คณิตศาสตร์เบื้องหลังการจัดการเรียนการสอนแบบ PBL

PBL อาศัยระบบโหวตแบบมีคุณภาพ ซึ่งจะมาจากเสียงโหวตที่มีคุณภาพ และเป็นตัวของตัวเอง เราจะใช้คณิตศาสตร์วิเคราะห์ถึงความเป็นไปได้ของการล้มเหลว

ด้วยรูปแบบการจัดการเรียนการสอนแบบ PBL คือให้คนเรียนกลุ่มประมาณ 12 คน บวกลบนิดหน่อย มาแจกแจงตีประเด็นปัญหาว่าจะเรียนรู้อะไร แล้วทุกคนไปอ่านไปค้นมาอย่างเป็นเอกเทศ นำความเข้าใจมาคลี่รวมกันว่าความรู้ที่ถูกต้องมีอะไรบ้าง

สิ่งที่น่าสนใจในวิธีคิดการจัดการแบบนี้คือ จะแน่ใจได้อย่างไรว่า ความรู้ที่แต่ละค้นไปค้นไปอ่านมา ถูกต้อง เพราะกระบวนการเรียนแบบนี้ อาจารย์ไม่ได้มาป้อนความรู้ให้

การวิเคราะห์ความเป็นไปได้ที่กลุ่มมีคุณภาพสูง เกิดขึ้นได้ทั้งที่สมาชิกกลุ่มอาจไม่ได้มีคุณภาพสูงเป็นพิเศษ จะต้องอาศัยแนวคิดทางสถิติเรื่องการแจกแจงทวินาม

สมมติว่า สมาชิกกลุ่มแต่ละคน มีโอกาสเข้าใจถูกต้อง ด้วยความน่าจะเป็น k

เมื่อใช้ระบบกลุ่ม ก็โน้มน้าวกันด้วยเสียงข้างมาก

สมมติขนาดกลุ่มคือ 12 คน

เสียงข้างมากคือ เมื่อเกิน 6 คนเข้าใจอย่างไร คนอื่นที่เหลือจะคล้อยตาม

ดังนั้น เราคาดว่า จำนวนคนที่เข้าใจถูกก่อนมาแชร์กัน คือ 12k คน

ถ้า 12k คน > 6 คน สิ่งที่จะเกิดขึ้นคือ ทั้งกลุ่มเข้าใจถูก

ถามว่า มีโอกาสเท่าไหร่ ที่ 12k คน > 6 คน

ตรงนี้ เราก็ต้องทดสอบทางสถิติ หาค่า t-test ของการแจกแจงทวินาม

t = (12k-6)/SE

ถามว่า SE จะมาจากไหน

ในทางสถิติ SE = [Nk(1-k)]^.5 โดยเรารู้ว่า กรณีที่ SE ใหญ่ที่สุด จะเกิดที่ k=0.5 ซึ่งหากแทนค่า k=0.5 เข้าไป และ N=12 จะได้ SE = 1.75 คน

สมมติเราตั้งเกณฑ์ว่า t-test ต้องได้ผลที่มี significant เช่น ได้ t=2 แก้สมการจะได้

2 = (12k - 6)/1.75

แก้สมการ จะได้ k = 0.79

นั่นคือ หาก k > 0.79 เราจะแน่ใจว่า พฤติกรรมกลุ่ม จะปรับตัวเข้าสู่ความรู้ความเข้าใจที่ถูกต้องโดยอัตโนมัติ โดยมีโอกาสพลาดน้อยมาก ทั้งที่สมาชิกกลุ่มแต่ละคน มีโอกาสพลาดสูงพอสมควร

ผลการคำนวณนี้ จะบอกอะไรเรา

1. ถ้าสมาชิกกลุ่มส่วนใหญ่ มีโอกาสเข้าใจได้ถูกต้องด้วยตนเองถึง 80 % พฤติกรรมกลุ่ม จะปรับเข้าสู่ความเข้าใจที่ถูกต้องเองโดยอัตโนมัติ โดยมีโอกาสน้อยมาก ที่จะลงเหวทั้งกลุ่ม (โอกาสที่ว่า คือพื้นที่ส่วนหางของ t-test แบบทางเดียว ซึ่งปรกติก็จะน้อยแค่ 5%)

โอกาสน้อยมากที่ว่า จะมีกลไกของอาจารย์ประจำกลุ่ม ช่วยปรับให้เข้ารูปเข้ารอย ก็จะทำให้โอกาสพลาด น้อยลงไปอีกมาก

จะเห็นได้ว่า สมาชิกย่อย ๆ ในกลุ่ม ไม่จำเป็นต้องเลอเลิศมาก แค่ให้ไม่ขี้ริ้วเกินไป ก็จะสามารถสร้างกลุ่มที่เก่งกว่าสมาชิกรายคนได้ นี่คือจุดแข็งของ PBL

2. แนวคิดในการดำเนินการกลุ่ม อยู่บนฐานความเชื่อว่า

-ข้อแรก ทุกคนช่วยตัวเองได้ มีโอกาสค้นแล้วเข้าใจได้อย่างถูกต้องเกิน 80 % ขึ้นไป ซึ่งถ้าไม่ได้ลักไก่มั่วนิ่มมา ปรกติ ตรงนี้ก็พอเป็นไปได้

-ข้อที่สอง ทุกคนต่างคนต่างทำ ทุกคนเป็นเอกเทศกัน ไม่มีใครลอกใคร เพราะถ้ามีการลอกเกิดขึ้น ทุกอย่างล้มหมด คือคนที่เข้าใจผิดหากเป็นต้นตอให้คนอื่นลอก ทั้งกลุ่มก็อาจเข้าใจผิดตามไปหมดทั้งกลุ่ม

จะเห็นได้ว่า วิธีคิดแบบนี้ จุดตายจะอยู่ตรงฐานความเชื่อนี่เอง นั่นคือ หากคนเรียนมักง่ายเมื่อไหร่ ระบบแบบนี้จะอันตรายมาก เพราะแสดงว่า มาตรฐานของคนในกลุ่ม อาจต่ำกว่า 80 % มาก และมักมีการลอกกันเองเป็นสำเนาเดียว ผลคือ โอกาสที่เข้าใจผิดยกกลุ่ม ก็จะกระโดดสูงขึ้นมาอยู่ที่ใกล้ ๆ 50 %

ดังนั้น จุดอ่อนของ PBL ก็จะอยู่ตรงที่ว่า ถ้าสมาชิกกลุ่มมักง่าย ชอบลอก ไม่คิดเอง ไม่ขวนขวายทำให้ตัวเองสามารถหาความรู้ที่ถูกต้องได้ระดับ 80 % ขึ้นไปสัมฤทธิผลของวิธีนี้ จะเลวร้ายมาก

แต่หากคนเรียนไม่มักง่าย วิธีนี้ก็จะน่าทึ่งในแง่ที่ว่า มันมีกลไกในการปรับตัวเข้าหาความรู้ความเข้าใจที่ถูกต้องได้เองในระดับที่สูงมาก

ลองดูการเรียน PBL ที่ล้มเหลวกันบ้าง

สมมติว่า สมาชิกกลุ่ม เก่งทั้งนั้น อ่านเองเข้าใจถูก 90 % ทุกคน แต่แบ่งงานให้ทุกคนไปอ่านส่วนย่อย ๆ แล้วเอามาปะต่อกันโดยถือว่า ทุกคนทำมาถูกต้องอยู่แล้ว

กรณีนี้ โอกาสที่ทั้ง 12 ชิ้นต่อกันแล้วเป็นความรู้ผืนเดียวที่ถูกต้องไว้ใจได้ ก็จะมีความน่าจะเป็นเท่ากับโอกาสที่ทุกคนถูกพร้อมกันหมดทั้ง 12 คน = 0.9 ยกกำลัง 12 ซึ่งเทียบเท่ามีโอกาสถูกเพียง 28% เท่านั้น (0.9ยกกำลัง12 ได้ 0.28)

กรณีนี้ จะเห็นว่า สมาชิกที่เก่ง แต่เรียนรู้แบบกลุ่มผิดวิธี จะเกิดกลุ่มที่ไม่เอาไหน ขึ้นมาแทน กลายเป็นว่า ต่างคนต่างไปอ่านเองตีความเองถูก ๆ ผิด ๆ ยังจะดีเสียกว่า เพราะโอกาสผิดมีแค่ 10 %

หากคนเรียนมักง่าย วิธีนี้ก็จะอำนาจทำลายล้างระดับที่สูงมากเช่นกัน

PBL ถูกวิธี จะทำให้แม้สมาชิกกลุ่มไม่เก่ง แต่จะสร้างกลุ่มที่เก่ง

PBL ผิดวิธี จะทำให้แม้สมาชิกกลุ่มเก่ง แต่จะสร้างกลุ่มที่ห่วยมากได้