สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ เกิดจากแนวคิดเรื่องเวกเตอร์
สิ่งที่ล้อตามกัน ก็เหมือนเวกเตอร์สองเส้นที่ชี้ไปทางเดียวกัน
สิ่งที่แย้งกัน ตรงข้ามกัน ก็เหมือนเวกเตอร์ที่ชี้ตรงข้าม
สิ่งที่ไม่ขึ้นแก่กัน ก็จะเหลือทางเลือกเดียว ไม่ตาม ไม่แย้ง ก็คือ ต้องตั้งฉาก
เราจะรู้ได้อย่างไรว่าเวกเตอร์ชี้ไปทางไหน
เขาใช้ผลคูณ dot product ของสองเวกเตอร์ มาช่วยอนุมานมุมระหว่างสองเวกเตอร์ ก็จะทราบว่าเวกเตอร์ชี้ทำมุมกันอย่างไร
ถ้า A และ B เป็นเวกเตอร์
A⋅B = ∑ a(i) * b(i)
เมื่อ i คือลำดับที่ของข้อมูล โดยเวกเตอร์ A มีสมาชิกย่อย ๆ เป็น a(1), a(2). ... ตามลำดับ B ก็จะมี b(1), b(2),... ทำนองเดียวกัน
เห็นสมการยุ่ง ๆ อาจคิดในใจว่า โห ยากจัง
อย่าตกใจ เด็กประถมก็ใช้สูตรนี้เป็นตามสัญชาติญาณแล้ว
เวลาเด็กไปซื้อขนม ซื้อปีโป้สองชิ้น ชิ้นละ X บาท ซื้อกูลิโกะสามกล่อง กล่องละ Y บาท ซื้ออมยิ้ม 4 อัน อันละ Z บาท
เด็กจ่ายเงินรวม = 2X + 3Y + 4Z
ทำไมเอา 2 คูณ X ไม่ไปคูณ Y หรือ Z ?
เพราะมันไม่เกี่ยวไง
ซื้ออะไร ก็ต้องเอาราคาต่อชิ้นสิ่งนั้น คูณจำนวนหน่วยสิ่งนั้น ถูกไหม
ถ้า A คือเวกเตอร์ของราคาสินค้าต่อหน่วย
และ B คือเวกเตอร์ของจำนวนหน่วยของสินค้าแต่ละชนิด
จ่ายเงินรวม ก็ต้องเป็นผลบวกของ จำนวนหน่วยสินค้า คูณ ราคาสินค้านั้น ๆ ต่อหน่วย
เงินที่จ่ายนี้ ก็คือ A⋅B นั่นเอง
เราเอาเวกเตอร์คูณกัน เกิดเป็นตัวเลขเดี่ยว ๆ ที่ไม่มีทิศทาง กลายเป็นปริมาณสเกลาร์
เกิดอะไรขึ้น ถ้า A เป็นเวกเตอร์มีขนาดยักษ์ และ B เป็นเวกเตอร์ขนาดเล็ก
A⋅A ก็จะกลายเป็นตัวเลขใหญ่มหึมา และ B⋅ฺB ก็จะกลายเป็นตัวเลขเล็กกระจ้อยร่อย
A⋅B เราคาดว่า มันน่าจะมีขนาดกลาง ๆ เป็นค่าเฉลี่ยระหว่าง A⋅A กับ B⋅ฺB
พวกนี้ เป็นตัวเลขหมด ไม่ว่า A⋅B, A⋅A หรือ B⋅ฺB
ค่าเฉลี่ยระหว่าง A⋅A กับ B⋅ฺB น่าจะเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิต เพราะไม่งั้น คู่ไหนคูณกันแล้วเลขมาก ก็จะมีผลท่วมท้นกลบผลของอีกตัวไปหมด
ดังนั้น ค่าที่คาดหมายของ A⋅B ควรเป็น = √[(A⋅A)*(B⋅ฺB)]
(ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต คือรากที่สองของผลคูณ)
ถ้า A ไปทางเดียวกับ B จริง A⋅B ต้องเท่ากับ √[(A⋅A)*(B⋅ฺB)]
ดังนั้น อัตราส่วน A⋅B / √[(A⋅A)*(B⋅ฺB)] จะบอกว่า มีความสอดคล้องกันระหว่างค่าที่คำนวณได้จริง A⋅B กับค่าที่ควรเป็น √[(A⋅A)*(B⋅ฺB)] แค่ไหน
อัตราส่วนนี้ ก็คือค่า r หรือ correlation coefficient นั่นเอง กล่าวคือ พอเป็นเวกเตอร์ เขามีคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับเวกเตอร์ ก็แค่แทนค่าเข้าไปตามขั้นตอนที่ควรเป็นของคณิตศาสตร์แขนงนั้น
ซึ่งท้ายสุด ก็จะได้สมการนี้
ดังที่เคยกล่าวมาแล้วในตอนก่อนหน้านั่นเอง
ใช้สมการแทนรูปก็แล้วกัน เดี๋ยวจะว่า เรียนสถิติด้วยภาพ...ซะเมื่อไหร่
ถ้าสอนแบบนี้เด็กจะคำนวนเป็นแต่ไม่สามารถแปลความหมายของสหสัมพันธ์ได้เลยยกเว้นพูดตามครู ถ้าจะให้เข้าใจควรเริ่มจาก scatter plots หลาย ๆรูป ที่แสดงถึงความแปรผันของตัวแปรคู่ที่วัดจากหน่วยตัวอย่างเดียวกัน เช่น น้ำหนักและส่วนสูงของคน รายได้ และค่าใช้จ่ายต่อเดือนของข้าราชการทหาร เป็นต้น (ไม่ได้อ่านตอนก่อนหน้า) แล้วค่อยสร้างสูตร หรืออธิบายในมุมของเวคเตอร์
ตามมาอ่าน
คิดถึงอาจารย์
หายไปนานมากๆ
ตามมาอ่าน
คิดถึงอาจารย์
หายไปนานมากๆ
ผมตามมาอ่านครับ จากตอนก่อนหน้าเมื่อสองปีที่แล้ว ฮ่า ฮ่า ฮ่า
ขอบคุณมากครับที่นำความรู้มาเผยแผ่อีกครั้ง
กลับมาแล้วเซียน math ของเรา
อาจารย์ค่ะ
หรือ
จันเรียน math มาตั้งนานแล้ว เพิ่งรู้ว่ามันไม่เทียบเท่ากันค่ะแต่มันเท่ากันนะ
อ.จัน
-คณิตศาสตร์ยุคนี้ เขาเน้นแบบคณิตศาสตร์นามธรรม แฝงปรัชญาเยอะ ชวนให้เมาครับ อิอิ
-โฉมใหม่ gotoknow สวยมากครับ ไม่ได้เข้ามาซะนาน