เมตริกซ์ (Matrix)

เมตริกซ์(Matrix)

                การเขียนจำนวนตัวเลขอาจเขียนในรูปแบบเฉพาะที่ตัวเลขแต่ละตัวมีตำแหน่งแน่ชัด  เป็นกลุ่มเรียงแถวและหลักอย่างเป็นระเบียบ  เรียกกลุ่มตัวเลขนี้ว่าเมตริกซ์  สามารถสร้างให้กระทำเป็นระบบสอดคล้องกันโดยกำหนดคุณสมบัติและการกระทำได้ด้วย การบวก ลบ คูณและส่วนกลับ  นอกจากนี้นำไปคำนวณในลักษณะเฉพาะที่เรียกว่า ดีเทอร์มิแนนท์  ปฏิบัติการเชื่อมโยงกันและนำไปประยุกต์ใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างมีประสิทธิภาพ

เมตริกซ์(Matrix)

                กลุ่มของตัวเลขหรือจำนวนที่เขียนเรียงกันเป็นแถวหรือหลักในลักษณะสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถจำแนกจำนวนแถวและหลักได้อย่างชัดเจนและเขียน  [ ] หรือ ( ) ล้อมรอบตัวเลขเหล่านี้เรียกว่า เมตริกซ์  และเรียกตัวเลขที่อยู่ภายในว่า“สมาชิก”

เมตริกซ์ที่มีจำนวนแถว(Row)  =  m  แถว  และหลัก(Column) =  n  หลัก  เรียกว่า

]

[

m×n เมตริกซ์  เช่น เมตริกซ์ A มีมิติ  2×3  จะเขียนเมตริกซ์ ด้วยสัญลักษณ์

A =

a₁₁          a₁₂          a₁₃

a₂₁          a₂₂          a₂₃

2×3

 

                 

               

                         จากตัวอย่างนี้เรียกเมตริกซ์ A ว่า มี 2 แถว 3 หลัก  มีสมาชิกทั้งหมด 6 ตัว

                สัญลักษณ์รูปทั่วไปของ A = [a_ij]_m×n

                                                                                                i=1,2,3,4…,m

                                                                j=1,2,3,4…,n

                                หมายถึง เมตริกซ์ A มีจำนวนแถว  m จำนวนหลัก n

                โดยที่      a₁₁                                     หมายถึงสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 1 หลักที่ 1

                                a₂₃            หมายถึงสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3

                                a_ij         หมายถึงสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ i หลักที่ j

 

ข้อสังเกต***

                                i  เป็นตัวเลขบอกตำแหน่งแถว   j  เป็นตัวเลขบอกตำแหน่งหลัก  และสมาชิกทุกตัวของเมตริกซ์มีตำแหน่งของตัวเองเสมอ

 

ชนิดของเมตริกซ์

                การเรียงตัวของกลุ่มตัวเลข  หรือสมาชิก  สามารถจำแนกและเรียกชื่อเฉพาะและมีคุณสมบัติดังนี้

1. เมตริกซ์แถว (Row  Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่มีสมาชิกเพียงแถวเดียว

                เช่น  A=[0 -1 2]_1×3

[

]_3×1

                เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 1×3

2 . เมตริกซ์หลัก(Column  Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่มี สมาชิกเพียง หลักเดียว

A=

 4

 3

-2

               

               เช่น 

 

                                เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 3×1

                                3 เป็นสมาชิกในตำแหน่ง a₂₁ หรือแถวที่ 2 หลักที่ 1

3. เมตริกซ์ศูนย์(Zero  Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็น 0

                สัญลักษณ์ 0  แทนเมตริกซ์ศูนย์ เช่น

A=

0    0

0    0

[

]_2×2

 

 

 

                เมตริกซ์ 0 ที่มีขนาดมิติ  2×2

                4. เมตริกซ์จัตุรัส (Square Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่มีจำนวนแถวและหลักเท่ากัน

A = [a_ij]_m×n    ;           i=1,2,3,4…,n  และ   j=1,2,3,4…,n

                               

]_3×3

[

1        -2    3

0     5   -1

0     1     2

A=

เช่น 

 

เป็นเมตริกซ์จัตุรัสมีขนาดมิติ 3×3 และมีสมาชิก 9 ตัว

                5. สเกลาร์เมตริกซ์(Scalar  Matrix) เป็นเมตริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกในแนวเส้นทะแยงมุมหลัก(Main Diagonal) เท่ากันหมด  และสมาชิกที่เหลือเป็น 0 หมด

 

 

]_3´3

[

A=

3    0    0

0    3    0

0    0    3

เช่น

 

 

               6. เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity  Matrix) เป็น scalar  matrix  ที่มีสมาชิกในแนวเส้นทะแยงมุมหลักมีค่าเป็น 1 เท่ากันหมด

                สัญลักษณ์  ใช้  I  แทน Identity  Matrix  

 

=

1          0

0     1

[

]

              

                           เช่น  I₂   หรือ  I_2´2

=

1   0    0

0    1   0

0    0   1

[

]

 

                          เช่น  I₂   หรือ  I_2´2

 

 

                    เมตริกซ์เอกลักษณ์เป็นเมตริกซ์ที่มีคุณสมบัติสำคัญในการคูณ  การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์ A 

                     ทรานสโพสของเมตริกซ์(Transpose   Matrix)

                      ถ้า  A เป็นเมตริกซ์ที่มี มิติ 3´3   ทรานสโพสของเมตริกซ์  A  เกิดจากการเปลี่ยนที่จากแถวเป็นหลักของเมตริกซ์  A

                      สัญลักษณ์   A^t   แทน      ทรานสโพสของเมตริกซ์   A

                     นั่นคือ A    =    [a_ij]   มีมิติ  m ´ n

                              A^t   =    [a_ji]  มีมิติ n ´ m

 

1    2   -1

0    3     5

[

]_2´3

 

ตัวอย่าง   A  =  

[ 

1          0

2          3

 -1     5

]_3´2

 

 

             A^t   =    

 

               

การเท่ากันของเมตริกซ์   เมตริกซ์ใด ๆ  จะเป็นเมตริกซ์เท่ากันภายใต้เงื่อนไข

1.       เมตริกซ์จะต้องมีมิติเท่ากัน

2.       สมาชิกในแต่ละตำแหน่งเท่ากัน

]

[

 1         -2

      -1

เช่น

]

[

  1     2   -2

0.5    4   -1

A    =                                                    B =  

 

                          A         =          B          

การบวกและการลบเมตริกซ์

                การบวกและการลบเมตริกซ์สองเมตริกซ์ใด ๆ สามารถกระทำได้ภายใต้เงื่อนไข

1.       เมตริกซ์ ทั้งสองต้องมีมิติเท่ากัน

2.       นำสมาชิกที่อยู่ตำแหน่งเดียวกันบวกหรือลบกัน

นิยาม