เรียนสถิติด้วยภาพ ตอนที่ 17 สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (2)

wwibul
ติดตาม ผู้ติดตาม 
ติดต่อ

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ เกิดจากแนวคิดเรื่องเวกเตอร์

สิ่งที่ล้อตามกัน ก็เหมือนเวกเตอร์สองเส้นที่ชี้ไปทางเดียวกัน

สิ่งที่แย้งกัน ตรงข้ามกัน ก็เหมือนเวกเตอร์ที่ชี้ตรงข้าม

สิ่งที่ไม่ขึ้นแก่กัน ก็จะเหลือทางเลือกเดียว ไม่ตาม ไม่แย้ง ก็คือ ต้องตั้งฉาก

เราจะรู้ได้อย่างไรว่าเวกเตอร์ชี้ไปทางไหน

เขาใช้ผลคูณ dot product ของสองเวกเตอร์ มาช่วยอนุมานมุมระหว่างสองเวกเตอร์ ก็จะทราบว่าเวกเตอร์ชี้ทำมุมกันอย่างไร

ถ้า A และ B เป็นเวกเตอร์

A⋅B = ∑ a(i) * b(i)

เมื่อ i คือลำดับที่ของข้อมูล โดยเวกเตอร์ A มีสมาชิกย่อย ๆ เป็น a(1), a(2). ... ตามลำดับ B ก็จะมี b(1), b(2),... ทำนองเดียวกัน

เห็นสมการยุ่ง ๆ อาจคิดในใจว่า โห ยากจัง

อย่าตกใจ เด็กประถมก็ใช้สูตรนี้เป็นตามสัญชาติญาณแล้ว

เวลาเด็กไปซื้อขนม ซื้อปีโป้สองชิ้น ชิ้นละ X บาท ซื้อกูลิโกะสามกล่อง กล่องละ Y บาท ซื้ออมยิ้ม 4 อัน อันละ Z บาท

เด็กจ่ายเงินรวม = 2X + 3Y + 4Z

ทำไมเอา 2 คูณ X ไม่ไปคูณ Y หรือ Z ?

เพราะมันไม่เกี่ยวไง

ซื้ออะไร ก็ต้องเอาราคาต่อชิ้นสิ่งนั้น คูณจำนวนหน่วยสิ่งนั้น ถูกไหม

ถ้า A คือเวกเตอร์ของราคาสินค้าต่อหน่วย

และ B คือเวกเตอร์ของจำนวนหน่วยของสินค้าแต่ละชนิด

จ่ายเงินรวม ก็ต้องเป็นผลบวกของ จำนวนหน่วยสินค้า คูณ ราคาสินค้านั้น ๆ ต่อหน่วย

เงินที่จ่ายนี้ ก็คือ A⋅B นั่นเอง

เราเอาเวกเตอร์คูณกัน เกิดเป็นตัวเลขเดี่ยว ๆ ที่ไม่มีทิศทาง กลายเป็นปริมาณสเกลาร์

เกิดอะไรขึ้น ถ้า A เป็นเวกเตอร์มีขนาดยักษ์ และ B เป็นเวกเตอร์ขนาดเล็ก

A⋅A ก็จะกลายเป็นตัวเลขใหญ่มหึมา และ B⋅ฺB ก็จะกลายเป็นตัวเลขเล็กกระจ้อยร่อย

A⋅B เราคาดว่า มันน่าจะมีขนาดกลาง ๆ เป็นค่าเฉลี่ยระหว่าง A⋅A กับ B⋅ฺB

พวกนี้ เป็นตัวเลขหมด ไม่ว่า A⋅B, A⋅A หรือ B⋅ฺB

ค่าเฉลี่ยระหว่าง A⋅A กับ B⋅ฺB น่าจะเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิต เพราะไม่งั้น คู่ไหนคูณกันแล้วเลขมาก ก็จะมีผลท่วมท้นกลบผลของอีกตัวไปหมด

ดังนั้น ค่าที่คาดหมายของ A⋅B ควรเป็น = [(A⋅A)*(B⋅ฺB)]

(ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต คือรากที่สองของผลคูณ)

ถ้า A ไปทางเดียวกับ B จริง A⋅B ต้องเท่ากับ [(A⋅A)*(B⋅ฺB)]

ดังนั้น อัตราส่วน A⋅B / √[(A⋅A)*(B⋅ฺB)] จะบอกว่า มีความสอดคล้องกันระหว่างค่าที่คำนวณได้จริง A⋅B กับค่าที่ควรเป็น [(A⋅A)*(B⋅ฺB)] แค่ไหน

อัตราส่วนนี้ ก็คือค่า r หรือ correlation coefficient นั่นเอง กล่าวคือ พอเป็นเวกเตอร์ เขามีคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับเวกเตอร์ ก็แค่แทนค่าเข้าไปตามขั้นตอนที่ควรเป็นของคณิตศาสตร์แขนงนั้น

ซึ่งท้ายสุด ก็จะได้สมการนี้

ดังที่เคยกล่าวมาแล้วในตอนก่อนหน้านั่นเอง

ใช้สมการแทนรูปก็แล้วกัน เดี๋ยวจะว่า เรียนสถิติด้วยภาพ...ซะเมื่อไหร่

บันทึกนี้เขียนที่ GotoKnow โดย  ใน note by wwibul



ความเห็น (7)

เขียนเมื่อ 

ถ้าสอนแบบนี้เด็กจะคำนวนเป็นแต่ไม่สามารถแปลความหมายของสหสัมพันธ์ได้เลยยกเว้นพูดตามครู ถ้าจะให้เข้าใจควรเริ่มจาก scatter plots หลาย ๆรูป ที่แสดงถึงความแปรผันของตัวแปรคู่ที่วัดจากหน่วยตัวอย่างเดียวกัน เช่น น้ำหนักและส่วนสูงของคน รายได้ และค่าใช้จ่ายต่อเดือนของข้าราชการทหาร เป็นต้น (ไม่ได้อ่านตอนก่อนหน้า) แล้วค่อยสร้างสูตร หรืออธิบายในมุมของเวคเตอร์

เขียนเมื่อ 

ตามมาอ่าน

คิดถึงอาจารย์

หายไปนานมากๆ

เขียนเมื่อ 

ตามมาอ่าน

คิดถึงอาจารย์

หายไปนานมากๆ

ผมตามมาอ่านครับ จากตอนก่อนหน้าเมื่อสองปีที่แล้ว ฮ่า ฮ่า ฮ่า

ขอบคุณมากครับที่นำความรู้มาเผยแผ่อีกครั้ง

https://www.gotoknow.org/user/wwibul/posts

กลับมาแล้วเซียน math ของเรา

อาจารย์ค่ะ

5 x 3 = 5 + 5 + 5

หรือ

5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

จันเรียน math มาตั้งนานแล้ว เพิ่งรู้ว่ามันไม่เทียบเท่ากันค่ะแต่มันเท่ากันนะ

เขียนเมื่อ 

อ.จัน

-คณิตศาสตร์ยุคนี้ เขาเน้นแบบคณิตศาสตร์นามธรรม แฝงปรัชญาเยอะ ชวนให้เมาครับ อิอิ

-โฉมใหม่ gotoknow สวยมากครับ ไม่ได้เข้ามาซะนาน