คณิตศาสตร์

กำหนดการเชิงเส้น

( Linear  Programming)

1. อสมการและกราฟ

                ทฤษฎี    ให้ f  เป็นฟังก์ชันในเชต  R x R

                                1)  กราฟของอสมการ y > f(x)  คือ  บริเวณที่อยู่เหนือกราฟของ y = f(x)

                               2)  กราฟของอสมการ y < f(x)  คือ  บริเวณที่อยู่ใต้กราฟของ y = f(x)

                                3)  กราฟของอสมการ x > f(x)  คือ  บริเวณที่อยู่เหนือกราฟของ x = f(y)

                               4)  กราฟของอสมการ x < f(x)  คือ  บริเวณที่อยู่ใต้กราฟของ x = f(y)

2. ระบบอสมการ

                ถ้าอสมการประกอบด้วย  อสมการย่อยๆ  n  อสมการ  คือ

                P₁(x,y) , P₂(x,y) ,…, P_n(x,y) ซึ่งแต่ละอสมการเหล่านี้มีกราฟเป็น G₁,G₂,….,G_n 

ตามลำดับ  แล้วกราฟของอสมการดังกล่าว  คือ  G = เป็น G₁ÇG₂Ç,….,ÇG_n

3.  ระบบอสมการเชิงเส้น

                นิยาม  อสมการเชิงเส้น ( Linear  Programming) 

                                                                                                นิยาม    ระบบอสมการเชิงเส้น  คือ  ระบบขอบของกราฟของระบบอสมการย่อยเป็น

            อสมการเชิงเส้น

นิยาม     เรียกจุดที่เกิดขึ้นจากการตัดกันของเส้นขอบของกราฟของระบบอสมการว่า จุดมุม

 ( corner  point)ของกราฟ

4.  กำหนดการเชิงเส้น

                ตัวแบบ (model)  ของปัญหากำหนดการเชิงเส้น  ประกอบด้วย 2  ส่วน  คือ

                (1)  ฟังก์ชันจุดประสงค์ (objective function) อยูในรูป

                                                P = ax + by

                (2) ข้อจำกัดหรือเงื่อนไขบังคับ (constration)  อยู่ในรูปของระบบอสมการเชิงเส้น

                ทฤษฎี   กำหนด เส้นตรง l เป็นกราฟของสมการเชิงเส้น ax + by = P เมื่อ P เป็นตัวแปร

 เสริม(Parameter)  จะได้ว่า

1)  ถ้า b > 0   แล้ว  l  ตัดแกน y ในตำแหน่งสูงขึ้น  เมื่อ P เพิ่มขึ้น และ l 

      ตัดแกน y ในตำแหน่งต่ำลง  เมื่อ P  ลดลง

2)  ถ้า b < 0   แล้ว  l  ตัดแกน y ในตำแหน่งสูงขึ้น  เมื่อ P ลดลง  และ l 

      ตัดแกน y ในตำแหน่งต่ำลง  เมื่อ P  เพิ่มขึ้น

                ทฤษฎี   ฟังก์ชันจุดประสงค์มีเงื่อนไข  บังคับเป็นเซตที่มีขอบเขต (บริเวณที่มีพื้นที่จำกัด)

                                จะมีทั้งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด  ซึ่งค่าทั้งสองจะเกิดขึ้นที่จุดมุมของกราฟ

                หมายเหตุ  ในกรณีที่เงื่อนไขบังคับเขตไม่มีขอบเขต (บริเวณที่มีพื้นไม่จำกัด)  ฟังก์ชัน

     จุดประสงค์จะมีค่าสูงสุด (ค่าต่ำสุด)  หรือไม่ก็ได้  แต่ถ้ามี  ค่านั้นจะเกิดขึ้นที่

     จุดมุมของกราฟเช่นกัน

                ขั้นตอนในการหาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์ที่นิยามบนเซตนูนหลายเหลี่ยมที่มีขอบเขต  มีดังนี้

                1.  เขียนกราฟของเซตคำตอบที่เป็นไปได้

                2.  หาจุดยอดมุม

                3.  หาค่าของฟังก์ชันจุดประสงค์  ที่จุดยอดมุมแต่ละจุด

                4.  ค่าน้อยที่สุดในชั้นที่ 3  คือ  ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์

                     ค่ามากที่สุดในชั้นที่ 3  คือ ค่าสูงสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์

การหาตำแหน่งของข้อมูล

การหาตำแหน่งที่ของข้อมูล ( เปอร์เซ็นไทล์ ) 
           การหาตำแหน่งหรือลำดับที่ของข้อมูลใน แต่ละชุด เช่น นาย A สอบได้ที่ 10 เราไม่สามารถบอกได้ว่าผลการสอบของนาย A เป็นอย่างไรของกลุ่ม ถ้าในกลุ่มของนาย A มีนักเรียน 45 คน ก็สรุปว่านาย A เป็นคนเก่งในกลุ่ม ถ้าในกลุ่มมีเพียง 10 คน ก็สรุปว่านาย A เป็นคนที่เรียนไม่เก่ง และสอบได้ที่สุดท้าย เพื่อช่วยให้การกล่าวถึงตำแหน่งเป็นไปโดยมีความหมาย คือ สามารถบอกได้ทันที่ว่าตำแหน่งนั้นดีไม่ดีเพียงไรในกลุ่ม จึงได้มีการหาวิธีการบอกตำแหน่งโดย บอกตำแหน่งด้วย ควอร์ไทล์  เดไซล์  และเปอร์เซ็นไทล์
            เปอร์เซ็นไทล์  เป็นค่าที่แบ่งข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน เมื่อข้อมูลถูกเรียงจากน้อยไปหามาก เนื่องจากค่าที่แบ่งจำนวนข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน มีอยู่ 99 ค่า ดังนั้นเราจึงตั้งชื่อแต่ละค่าว่า
           เปอร์เซ็นไทล์ที่หนึ่ง  ใช้สัญลักษณ์ P1   คือค่าที่มีจำนวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ 1 ใน100 ของข้อมูลทั้งหมด
           เปอร์เซ็นไทล์ที่สอง  ใช้สัญลักษณ์ P2  คือค่าที่มีจำนวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ 2 ใน100 ของข้อมูลทั้งหมด
           จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงเปอร์เซ็นไทล์ที่เก้าสิบเก้า ใช้สัญลักษณ์ P99
           การหาเปอร์เซ็นไทล์ ก็เช่นเดียวกับการหาควอร์ไทล์และเดไซล์ คือต้องหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ก่อน ให้ N เป็นจำนวนข้อมูลหรือความถี่ทั้งหมด

           1.กรณีที่ข้อมูลยังไม่แจกแจงความถี่                                                                           
           ตำแหน่งของ P1 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 1/100 )
           ตำแหน่งของ P2 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 2/100 )
           จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงตำแหน่งของ P99 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 99/100 ) 
           โดยทั่วไป ตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ r คือ
           ตำแหน่งของ Pr คือตำแหน่งที่ ( N + 1 )( r/100 )
 
           2.กรณีที่ข้อมูลแจกแจงความถี่
           ตำแหน่งของ P1 คือตำแหน่งที่  N( 1/100 )
           ตำแหน่งของ P2 คือตำแหน่งที่  N( 2/100 )
           จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงตำแหน่งของ P99 คือตำแหน่งที่ N( 99/100 )
           โดยทั่วไป ตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ r คือ
           ตำแหน่งของ Pr คือตำแหน่งที่ ( Nr/100 )

          หมายเหตุ     การหาเปอร์เซ็นไทล์ เราจะใช้ในกรณีที่มีข้อมูลดังกล่าวมีจำนวนมากๆ เพราะว่าเปอร์เซ็นไทล์เป็นค่าที่แบ่งจำนวนข้อมูลออกเป็น   100   ส่วนเท่าๆกัน    ดังนั้นในกรณีที่ข้อมูลมีจำนวนน้อยไม่เหมาะที่จะหาเปอร์เซ็นไทล์ควรจะไปใช้ ควอร์ไทล์ หรือ เดไซล์จะดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1       ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 44 คน ได้คะแนนเรียงตามลำดับดังนี้   11, 12, 13, 18, 19, 24, 27, 28, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 45, 46, 47, 50, 54, 54, 55, 55, 56, 46, 56, 58, 58, 59, 60 จงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75                                         
                   วิธีทำ

                             Pr อยู่ในตำแหน่งที่ คือ    ( N + 1 )( r /100 )                                       

                             P75 อยู่ในตำแหน่งที่ คือ  (44 + 1)( 75/100 )  = 33.5 

                                ตำแหน่งที่ 33 ของข้อมูลข้างต้น คือ 50
                                ตำแหน่งที่ 34 ของข้อมูลข้างต้น คือ 54
                                ตำแหน่งต่างกัน 1 ค่าของเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4
                                ตำแหน่งต่างกัน 0.75 ค่าเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4 x 0.75 = 3
             
                               ดังนั้น ค่าเปอร์เซ็นไทล์ ที่ 75 เท่ากับ 53
 
 
ตัวอย่างที่ 2    กำหนดข้อมูล 30, 42, 25, 34, 28, 36, 33, 44, 18 จงหาว่าข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด
          วิธีทำ    เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก ได้ 18 , 25 , 28 , 30 , 33 , 34 , 36 , 42 , 44 ให้ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่ง ที่ r ดังนั้น 30 เท่ากับ Pr ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งที่ 4                                         

                    แต่ตำแหน่ง Pr  = ( 9 + 1 )( r/100 )  ได้   10r/100 = 4                                          

                    ดังนั้น      r = 40 
  
                    ดังนั้น ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 40 หรือ P40

           สรุป ขั้นตอนการหาค่าเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น
                 1. เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก
                 2. หาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ โดย ตำแหน่ง Pr  คือ ( N + 1 )( r/100 )  
 
           ใช้ตำแหน่ง Pr เทียบบัญญัติไตรยางค์หาข้อมูลที่ตรงกับตำแหน่ง Pr นั้น

มัธยฐาน ( Median )

มัธยฐาน หมายถึง ค่ากึ่งกลางของข้อมูลชุดนั้น หรือค่าที่อยู่ในตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูลชุดนั้น เมื่อได้จัดเรียงค่าของข้อมูลจากน้อยที่สุดไปหามากที่สุดหรือจาหมากที่สุกไปหาน้อยที่สุด ค่ากึ่งกลางจะเป็นตัวแทนที่แสดงว่ามีข้อมูลที่มากกว่าและน้อนกว่านี้อยู่ 50 % ค่ามัธยฐานจะอยู่ตำแหน่ง

( N คือ จำนวนข้อมูล )

1. การหาค่ามัธยฐาน (Median) ของข้อมูลที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่ (Ungrouped Data)

ให้เรียงข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดไปหาข้อมูลที่มีค่ามากที่สุด หรือจากมากที่สุดไปหาน้อยที่สุด แล้วหาคะแนนที่อยู่ในตำแหน่งกึ่งกลาง

ตัวอย่างที่ 6 จงหามัธยฐานของข้อมูลต่อไปนี้ 9, 5, 11, 16, 6, 10, 13, 14, 17,

วิธีทำ เรียงข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดไปหาข้อมูลที่มีค่ามากที่สุดคือ 3, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 16

Median จะอยู่ตำแหน่งที่         

ดังนั้น  ค่ามัธยฐานเท่ากับ  5

ตัวอย่างที่ 7 จงหามัธยฐานของข้อมูลต่อไปนี้

40, 35, 24, 28, 26, 29, 36, 31, 42, 20, 23, 32

วิธีทำ เรียงข้อมูลจากข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดไปหาข้อมูลทีมีค่ามากที่สุดคือ 20, 23, 24, 26, 28, 29ล 31, 32, 35, 36, 40, 42, ซึ่ง n = 12

ตำแหน่งมัธยฐาน

  

ข้อมูลตำแหน่ง ที่ 6.5 อยู่ระหว่าง 29 กับ 31

มัธยฐานเท่ากับ

มัธยฐาน คือ

1. การหาค่าของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่ ( Grouped Data ) หรือคะแนนที่มีการแจกแจงความถี่ ทำได้ 2 วิธี

วิธีที่ 1 คำนวณจากสูตร

 

Mdn = มัธยฐาน ( Median )

L = ขีดจำกัดล่างที่แท้จริงของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

i = อันตรภาคชั้น

F = ความถี่สะสมชั้นที่อยู่ก่อนชั้นที่มีมัธยฐานไปหาคะแนนน้อย

f = ความถี่ของคะแนนในชั้นที่มีมัธยฐาน

= ตำแหน่งของมัธยฐาน

ตัวอย่างที่ 8 จากข้อมูลในตารางแจกแจงความถี่ จงหาค่ามัธยฐาน

คะแนน	ความถี่ (fi)
5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44	3 4 3 5 6 4 2 3
	N = 30

หาค่ามัธยฐานของข้อมูล

วิธีทำ

1. หาความถี่สะสม
2. หาตำแหน่งของมัธยฐาน

 

คะแนน	ความถี่(fi)	ความถี่สะสม (F)
5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 29 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44	3 4 3 7 6 4 2 3	3 7 10 17 23 27 29 32
	N = 32

สูตร   

= 16 ค่ามัธยฐานที่อยู่ในชั้น 20 – 24

L = 19.5

I = 5

F = 13

f = 5

แทนค่า Mdn =    =     = 23.7

ดังนั้น  มัธยฐานคือ 23.7

 

 

 

ฐานนิยม (Mode)

ฐานนิยมคือ ค่าของคะแนนที่ซ้ำกันมากที่สุดหรือ ค่าคะแนนที่มีความถี่สูงที่สุดในข้อมูลชุดนั้น

การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่ ( Ungrouped Data ) พิจารณาค่าของข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุด คือฐานนิยม

ตัวอย่าง 5.9 จงหาฐานนิยมของข้อมูลต่อไปนี้ 3, 2, 4, 5, 6, 4, 8, 4, 7, 10

ข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุดคือ 4

ฐานนิยมคือ 4

ข้อมูลบางชุดอาจมีฐานนิยม 2 ค่า เช่น 10, 14, 12, 10, 11, 13, 12, 14, 12, 10

ข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุดคือ 10 กับ 12

ฐานนิยม คือ 10 กับ 12

ข้อมูลบางชุดอาจจะไม่มีฐานนิยมซึ่ง ได้แก่ ข้อมูลที่มีรายการซ้ำจำนวนเท่ากันหลายชุด เช่น 5, 2, 3, 4, 7, 8, 2, 3, 5, 9, 10, 2, 3, 5, 7, 9, 8, 7, 8

ข้อมูลที่ไม่มีรายการซ้ำกันเลย เช่น 8, 9, 10, 11, 13, 15

1. การหาฐานนิยมของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่ ( Grouped Data ) ในการหาฐานนิยมของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่

วิธีที่ 1 ให้สูตร

เมื่อ               Mo = ฐานนิยม (Mode)

                        L = ขีดจำกัดล่างของคะแนนในชั้นที่มีความถี่สูงสุด

                        I = อันตรภาคชั้น

          = ผลต่างของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นก่อนหน้า

          = ผลต่างของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นที่ถัดไปทางคะแนนมาก

ตัวอย่างที่ 10 จากข้อมูลในตารางแจกแจงความถี่ จงหาฐานนิยม

คะแนน	ความถี่ (fi)
5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 29 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44	3 4 3 7 6 4 2 3
	N = 32

วิธีทำ

1. ค่าฐานนิยมอยู่ในชั้น 20 – 24 (ค่าที่มากที่) ขีดจำดักล่าง คือ 19.5

2. ค่า i คือ 19.5

3.

4.

แทนค่า     =     =

ดังนั้น  ฐานนิยมของข้อมูลในตารางนี้คือ 23.5

วิธีที่ 2 ในกรณีที่หาค่ามัชฌิเลขคณิตและมัธยฐานได้แล้ว สามารถที่จะนำมาคำนวณหาฐานนิยมได้ โดยใช้สูตร

                        Mode = 3Median - 2Mean

ตัวอย่างที่ 11จากข้อมูลในตารางแจกแจงความถี่ จงหาค่ามัธยฐาน

คะแนน	ความถี่ (f)
5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 29 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44	3 4 3 7 6 4 2 3
	N = 32

จากตาราง หาค่ามัชฌิมเลขคณิต ( Mean ) ได้เท่ากับ 23.87

มัธยฐาน (Median) เท่ากับ 23.78

สูตร Mode = 3 Median – 2Mean

= 3(32.7) – 2(23.8)

= 71.1 – 47.6

= 23.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ภาคตัดกรวย

(conic section)

วงกลม (Circle)

     วงกลม คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน เสมอ 

จุดคงที่เรียกว่า    จุดศูนย์กลางของวงกลม  ระยะทางที่เท่ากัน เรียกว่า รัศมีของวงกลม

 

 

สมการวงกลม

     สมการของวงกลม มี  2  ลักษณะ คือ

1.           สมการวงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ จุด (0, 0)  รัศมีเท่ากับ r   สมการคือ x2 + y2  =  r2 

2.           สมการวงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) รัศมีเท่ากับ r สมการคือ (x – h)2 + (y – k)2  =  r2 

 

 สมการทั่วไปของวงกลม

     จากสมการวงกลม  (x  –  h)2 + (y  –  k)2  =  r2      เมื่อกระจายแล้ว สามารถเขียนได้ในรูป   

x2 + y2 + ax + by + c  =  0     เป็นสมการวงกลมมีจุดศูนย์กลางที่     ( , ) และ r=    

  ถ้า  r < 0  สมการนี้จะไม่ใช่สมการวงกลม 

 

 

 

 

 

  การวัดค่ากลางของข้อมูล

 การวัดค่ากลางของข้อมูล

การหาค่ากลางของข้อมูลที่เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมดเพื่อความสะดวกในการสรุปเรื่องราวเกี่ยวกับข้อมูลนั้นๆ จะช่วยทำให้เกิดการวิเคราะห์ข้อมูลถูกต้องดีขึ้น การหาค่ากลางของข้อมูลมีวิธีหาหลายวิธี แต่ละวิธีมีข้อดีและข้อเสีย และมีความเหมาะสมในการนำไปใช้ไม่เหมือนกัน ขึ้นอยู่กับลักษณะข้อมูลและวัตถุประสงค์ของผู้ใช้ข้อมูลนั้นๆ

ค่ากลางของข้อมูลที่สำคัญ มี 3 ชนิด คือ

1.        ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)

2.       มัธยฐาน (Median)

3.       ฐานนิยม (Mode)

   1.   ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)
         ใช้สัญลักษณ์ คือ  

1.1 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

ให้ x 1 , x 2 , x 3 , …, x N เป็นข้อมูล N ค่า

 

ตัวอย่าง จากการสอบถามอายุของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17

1) จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนกลุ่มนี้

2) ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน และมีอายุเป็น 17 ปี ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นเท่าใด

3) เมื่อ 3 ปีที่แล้ว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนกลุ่มนี้เป็นเท่าใด

1) วิธีทำ

 

       ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนกลุ่มนี้ คือ 15.75 ปี

2) วิธีทำ
     เดิมมีนักเรียน 8 คน แต่มีนักเรียนเพิ่มใหม่อีก 1 คน รวมมีนักเรียน 9 คน

 

        ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ 15.89 ปี

3) วิธีทำ
เมื่อ 3 ปีที่แล้ว 11 13 11 14 13 11 15 14
      อายุปัจจุบัน 14 16 14 17 16 14 18 17

เมื่อ 3 ปีที่แล้ว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของนักเรียนกลุ่มนี้ คือ 12.75 ปี

1.2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

ถ้า f 1 , f 2 , f 3 , … , f k เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต x 1 , x 2 , x 3 ,…. , x k

 

 

ตัวอย่าง จากตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียน 40 คน ดังนี้ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

คะแนน	จำนวนนักเรียน (f 1)	x 1	f 1x 1
11 – 12 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 - 60	7 6 8 15 4	15.5 25.5 35.5 45.5 55.5	108.5 153 284 682.5 222

วิธีทำ

 =  

        =  

        =   34

    ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 34

สมบัติที่สำคัญของค่าเฉลี่ยเลขคณิต

1. =

2. = 0

3. น้อยที่สุด  เมื่อ M = หรือ   

       เมื่อ M เป็นจำนวนจริงใดๆ

 4.

5. ถ้า y 1 = a xi + b , I = 1, 2, 3, ……., N เมื่อ a , b เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว

= a + b

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม ( Combined Mean )

ถ้า เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1 , 2 , … , k ตามลำดับ

ถ้า N 1 , N 2 , … , N k เป็นจำนวนค่าจากการสังเกตในข้อมูลชุดที่ 1 , 2 ,… , k ตามลำดับ

       =  
      ตัวอย่าง ในการสอบวิชาสถิติของนักเรียนโรงเรียนปราณีวิทยา ปรากฏว่านักเรียนชั้น ม.6/1 จำนวน 40 คน ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 70 คะแนน นักเรียนชั้น ม.6/2 จำนวน 35 คน ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 68 คะแนน นักเรียนชั้น ม.6/3 จำนวน 38 คน ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 72 คะแนน จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนทั้ง 3 ห้องรวมกัน

วิธีทำ รวม =   

                                                                                          =    

                                                                                          =  70.05

2 .  มัธยฐาน (Median)
    ใช้สัญลักษณ์ Med คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด เมื่อได้เรียงข้อมูลตามลำดับ ไม่ว่าจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อย

   การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
   หลักการคิด
   1 ) เรียงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อยก็ได้
    2) ตำแหน่งมัธยฐาน คือ ตำแหน่งกึ่งกลางข้อมูล ดังนั้นตำแหน่งของมัธยฐาน =

        เมื่อ N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

    3) มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด

  ข้อควรสนใจ
1. เนื่องจากตำแหน่งกึ่งกลางเป็นตำแหน่งที่เราจะหามัธยฐาน ดังนั้น เราจะเรียกตำแหน่งนี้ว่า ตำแหน่งของมัธยฐาน
  2. เราไม่สามารถหาตำแหน่งกึ่งกลางโดยวิธีการตามตัวอย่างข้างต้น เพราะต้องเสีย เวลาในการนำค่าจากการสังเกตมาเขียนเรียงกัน        ทีละตำแหน่ง ดังนั้น เราจะใช้วิธีการคำนวณหา โดยสังเกตดังนี้
       ตำแหน่งมัธยฐาน =
3. ในการหามัธยฐาน ความสำคัญอยู่ที่ นักเรียนต้องหาตำแหน่งของมัธยฐานให้ได้ เสียก่อนแล้วจึงไปหาค่าของข้อมูล ณ ตำแหน่งนั้น

ตัวอย่าง กำหนดให้ค่าจากการสังเกตในข้อมูลชุดหนึ่ง มีดังนี้
                      5, 9, 16, 15, 2, 6, 1, 4, 3, 4, 12, 20, 14, 10, 9, 8, 6, 4, 5, 13
                       จงหามัธยฐาน
    วิธีทำ เรียงข้อมูล 1 , 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 8 , 9 , 9 , 10 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 20

   ตำแหน่งมัธยฐาน =

=

= 10.5

       ค่ามัธยฐาน = = 7

การหามัธยฐานของข้อมูลที่จัดเป็นอันตรภาคชั้น
   ขั้นตอนในการหามัธยฐานมีดังนี้
   (1)     สร้างตารางความถี่สะสม
   (2)หาตำแหน่งของมัธยฐาน คือ

        เมื่อ N เป็นจำนวนของข้อมูลทั้งหมด
   (3) ถ้า   เท่ากับความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใด อันตรภาคชั้นนั้นเป็นชั้น มัธยฐาน และมีมัธยฐานเท่ากับขอบบน

        ของอันตรภาคชั้นนั้น ถ้า ไม่เท่าความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใดเลย อันตรภาคชั้นแรกที่มีความถี่สะสมมากกว่า  

        เป็นชั้นของมัธยฐาน และหามัธยฐานได้จากการเทียบบัญญัติไตรยางค์ หรือใช้สูตรดังนี้
        จากข้อมูลทั้งหมด N จำนวน ตำแหน่งของมัธยฐานอยู่ที่

        Med =

          เมื่อ L คือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

    คือ ผลรวมของความถี่ของทุกอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

      f M คือ ความถี่ของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

         I คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

       N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

ตารางที่มีชั้นแบบเปิด จะหา ไม่ได้แต่หามัธยฐานและฐานนิยมได้ ถ้าตำแหน่ง
เท่ากับความถี่สะสม ( หรือเป็นตัวสุดท้ายของชั้น ) ให้ตอบขอบบนของชั้นนั้น

3.  ฐานนิยม (Mode)

  การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
  หลักการคิด
- ให้ดูว่าข้อมูลใดในข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมด มีการซ้ำกันมากที่สุด( ความถี่สูงสุด) ข้อมูลนั้นเป็นฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น
   หมายเหตุ
- ฐานอาจจะไม่มี หรือ มีมากกว่า 1 ค่าก็ได้

  สิ่งที่ต้องรู้
1. ถ้าข้อมูลแต่ละค่าที่แตกต่างกัน มีความถี่เท่ากันหมด เช่น ข้อมูลที่ประกอบด้วย 2 , 7 , 9 , 11 , 13 จะพบว่า แต่ละค่าของข้อมูลที่แตกต่างกัน จะมีความถี่เท่ากับ 1 เหมือนกันหมด ในที่นี้แสดงว่า ไม่นิยมค่าของข้อมูลตัวใดตัวหนึ่งเป็นพิเศษ  ดังนั้น เราถือว่า ข้อมูลในลักษณะดังกล่าวนี้ ไม่มีฐานนิยม
  2. ถ้าข้อมูลแต่ละค่าที่แตกต่างกัน มีความถี่สูงสุดเท่ากัน 2 ค่า เช่น ข้อมูลที่ ประกอบด้วย 2, 4, 4, 7, 7, 9, 8, 5 จะพบว่า 4 และ 7 เป็นข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดเท่ากับ 2 เท่ากัน ในลักษณะเช่นนี้ เราถือว่า ข้อมูลดังกล่าวมีฐานนิยม 2 ค่า คือ 4 และ 7
   3. จากข้อ 1, 2, และตัวอย่าง แสดงว่า ฐานนิยมของข้อมูล อาจจะมีหรือไม่มีก็ได้ ถ้ามีอาจจะมีมากกว่า 1 ค่าก็ได้

การหาฐานนิยมของข้อมูลที่มีการแจกแจงเป็นอันตรภาคชั้น
   การประมาณอย่างคร่าวๆ

  ฐานนิยม คือ จุดกึ่งกลางชั้นที่มีความถี่สูงสุด

   ตัวอย่างจากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ จงหาฐานนิยมโดยประมาณอย่างคร่าวๆ

คะแนน	ความถี่
20-29 30-39 40-49 50-59 60-69	2 10 15 13 5

อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด คือ 40-49

                                                จุดกลางชั้น คือ

ดังนั้น ฐานนิยมโดยประมาณ คือ 44.5

คุณสมบัติที่สำคัญของฐานนิยม
1.     ฐานนิยมสามารถหาได้จากเส้นโค้งของความถี่ และฮิสโทแกรม
2.    ในข้อมูลแต่ละชุด อาจจะมีฐานนิยมหรือไม่มีก็ได้ ถ้ามี อาจจะมีเพียงค่าเดียว หรือหลายค่าก็ได้
3.   ให้ X 1, X 2, X 3, ….., X N เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีฐานนิยมเท่ากับ Mo
       ถ้า k เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า X 1+k, X 2+k, X 3+k, …., X N+k เป็นข้อมูลที่มีฐานนิยมเท่ากับ Mo + k
4.   ให้ X 1, X 2, X 3, …., X N เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีฐานนิยมเท่ากับ Mo
       ถ้า k เป็นค่าคงตัว ซึ่ง k =/= 0 จะได้ว่า kX 1, kX 2, kX 3, …, kX N จะเป็นข้อมูลที่มีฐานนิยมเท่ากับ kMo
       คุณสมบัติข้อที่ 3 และ 4 ก็เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐานกล่าวคือ ถ้านำค่าคงตัวไปบวก หรือคูณกับค่าจากการสังเกตทุกตัวในข้อมูลชุดหนึ่ง ฐานนิยมของข้อมูลชุดใหม่นี้ จะเท่ากับ ฐานนิยมของข้อมูลชุดเดิม บวกหรือคูณกับค่าคงตัวดังกล่าว ตามลำดับ ( อย่าลืม ! ถ้าเป็นการคูณ ค่าคงตัวที่นำไปคูณไม่เท่ากับศูนย์)

 

ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

ใน คณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ จาก เซต หนึ่ง (โดเมน) ไปยังอีกเซตหนึ่ง (โคโดเมน ไม่ใช่ เรนจ์) โดยที่สมาชิกตัวหน้าไ