชคณิตเชิงเส้น  หรือ ไม่เชิงเส้น หรือ อาจเป็นสมการอนุพันธ์ (differential) หรือสมการ ปริพันธ์ (integral) ก็เป็นได้ ซึ่งวิธีการแก้ปัญหาก็แตกต่างกันออกไป  ในระดับมัธยมจะเป็นสมการเชิงพีชคณิตเท่านั้น

 

ตัวอย่างที่ 1

ส้ม 3 ผล ราคา 5 บาท ส้ม  7  ผลราคาเท่าไร

 

วิธีทำแบบไม่เป็นระบบ:

เทียบบัญญัติไตรยางศ์หาราคาส้ม 1 ผล จากนั้นคูณด้วย 7 ก็จะได้ราคาส้ม 7 ผล

 

วิธีแบบนี้เป็นวิธีหาคำตอบแบบ “เดินไปข้างหน้า” โชคดีที่ว่าปัญหานี้เป็นปัญหาง่ายๆ เส้นทางเดินก็โล่งๆ ตรงๆ ก็เลยไม่หลงทาง

 

วิธีทำแบบเป็นระบบตามวิถีคนถางทาง:

ตั้งตัวแปรของคำตอบว่า ส้ม 7 ผล ราคา a บาท

ตั้งสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรคำตอบคือ                  a = 7b  (เมื่อ b คือราคาส้ม 1 ผล)

หาค่า b ให้ได้ด้วยการตั้งสมการ คือ              3b=5    ดังนั้น b=5/3

เอาไปแทนค่าในสมการแรก ได้                    a=7x(5/3) = 11.67 บาท

 

วิจารณ์: ในกรณีนี้ถือว่าเป็นการ “เดินย้อนหลัง” จากคำตอบที่สมมติค่าว่าเป็น a แล้วย้อนรอยกลับไปยังจุดเริ่มต้น ซึ่งสำหรับโจทย์ง่ายๆที่รู้จักกันดีนี้ กลายเป็นว่าวิธีแบบเป็นระบบยากกว่าวิธีแบบที่เราคุ้นเคยกันดี  แต่นั่นอาจเป็นเพราะว่าเราถูกล้างสมองมาแต่เด็กด้วยวิธีคิดแบบบัญญัติไตรยางค์นั่นเอง

 

ตัวอย่างที่ 2

ส้มโอ 3 ผล ราคาเท่ากับมะนาว 14 ผล และมะนาว 4 ผลมีราคาราคา 5 บาท ถ้ามีเงินอยู่ 100 บาท จะซื้อส้มโอได้กี่ผล

 

วิธีทำแบบไม่เป็นระบบ: เทียบบัญญัติไตรยางศ์จากหน้าไปหลัง (ขอให้นักเรียนลองทำดู ด้วยตนเอง โดยไม่ต้องเรียนรู้วิธีแบบเป็นระบบ)

 

วิธีทำแบบเป็นระบบแบบถางทาง:

1. กระจายโจทย์ออกเป็นท่อนๆ แต่ละท่อนสามารถนำมาสร้างเป็นสมการได้ คือ

1.1  ส้มโอ 3 ผล = มะนาว 14 ผล

1.2  มะนาว 4 ผล = 5

1.3  100 บาท = ส้มโอกี่ผล

7. สมมติคำตอบว่าคือ a ซึ่งหมายความว่า เงิน 100 บาทจะซื้อส้มโอได้ a ผล
8. สร้างสมการที่เกี่ยวกับ a         เช่น              a = 100 / b  (สมการที่ 1) ...เมื่อ b คือราคาส้มโอหนึ่งลูก ดังนั้นถ้ารู้ค่า b ก็จะได้คำตอบทันที ดังนั้นขั้นต่อไปต้องสร้างสมการอื่นที่มีค่า b ร่วมอยู่ด้วย
9. สมการดังกล่าวคือ 3b = 14c (สมการที่ 2)  ...เมื่อ c คือราคามะนาว 1 ผล ซึ่งถ้ารู้ค่า c ก็จะได้คำตอบ จึงต้องสร้างสมการอื่นที่มีค่า c ร่วมอยู่ด้วย
10. สมการดังกล่าวคือ 4c = 5  (สมการที่ 3)
11. จากนั้น หาค่า c จากสมการที่ 3  จากนั้นหาค่า b จากสมการที่ 2 จากนั้นหาค่า a จากสมการที่ 1
12. ดังนั้น c= 5/4; b= (14/3)c = (14/3)(5/4); a = (100/b) = 100x 3x 4/ (14 x5) .....ตอบ

 

 

วิจารณ์: โจทย์ข้อนี้ถ้าทำแบบ “เดินจากหน้าไปหลัง” ก็ชักจะยุ่งยาก อาจเจอทางสองแพร่ง ซึ่งดูเหมือนเป็นทางตัน แต่ถ้าใช้วิธีการ “เดินถอยหลัง” จะไม่ติด คือมีหนทางสร้างสมการย้อนกลับไปเรื่อยๆ จนสุดต้นทาง

 

ตัวอย่างที่ 3

ส้มโอ 3 ผล ราคาเท่ากับมะนาว 10 ผลรวมกับมะกรูด 3 ผล และมะนาว 4 ผลมีราคาเท่ากับมะกรูด 7 ผล โดยมะกรูด 2 ผลราคา 5 บาท ถ้ามีเงินอยู่ 100 บาท จะซื้อส้มโอได้กี่ผล

 

วิธีทำแบบไม่เป็นระบบ: ขอให้ลองทำดูว่าจะยุ่งยากขนาดไหน

 

วิธีทำแบบคนถางทาง:

1. กระจายโจทย์ออกเป็นท่อนๆ โดยแต่ละท่อนสามารถนำมาสร้างเป็นสมการได้ คือ
   1. 3 ส้มโอ   = 10 มะนาว +  3 มะกรูด
   2. 4 มะนาว  =  7 มะกรูด
   3. 2 มะกรูด  = 5
   4. 100 บาท = ส้มโอกี่ผล

 

1. สมมติคำตอบว่าคือ a ซึ่งหมายความว่า เงิน 100 บาทจะซื้อส้มโอได้ a ผล
2. สร้างสมการที่เกี่ยวกับ  a         เช่น              a= 100 / b (สมการที่ 1) ...เมื่อ b คือราคาส้มโอหนึ่งลูก ดังนั้นถ้ารู้ค่า b ก็จะได้คำตอบทันที ดังนั้นขั้นต่อไปต้องสร้างสมการอื่นที่มีค่า b ร่วมอยู่ด้วย

3.1  สมการดังกล่าวคือ 3b = 10c + 3d (สมการที่ 2)  ...เมื่อ c คือราคามะนาว 1 ผล และ d คือราคามะกรูด 1 ผล ซึ่งถ้ารู้ค่า c และ d ก็จะได้คำตอบ จึงต้องสร้างสมการอื่นอีกสองสมการที่มีค่า c และ d  ร่วมอยู่ด้วย

3.2  สมการดังกล่าวคือ 4c = 7d  (สมการที่ 3) และ 2d = 5 (สมการที่ 4)

4        จะเห็นได้ว่าเรามี 4 สมการ ใน 4 ตัวแปร คือ a  b c d  ซึ่งเป็นอิสระต่อกัน จึงสามารถใช้วิธีการทางพีชคณิตหาค่าให้ทั้ง  4 ตัวแปรได้

5        จากสมการที่ 4  d = 5/2; จากสมการที่ 3 c = (7/4) d = (7/4)(5/2) = 35/8; b = (10/3)c + d = (10/3)(35/8) + (5/2) = 410/24 ; จากสมการที่ 1 หาค่า a ได้ ...จบ

 

 

วิจารณ์: ข้อนี้ยุ่งยากมากขึ้น เส้นทางเดินไปข้างหน้ายอกย้อน มีทางสองแพร่ง สามแพร่ง ต่อกันแบบวกวน ถ้าไม่ทำการเดินถอยหลังอย่างเป็นระบบคงจะคลำทางไปหาคำตอบไม่เจอเป็นแน่แท้

 

ตัวอย่าง 4 : โจทย์ของผสม

 

ถัง ก มีปริมาตร 50 ลิตร บรรจุของเหลวผสมระหว่างสาร A และ B โดยมี B ร้อยละ 20  ถัง ข มีปริมาตร 20 ลิตร มีสาร B ร้อยละ 15   ถ้าเอาของเหลวในถังทั้งสองเทผสมกันจะมีสาร B เป็นปริมาณร้อยละเท่าใด

 

วิธีทำแบบเดินไปข้างหน้า (อย่างไม่เป็นระบบ) : อาจทำได้หลายวิธี สุดแล้วแต่ครูโรงเรียนไหนจะนิยมชมชื่นเส้นทางเดินแบบใด เช่น  อาจคิดว่า ผลรวมสุดท้ายมีปริมาตร = 50 + 20 = 70 ลิตร  ดังนั้นเราควรหาปริมาณสาร B รวมทั้งหมดแล้วหารด้วย 70 และคูณด้วย 100 ก็จะได้คำตอบ  (ครูอาจคิดได้เพราะสอนเรื่องนี้มานาน แถมอาจสอนให้เด็กจำเป็นกรณีพิเศษ..ที่เอาไปใช้ในกรณีอื่นไม่ได้ แต่เด็กอายุ 12 คงจะคิดไม่ออก และคงต้องจำปัญหาเฉพาะนี้ให้รกสมองไปอีกนาน)

 

วิธีทำอย่างเป็นระบบ:   ลองทำดูสิครับ ..รับรองว่าง่าย

 

 

ผมใช้วิธีมานาน แม้ในการวิจัยระดับสูง ที่มีการดิฟเฟอเรนชิเอต และอินทีเกรตเต็มจอ มันช่วยทำให้ผมคิดนวัตกรรมต่างๆได้มากหลายมาแล้ว

 

ขอให้ทุกคนโชคดี ทั้งครูและนักเรียนนะครับ  ไม่หลงป่าคณิตศาสตร์กันอีกต่อไป

 

...คนถางทาง (๖ มีนาคม ๒๕๕๕)