เกม คณิตศาสตร์

ในแวดวงของผู้ที่เกี่ยวข้องกับการเรียนการสอนคณิตศาสตร์โดยตรงแล้ว หลายคนคงจะเห็นตรงกันว่า มีอยู่วลีหนึ่งที่เป็นปัญหาสำหรับผู้ถามและผู้ตอบอยู่เสมอ ทั้ง ๆ ที่วลีนั้นเป็นวลีธรรมดา ๆ ที่ดูแล้วก็ไม่น่าจะเป็นปัญหากันเลย

 

 

 

"หาค่าไม่ได้"

 

 

 

เพียงวลีสั้น ๆ เท่านี้ แต่บางครั้งก็สร้างปัญหาได้เหมือนกัน ถ้านักเรียนจะเป็นผู้ตอบว่า "หาค่าไม่ได้ครับ"หรือ"หาค่าไม่ได้ค่ะ" หรือบางครั้งตอบสั้น ๆ ว่า "หาไม่ได้"

ก่อนจะคุยถึงคำ ๆ นี้ เรามาลองดูเกมที่เป็นปัญหาที่น่าคิดกันหน่อยก่อนก็แล้วกัน

คุณหาได้หรือเปล่า !

เมื่อกำหนดจำนวนเต็มบวกจำนวนหนึ่งให้ ให้คุณเขียนจำนวนนั้นใหม่ ในรูปของผลบวกของจำนวนเต็มต่าง ๆที่เรียงติดกัน (ซึ่งอาจจะเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวน 2 จำนวน ที่อยู่ติดกัน หรือมากกว่า 2 จำนวนก็ได้) ดังตัวอย่าง

 

 

เมื่อกำหนด 7 ให้จะเขียนได้เป็น 3 + 4

 

15 จะเขียนได้เป็น 4 + 5 +6 หรือ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ก็ได้

21 จะเขียนได้เป็น 6 +7 + 8
 

 

ปัญหาประเภทนี้เป็นปัญหาที่ครูอาจจะใช้สอดแทรกในระหว่างการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เพื่อเป็นการเปลี่ยนบรรยากาศบ้างก็คงจะดีนะครับ บางทีในชั่วโมงที่นักเรียนว่าง แทนที่จะให้นักเรียนเล่นกันส่งเสียงดัง ครูอาจจะนำเกมปัญหานี้ไปใช้เพื่อลดพฤติกรรมที่ไม่พึงประสงค์เสียบ้างก็ยังได้ แต่ก็คงต้องเลือกตัวปัญหาที่ต้องใช้ความคิดกันหนัก ๆ หน่อย เช่น 22   48   80 เป็นต้น ซึ่งคงไม่ลำบากสำหรับผู้ตั้งโจทย์ปัญหาเท่าใดนัก

 

แต่ถ้านักเรียนตอบว่า "หาไม่ได้ครับ" หรือ "หาไม่ได้ค่ะ" แล้วจะทำอย่างไร ถ้าเราจะฝึกหัดให้นักเรียนเป็นคนช่างคิด ก็คงจะไม่ปล่อยให้คำถามนี้ผ่านไปเฉย ๆ คงจะต้องมีการถามกันต่อไปอีกนิดหน่อยว่า ที่ว่า "หาไม่ได้" นั่น หมายถึงอย่างไร เพราะบางทีคำว่า "หาไม่ได้" นั้นหมายความว่า นักเรียนจนปัญญาเสียแล้ว คิดไม่ออกว่าจะหาด้วยวิธีไหนดี แต่บางครั้งก็ไม่ได้หมายความว่าอย่างนั้นเสมอไป อาจจะหมายความว่า ไม่มีคำตอบก็ได้ และที่ว่าไม่มีคำตอบก็ไม่ได้หมายความว่า นักเรียนคิดคำตอบไม่ออกบอกไม่ถูก แต่หมายความว่า คำตอบไม่มี ซึ่งยิ่งฟังก็ยิ่งยุ่ง

ลองมาดูตัวอย่างก็แล้วกัน คงพอทำให้หายยุ่งได้บ้าง

"tan 90^o มีค่าเท่าไร"

 

คำตอบคงเป็นทำนองนี้ หาค่าไม่ได้.... ไม่มีค่า... หาไม่ได้... ซึ่งหมายรวมไปถึง ไม่มีความหมาย หรือในที่สุดอาจมีผู้ตอบว่า ไม่นิยาม (นักเรียนหลักสูตรใหม่คงไม่ตอบว่า มีค่ามากมายมหาศาล หรือ อินพินิตี้ (infinity, ) นะครับ ถ้าตอบมา เห็นทีจะต้องมีคำถามต่อไปเป็นชุด ๆ แน่)

 

"ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (1, 2) และ (1, 5) มีค่าเท่าใด"

"จำนวนนับที่มากที่สุดคือจำนวนใด"

"10 หารด้วย 0 เท่ากับเท่าใด"

"จำนวนตรรกยะที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า 7 คือจำนวนใด"

 

คำตอบที่ได้ก็คงจะเป็นแบบเดียวกับข้างต้น ซึ่งมีความหมายว่า "ไม่มีคำตอบ"

 

แต่ถ้านักเรียนตอบว่า "หาไม่ได้" หรือ "หาค่าไม่ได้" ในอีกความหมายหนึ่งที่ว่ายังคิดไม่ออก หรือหมดปัญญาเสียแล้ว ก็คงจะต้องชี้แนะกันต่อไป

ประเด็นที่สำคัญก็คือ ถ้านักเรียนตอบว่า "หาไม่ได้" ในความหมายข้างต้นที่ยกตัวอย่างมา นักเรียนควรจะบอกเหตุผลตามหลักเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ได้ด้วย จึงจะนับว่ามีประโยชน์

 

ลองมาคิดเกมปัญหากันอีกสักปัญหานะครับ

 

"จงหาจำนวนคี่มา 5 จำนวนซี่งเมื่อรวมกันแล้ว ได้ 64"

 

หาได้หรือยังครับ ยากไปไหมเอ่ย

มีใครอยากจะตอบว่า "หาไม่ได้"บ้างหรือเปล่า

ถ้าอยากตอบว่า "หาไม่ได้" เพราะยังคิดไม่ออกหรือคิดไม่ได้ ก็ลองหยุดคิดสักพัก แล้วค่อยพยายามใหม่อีกครั้งนะครับ

แต่ถ้าตอบว่า "หาไม่ได้" เพราะมันเป็นไปไม่ได้ หรือ เพราะว่าไม่มีคำตอบ ก็ต้องขอถามต่อว่า มีเหตุผลอย่างไรที่ตอบว่า ไม่มีคำตอบ หรือไม่มีทางทำได้

เหตุผลที่คุณคิดเป็นอย่างนี้หรือเปล่า

เนื่องจากสิ่งที่ต้องการให้หาคือจำนวนคี่ 5 จำนวน ที่รวมกันแล้วได้ 64

แต่เราทราบแล้วว่า "จำนวนคี่ใด ๆ 2 จำนวน รวมกันผลบวกย่อมเป็นจำนวนคู่ "และ "จำนวนคู่ใด ๆ 1 จำนวน รวมกับจำนวนคี่ใด ๆ 1 จำนวน ผลบวกต้องเป็นจำนวนคี่"

กฎเกณฑ์ทั้ง 2 ประการนี้คงจะเห็นได้ชัดเจน ถ้าจะให้พิสูจน์ได้ไม่ยากนัก

ดังนั้น เมื่อนำจำนวนคี่จำนวนที่ 1 รวมกับจำนวนคี่จำนวนที่ 2 ผลรวมย่อมเป็นจำนวนคู่ และเมื่อรวมกับจำนวนคี่จำนวนที่ 3 ผลรวมย่อมเป็นจำนวนคี่ และเมื่อรวมกับจำนวนที่ 4 ผลรวมก็จะเป็นจำนวนคู่ ซึ่งเมื่อรวมกับจำนวนที่ 5 ผลรวมย่อมต้องเป็นจำนวนคี่เสมอ ซึ่งไม่มีโอกาสที่จะเท่ากับ 64 ซึ่งเป็นจำนวนคู่ได้เลย

 

เกมปัญหาทำนองนี้ ครูผู้สอนอาจจะนำไปให้นักเรียนลองคิดดูเล่น ๆ หรือใช้ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เพื่อทำความเข้าใจเกี่ยวกับวลี "หาค่าไม่ได้" ก็ได้ โดยอาจจะบอกนักเรียนว่า ถ้าใครคิดได้ จะเพิ่มคะแนนเก็บให้สัก 10 คะแนน นักเรียนก็อาจจะอยากคิดกันบ้างกระมัง และถ้านักเรียนบอกเหตุผลได้ การที่จะให้ 10 คะแนนก็ไม่น่าเสียดายใช่ใหม่ครับ