Transition

wwibul
  double exponential = autocatalysis = phase transition  

มีคำหลายคำที่อยู่ข้ามวงการ แต่จริง ๆ แล้ว เป็นเหมือนจิ๊กซอว์ซึ่งกันและกัน ที่น่าจะยกมาขยายความกันหน่อย

คือคำว่า double exponential, autocatalysis, phase transition

ลองมาดูในส่วนที่เกี่ยวข้องกับ ความเร็ว หรือ อัตราเร็วการเปลี่ยนแปลง ของคำเหล่านี้กัน

ในที่นี้ เป็นการเฝ้าดูว่า เมื่อเวลารี่รุดไปข้างหน้า จะเกิดการเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหน

 

คำแรก double exponential

เราชินกับ exponential ธรรมดาซะมากกว่า

exponential แบบธรรมดา หมายถึงการเติบโตทบต้นตามปรกติของธรรมชาติ เช่น เชื้อโรคโตในสภาพที่มีอาหารมากไม่จำกัดและสิ่งแวดล้อมเหมาะสมตลอดเวลา การเพิ่มของประชากรในสภาพที่ทรัพยากรเหลือเฟือและสิ่งแวดล้อมดี

เช่น เชื้อบางชนิด เพิ่มจำนวนเป็นทวีคูณ ทุก 20 นาที

คำว่า ทุก 20 นาที ก็จะเป็นค่าคงที่ของเชื้อนี้ คือ ผ่านไปอีกกี่รุ่น ก็ยังเป็น 20 นาที ที่เชื้อจะเพิ่มเป็นเท่าตัวได้

นี่คือการเติบโตแบบธรรมชาติ แบบนี้จะเป็น exponential ตามปรกติ หน้าตาสมการได้แก่ c*exp(kt) ซึ่งเมื่อแกนยืนใส่ log scale เป็น log(y) จะเห็นกราฟเป็นเส้นตรง

การฝากเงินแล้วดอกเบี้ยทบต้น ก็เป็นกรณีหนึ่งของการโตแบบ exponential ธรรมดานี้ด้วยเหมอนกัน

แต่ double exponential จะไม่ใช่อย่างนั้น

พอเป็น double exponential ปรากฎว่า เมื่อเวลาผ่านไป เวลาที่ต้องใช้ในการเพิ่มเป็นทวีคูณ จะน้อยลงกว่าเดิม

เช่น เดิมใช้เวลา 20 นาที ต่อมา ก็ใช้เวลาน้อยลง กลายเป็น 15, 10, 5, ... นาที น้อยลงเป็นลำดับ การเพิ่มขึ้นของกราฟช่วงปลาย จะขึ้นแบบปุบปับ

แกนยืนถ้าใส่ log ปรากฎว่า กราฟจะงอนขึ้นตรงปลาย ถ้าอยากเห็นเส้นตรง ต้องใส่ log(log(Y))

เราเจอ double exponential ในแวดวง IT เช่น การเพิ่มจำนวนของ spam หรือการเปลี่ยนแปลงเกี่ยวกับสมรรถนะต่อราคาด้าน IT ที่ Rays Kurzweil ฟันธงไว้

สมการกรณีนี้ หน้าตาคือ c*exp(exp(kt))

 

คำถัดมา คือ autocatalysis

คำนี้คือปรากฎการณ์ positive feedback ที่เมื่อเ้กิดผลอะไรขึ้นมาก็ตาม ผลที่เกิดขึ้น จะย้อนไปเร่งให้เกิดผลนั้นเร็วยิ่ง ๆ ขึ้นไป เช่น ปฎิกิริยา autocatalysis ทางเคมีที่สาร A สลายเป็น B โดย B จะทำหน้าที่เป็น reactant กับ A เร่งให้เกิดการสร้างสาร B เร็วยิ่งขึ้นไปอีก

สมการกรณีนี้ ต้องแสดงในรูปแบบของสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งจะดูง่าย (แต่แก้ไม่ง่าย ... แต่ใน wiki มีตัวอย่างของสมการที่แก้แล้ว ซึ่งยาวมาก)

dA/dt = -kAB; dB/dt = kAB

ตัวอย่างเช่น ปรากฎการณ์ อิน-เทรนด์ ของวัยรุ่น การฮิตของแฟชั่น การติดตลาดของระบบปฎิบัติการ การสมาทานลัทธิประหลาดในวงสังคมเล็ก ๆ ฯลฯ

การการสูญเสียความเชื่อมั่น ของคน ต่อประเด็นต่าง ๆ ในมิติทางสังคมก็มักเป็นแบบนี้ คือ เมื่อเริ่มปริแรก ๆ รอยปริอาจเล็กจนมองแทบไม่เห็น แล้วค่อย ๆ เพิ่มขึ้นช้า ๆ จนถึงจุดหนึ่ง ก็เกิดการก้าวกระโดด

การตามแห่ ก็เป็นแบบนี้

ตัวอย่างเช่น อภิมหาเงินเฟ้อ ก็เกิดแบบนี้ คือ มีผู้เคยวิจัยพฤติกรรมของอัตราเร็วการเกิดอภิมหาเงินเฟ้อ พบรูปแบบ double exponential (T. Mizuno, M. Takayasu and H. Takayasu, The mechanism of double-exponential growth in hyper-inflation. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications Volume 308, Issues 1-4, 15 May 2002, Pages 411-419) ซึ่งเราก็พอจะรู้ว่า เงินเฟ้อแบบนี้ เกิดโดยขาดความเชื่อมั่น มีการตามแห่ และเมื่อสุกงอม จะเกิดการเปลี่ยนแบบปุบปับแบบรุนแรง

ทางวิศวกรรมไฟฟ้า ก็ดูเหมือนจะมีวงจร phase-locked loop ที่มี positive feedback ซึ่งก็ควรเทียบเคียงได้กับ autocatalysis นี่เหมือนกัน

สิ่งที่น่าสนใจก็คือ autocatalysis ในช่วงต้นและกลาง (ที่วัตถุดิบตั้งต้นยังมีมากเหลือเฟือ) จะประมาณการอย่างคร่าว ๆ ด้วย double exponential curve ได้

หากเขียนลงกราฟ semilog อาจเห็นต่างกันบ้าง แต่บนสเกลธรรมดา สามารถซ้อนกันได้เกือบสนิท ยกเว้นช่วงปลายที่ต่างกันนิดหน่อย

 

สีแดงเป็น autocatalysis และสีดำเป็น double exponential

ช่วงกลางจะเปลี่ยนเร็วที่สุด แต่ในช่วงปลาย พอวัตถุดิบตั้งต้นโดนใช้ไปเกือบหมด อัตราเร็วก็จะลดลง กลายเป็นช้าเอื่อย ๆ

ช่วงกลางของ autocatalysis นี้เอง ที่จะเปลี่ยนเร็วมากแบบสายฟ้าแลบ จนทำให้เกิดการเปลี่ยนคุณสมบัติโดยรวมของระบบอย่างปุบปับ 

เทียบได้กับการเปลี่ยนสถานะของระบบ ที่เรียกว่า phase transition 

อัตราเร็วของการเกิด phase transition มักเกิดในลักษณะนี้ คือ เกิดปุบปับ ใครที่เคยทดลองเกี่ยวกับพฤติกรรมทางเคมีกายภาพของสาร จะนึกภาพออก ว่าการเปลี่ยนปุบปับที่ว่า เร็วมาก ซึ่งจะเทียบได้กับลักษณะกราฟกรณี double exponential หรือ autocatalysis

อย่าว่าแต่ ในระบบที่เกิด phase transition บางครั้ง ก็มีกรณีของ positive feedback ใน autocatalysis ด้วยเช่นกัน

ลักษณะเฉพาะที่นำมาก่อนคือช่วงบ่มเพาะ คือมีช่วงเสมือนไม่เปลี่ยนแปลงเลยค่อนข้างนาน (=มี lag time) ช่วงนี้ เหมือนไม่มีอะไรเกิดขึ้นเลย จริง ๆ ก็มีการเปลี่ยนแปลง แต่น้อยจนเรามักมองไม่ออก ตราบจนถึงระดับที่เป็นมวลวิกฤติ จึงเกิดการเปลี่ยนแปลงปุบปับ

ใครคุ้นกับวิธีคาดการณ์แบบทื่อ ๆ ใช้ข้อมูลในอดีตมาคาดการณ์อนาคตในปรากฎการณ์ autocatalysis จะมีปัญหาว่า คาดผิดแบบ "หักมุม" คือประเมินการเปลี่ยนแปลงต่ำไปมหาศาลเสมอ

autocatalysis ถ้าตามดูไปตลอด ทำให้เห็นกราฟที่เทียบเท่าการเกิด phase transition โดยมีเวลาเป็นตัวแปร ซึ่งหน้าตาคล้าย sigmoid curve ที่เกือบเหมือนการกระโดดขึ้นขั้นบันไดอย่างปุบปับ

ปัญหาสภาวะโลกร้อน ก็อาจเข้าข่าย autocatalysis นี้เหมือนกัน

คำถามคือ เราไม่รู้ว่า ตอนนี้ เรากำลังอยู่ช่วงไหนของ transition curve นี้

ช่วงเชิงดอย ? ช่วงกึ่งกลาง ? ช่วงใกล้เสถียรตอนปลาย ?

 

หมายเหตุท้ายบท:

คุณ "บ่าววีร์" เคยทักขึ้นว่า ต้องมีมวลวิกฤติไหม ?

ตอนแรกผมตอบไปว่าไม่ต้องมี แต่มาดูสมการอีกที เอ๊ะ จริง ๆ แล้ว ต้องมี

       rate = k[A][B]

สมการบ่งว่า เกิดเร็ว เมื่อมี A และ B มากทั้งคู่ หากตัวใดตัวหนึ่งน้อย เช่น ช่วงต้น หรือช่วงปลาย จะเกิดแบบเอื่อย ๆ และช่วงกลางที่มีมากพอกันทั้งคู่ จะเกิดเร็วที่สุด

แต่ไม่ได้มีในความหมายที่เป็นระดับค่าคงที่ ประเภทที่ เดินแตะเส้นนี้ เมื่อไหร่ ไปโลด ถ้าไม่แตะเส้นนี้ จะถอยหลังกลับ

แต่มีความหมายในลักษณะที่ว่า ถ้ามีมากพอสมควรเมื่อไหร่ จะไปโลด ถ้ามีไม่มากพอ ยังไงก็ไปนั่นแหละ แต่ช้า คือไปต่อแบบไม่ผันกลับ

ดังนั้น มวลวิกฤติ ใช้ในความหมายที่ตีความต่างกันได้  ซึ่งผมตีความไปอีกอย่างในตอนต้น ต้องขออภัย และเพิ่มเติมปรับแก้แล้ว

บันทึกนี้เขียนที่ GotoKnow โดย  ใน ใบไม้ผลิ

คำสำคัญ (Tags)#emergent#ผุดบังเกิด#autocatalysis#double exponential#phase transition

หมายเลขบันทึก: 123121, เขียน: 29 Aug 2007 @ 16:15 () , แก้ไข, 17 Jun 2012 @ 14:33 (),  | , สัญญาอนุญาต: สงวนสิทธิ์ทุกประการ, ความเห็น: 7, อ่าน: คลิก
บันทึกล่าสุด


ความเห็น (7)

น่าสนใจครับ

รอ critical mass อยู่ครับ :-P.
wwibul
เขียนเมื่อ 
คุณบ่าว
  • กรณีนี้ จะมีแต่ critical time ครับ
  • คือจะแบ่งเป็น 3 ระยะ
  • ฟักบ่ม - เปลี่ยนรุนแรง - ภาวะเสถียรใหม่
  • ช่วงฟักบ่ม ไม่ต้องใช้ critical mass
  • ขอเพียงมี initial condition ที่ไม่เป็นศูนย์ จะเกิดการเปลี่ยนแปลงเสมอครับ
P ขอบคุณครับ :-).
aonjung
เขียนเมื่อ 

ผมชอบบทความของท่านจริงๆ

อุดมไปด้วยสาระ มากๆเลย

โลกยิ่งร้อน คนยิ่งเปิดแอร์ โลกกร้อนขึ้นอีก คนก็เปิดแอร์ยิ่งขึ้นอีก อย่างนี้เข้าข่าย autocatalysis หรือเปล่า แต่ผมเรียกว่า วงจรอุบาทว์ 555

wwibul
เขียนเมื่อ 

P aonjung

  • ด้านบวก หรือ ด้านลบ เป็นเรื่องที่ขึ้นกับว่า เราได้ หรือเราเสียผลประโยชน์
  • แต่คำนี้ เป็นคำกลาง ๆ ไม่เกี่ยวกับบวกหรือลบครับ

อ่านครั้งนี้เป็นครั้งที่..อืม..นับไม่ถูก

ขอสารภาพว่า เข้าใจ อืม..ยังไม่ถึงครึ่ง

ไม่อคาเดมิค..กะเขาเล้ย...