บทพิสูจน์ Prime Number มีไม่สิ้นสุดของ Euclid

wwibul

มีข่าว subprime เขย่าขวัญธนาคารกลาง  และตลาดหุ้นทั่วโลก มีคนฟันธงว่า นี่คือต้มยำกุ้งรอบใหม่ของโลก เพราะเพียงแค่สองวัน ธนาคารกลางยุโรปและเฟดต้องอัดฉีดเงินสภาพคล่องเข้าระบบไปแล้ว ถึงเทียบเท่า 10 ล้านล้านบาท !

แต่ subprime ไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกันกับ prime number เลยแม้แต่น้อย ยกเว้นว่า เขียนคล้ายกัน ชวนให้สับสน

ต้องมาพูดถึง prime number ซะหน่อย ไม่งั้น เดี๋ยวใครเข้าใจผิดว่าเป็นคำเดียวกัน จะดูไม่งาม  เพราะต้องแปดเปื้อนแบกรับมลทินจาก subprime ทั้งที่ไม่ได้มีส่วนเกี่ยวข้องกันเลย

คนรัก prime number ยอมไม่ได้เด็ดขาด

โดยนิยาม prime number เป็นเลขที่ไม่มีอะไรมาหารมันได้ ยกเว้น 1 และตัวมันเอง

มองในมุมมองศิลปะ เลข prime เป็นเลขสวยที่งดงามอยู่ในตัวเอง หลายคนมองว่า เลข prime เป็นศิลปกรรมชั้นเลิศ ยิ่งดูยิ่งงดงามกระไรปานนั้น หมกมุ่นที่จะหาความจริงที่ซ่อนอยู่ในอาณาจักรแห่ง prime number โดยไม่สนใจการประยุกต์

แต่ในมุมมองวิทยาศาสตร์ เลข prime เอาไปใช้ประโยชน์ได้ ในวิชาเรื่องการเข้ารหัสลับข้อความ สังคมจึงปล่อยให้คนกลุ่มแรก อยากทำอะไรก็ทำไป จะได้นำความรู้ที่คนกลุ่มแรกสร้างขึ้นมาใช้ประโยชน์

prime number ได้แก่เลขอะไรบ้าง ?

ก็มี 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,37, 41, 43, ...

เนื่องจากนี่เป็นงานศิลปะ เชื่อขนมกินได้เลยว่า มีการกล่าวขานถึงตั้งแต่ยุคโบราณ

ใช่แล้วครับ ยูคลิด (Euclid) นักเรขาคณิต หยิบเรื่อง prime number มาเล่นอยู่พักใหญ่ และฟันธงออกมาว่า prime number มีมากเป็นอสงไขย บ่รู้กี่ส่ำตามสาร มากมายมิรู้จบรู้สิ้น

เขารู้ได้อย่างไร ?

Euclid ใช้วิธีพิสูจน์ที่แอร์ดิช นักคณิตศาสตร์ก้องโลกในยุคสมัยของเรานี้ ออกปากชมเปาะว่า เป็นวิธีที่งดงามนัก รวบรัดหมดจดนัก

ลองมาดูว่า ยูคลิคเขามีวิธีพิสูจน์อย่างไร

วิธีคิดของยูคลิดนี้น่าทึ่ง เพราะเราสามารถปรับใช้กับการดำเนินชีวิตได้ด้วย

คือ ดูว่า มีทางเดินอะไรให้เลือก แล้วเดินสำรวจแต่ละเส้นทางอย่างถี่ถ้วนจนถึงที่สุด

บางทีที่เราแก้ปัญหาหลาย ๆ อย่างไม่ตก เพราะเราไม่ยอมใช้วิธีสำรวจความเป็นไปได้อย่างถี่ถ้วนทุกเส้นทางแบบนี้ก็ได้

กรรมวิธีของยูคลิดคือ สมมติว่าเรามีกองเลข prime อยู่กองหนึ่ง กวาดมาหมดที่รู้จัก แต่เราก็ไม่รู้ว่า เอ ยังมีตกหล่นที่ไหนอีกมั้ย ?

เคล็ดวิชาของ Euclid คือ เขาก็เอาเลข prime ทุกตัวที่มี มาคูณกันให้หมด แล้วบวกด้วยหนึ่ง

ทีนี้ เขามามองดูเลขตัวใหม่นี้ เขารู้ว่า เรามีทางเลือกได้แค่สองทางเท่านั้น ไม่มีทางอื่นอีก

ทางแรก เลขตัวใหม่นี้เป็น prime

(นี่ไง ! มันงอกออกมาแล้ว ! แสดงว่าเราทำวนแบบนี้ ก็จะงอกออกมาใหม่ได้เรื่อย ๆ)

ทางที่สอง เลขตัวใหม่นี้ไม่ใช่ prime

ทีนี้ เราคงจำได้ว่า เลขตัวใหม่นี้ เป็นผลจาก prime เก่าเก็บในกรุมาคูณกันเองแล้วบวกด้วย 1 ดังนั้น ถ้าเราเอา prime เก่าเก็บที่มีมาหารเลขตัวใหม่ เราก็แน่ใจได้เลยว่า ต้องมีเศษเหลือ 1 นั่นคือ prime ตัวเก่า ๆ ไม่ใช่องค์ประกอบแน่นอน (เพราะตัวประกอบ ต้องหารแล้วไม่มีเศษเหลือ) จึงฟันธงได้ว่า เลขตัวใหม่นี้ ต้องเกิดจากเลข prime ตัวเล็ก ๆ ที่ตกสำรวจอยู่อย่างไม่พักต้องสงสัย

สรุปประเด็นอีกที เรามีเพียง 2 ทางให้เดิน 

ทางเลือกแรก ถ้าเลขใหม่เป็น prime จริง ก็แสดงว่ายังมี prime งอกใหม่ได้

ทางเลือกที่สอง ถ้าเลขใหม่ไม่ใช่ prime แสดงว่า มันต้องเกิดจาก prime ตัวเล็กกว่ามันที่ยังตกสำรวจอยู่

ดังนั้น prime จึงงอกใหม่ได้อย่างไม่รู้จบ คือถ้าไม่งอกไปข้างโตขึ้น ก็ถูกย่อยบดให้แตกออกเกิดเป็นตัวใหม่ 

มีนักคณิตศาสตร์บางคนแซวว่า ทฤษฎีบทนี้ ควรเรียกว่า เครื่องโม่ prime number ของยูคลิด คือเอา prime เก่าใส่เข้าไป เดี๋ยวก็จะมี prime ใหม่งอกออกมา

ตอนผมอ่านเข้าใจบทพิสูจน์นี้ครั้งแรก ก็อึ้งไปพักใหญ่ คิดว่า โห คิดได้ไงนี่ !

 

 

 

 

บันทึกนี้เขียนที่ GotoKnow โดย  ใน ใบไม้ผลิ

คำสำคัญ (Tags)#คณิตศาสตร์#prime number#ทฤษฎีจำนวน#euclid

หมายเลขบันทึก: 118778, เขียน: 10 Aug 2007 @ 23:25 (), แก้ไข: 07 Jun 2012 @ 13:36 (), สัญญาอนุญาต: สงวนสิทธิ์ทุกประการ, ความเห็น: 2, อ่าน: คลิก


ความเห็น (2)

เจ๋ง
wwibul
เขียนเมื่อ 
คุณบ่าว
P

वीर

  • ของเก่าเก็บยุคโบราณ มีอะไรดี ๆ อยู่เยอะ
  • แค่ตามความคิดเขาทัน ก็ไม่ง่ายเท่าไหร่
  • แต่ก็คุ้มที่จะลองครับ อย่างน้อย ก็เหมือนการได้ชมนิทรรศการศิลปะ