สนุกคิดกับการแก้สมการ

จากประสบการณ์การสอนคณิตศาสตร์ที่สั่งสมมาไม่น้อยของ krunam พบว่า ลูกศิษย์ของตนส่วนมากจะมีปัญหาทางการเรียนวิชาคณิตศาสตร์  โดยเฉพาะ เรื่อง สมการและการแก้สมการ ซึ่งเป็นเรื่องพื้นฐานของการนำไปประยุกต์ใช้ในเรื่องการเรียนและในชีวิตประจำวัน   ดังนั้นก่อนที่ krunam จะทำการสอนเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ให้แก่ลูกศิษย์กลุ่มใด ๆก็ตาม  ในครั้งแรกของการสอนจะทำการสำรวจความพร้อมและประสบการณ์พื้นฐานทางความคิดคณิตศาสตร์ของลูกศิษย์ในเรื่องของการสมการและการแก้สมการ โดยเฉพาะสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  และสมการกำลังสองตัวแปรเดี่ยว แล้วดำเนินการปรับความรู้พื้นฐานให้แก่ลูกศิษย์ โดยใช้หลักเกณฑ์ง่าย ๆ ด้วยการยึดหลักการทำภาระกิจในชีวิตประจำวันของผู้เรียน  คือ

1.  มองรูปสมการให้ได้ว่าเป็นสมการรูปแบบใด  เชิงเส้น  หรือกำลังสอง

2.  หาตัวแปรให้เจอ   แล้วคิดว่าตัวแปรคือ ตัวของเรา

3.  หาค่าตัวแปร โดยใช้หลักง่าย ๆ ดังนี้ (คิดเรื่องการเดินทาง หรือ การแต่งตัว)

3.1  ถ้าเป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  วิธีการ คือ  ให้อ่านโจทย์ว่าตัวแปรที่เห็นนั้นทำอะไรกับจำนวนใดบ้าง เช่น  บวก  หรือ ลบ  หรือ  คูณ  หรือ  หาร  แล้วให้เขียนผังการกระทำของตัวแปรกับจำนวนต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้อง (ยึดหลักการเดินทางการออกจากบ้านและกลับบ้านของเรานั่นเอง  ถ้าเราออกจากบ้านได้เราก็ต้องกลับบ้านได้  คำว่า "กลับ" คือการกระทำที่ตรงกันข้ามกับการกระทำที่เราทำไป  ดังนั้น เราจึงสามารถเปรียบเทียบเครื่องหมายพีชคณิตทางคณิตศาสตร์ได้  คือ  ถ้า  +  ตรงข้าม คือ  -   และ  ถ้า  x  ตรงข้าม คือ  ÷   เป็นต้น 

ตัวอย่างเช่น     จงแก้สมการ     3x + 5  =  14 

      ผังความคิด         x → ×3  →  + 5  =   14                                                        

      (อ่าน ว่า  เอ็กซ์ คูณด้วย สาม แล้ว บวกด้วยห้า มีค่าเท่ากับ  สิบสี่ )

      ดังนั้นเราจะหาค่าตัวแปร  x   เราต้องเริ่มที่  คำตอบ  คือ  14  แล้วเดินทางกลับด้วยการใช้เครื่องหมายตรงข้าม

14 → - 5 →  ÷ 3    =   x  (สิบสี่ไปลบด้วยห้า แล้วหารด้วย สาม มีค่าเท่ากับเอ็กซ์)

นั่นคือ     x    =   ( 14 - 5) ÷ 3   =   3            ซึ่งเป็นคำตอบของสมการนั่นเอง...

จะเห็นว่าการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวเป็นเรื่องที่ง่ายมาก ๆ เพียงแต่เรารู้จักเขียนผังความคิดหรือการอ่านให้ได้เท่านั้น การหาค่าตัวแปรก็เพียงแต่การเดินทางย้อนศร โดยใช้เครื่องหมายตรงข้ามกับที่โจทย์กำหนดให้เท่านั้นเราก็จะได้คำตอบที่ถูกต้อง ด้วยสมองอันน้อยนิดของเราโดยไม่ต้องใช้เครื่องทุนแรง(เครื่องคิดคำนวณ) หรือ แทบไม่ต้องทดลงในกระดาษ ไม่เชื่อก็ลองหาโจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  แล้วลงมือกระทำอย่างที่  krunam บอกคำตอบก็อยู่แค่เอื้อม  ต่อไปเรื่องการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดี่ยวซึ่งเป็นพื้นฐานของการแก้สมการอื่น ๆ ก็จะเป็นเรื่องง่ายสำหรับท่านแล้ว  ฝึกทำบ่อย ๆ (ทฤษฎีของการฝึก) เราก็สามารถคิดหาคำตอบในใจได้ ...!

ถ้าหากว่าใครมีวิธีการที่แก้สมการที่ง่ายกว่านี้ช่วยเผยแพร่แนวความคิดให้ krunam ทราบด้วยนะจ๊ะ

การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว โดยวิธีการแยกตัวประกอบ

รูปแบบที่นิยมใช้ทั่วไป  คือ   ax2  + bx  + c  =  0

เมื่อ    a ,  b , c   เป็นจำนวนจริงใด ๆ  ( ในที่นี้เราสมมุตว่าเป็นจำนวนเต็มก่อน)

ในการแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว โดยวิธีการแยกตัวประกอบนั้น ถ้าคิดให้สนุกเราก็นึกเสียว่าเรากำลังออกกำลังกายในท่ายืดแขนยืดขาหรือปรับความสมดุลย์ของร่างกายของตัวเอง ถ้าทำถูกวิธีก็จะไม่เกิดความเจ็บปวด หรือเกิดอันตราย   ดังนั้นเราจะดูวิธีการแยกตัวประกอบของสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร x2  คือ  a  และ ค่าคงที่  c  พร้อมดูวิธีการจับคู่ด้วยการตรวจสอบความถูกต้องของค่า  b  ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x  หรือพจน์กลางดังนี้

                       a    =     M  *  N

                      c     =    P   *  Q                  (สังเกตเครื่องหมายหน้า c ด้วย)

    โดย              b    =     (M*P) + (N*Q)

  ดังนั้น        ax2   + bx  + c   =  (Mx + Q)(Nx + P)

ตัวอย่างเช่น     จงแยกตัวประกอบ  พร้อมแก้สมการหาค่าตัวแปร x  จากสมการ

                 15x2 - 11x  - 12  =  0

วิธีคิด      แยก       15   =    5  x  3

                        - 12  =   (-4)  x  3

               ได้       -11  =  ( 5x(-4)) + (3x3)

    ดังนั้น                  15x2 - 11x - 12   =  0

แยกตัวประกอบเป็น     ( 5x + 3)(3x - 4)  =  0

                   ได้     x   =  -3/5    และ  4/3                                  ตอบ.