คณิต

1. 1.            เรื่อง เซต

เซตที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์จะต้องเป็นเซตที่มีความชัดเจนกล่าวคือ เมื่อกำหนดสิ่งใดมาให้จะสามารถบอกได้ตรงกันว่าสิ่งนั้นเป็นสมาชิกของเซตที่กล่าวถึงหรือไม่ ในการกล่าวถึงสิ่งใดในเซตจะต้องกำหนดขอบเขตของสิ่งที่กล่าวถึงด้วยเสมอ

วิธีเขียนเซตโดยทั่วไปจะแบ่งเป็น 2 วิธี คือ

-                   การเขียนเซตโดยวิธีแจกแจงสมาชิกในเซต

-                   การเขียนเซตโดยบอกเงื่อนไขสมาชิกในเซต

              เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับศูนย์หรือเท่ากับจำนวนเต็มบวกใดๆเรียกว่า “เซตจำกัด”

                เซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้เรียกว่า “เซตอนันต์”

                เซตที่ไม่มีสมาชิกอยู่ในเซตเลยเรียกว่า “เซตว่าง”

                เซตว่างเขียนแทนด้วย ø หรือ { }

                การกระทำของเซตได้แก่ ยูเนียน,อินเตอร์เซกชัน,ผลต่างและคอมพลีเมนต์

                การเขียนแผนภาพแทนเซต มีจุดมุ่งหมายเพื่อให้เข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างเซตต่างๆได้ง่ายและชัดเจนยิ่งขึ้น

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 2.            เรื่องการใช้เหตุผล

                อริสโตเติลซึ่งเป็นนักปราชญ์ชาวกรีกที่มีชื่อเสียงได้ตั้งกฎพื้นฐานขึ้นของการให้เหตุผลไว้ 3 ประการคือ

1. กฎแห่งเอกลักษณ์
2. กฎแห่งความขัดแย้ง
3. กฎแห่งความไม่เข้าใจ

การให้เหตุผลคือการอ้างหลักฐาน เพื่อสนับสนุนหรือเพื่อหาข้อสรุปในเรื่องใดเรื่องหนึ่ง  ในการให้เหตุผลแต่ละครั้งจะมีส่วนประกอบอยู่ 2 ส่วน คือ

1. ส่วนที่เป็นข้ออ้าง
2. ส่วนที่เป็นข้อสรุป

การให้เหตุผลมี 2 ประการ คือ

1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย
2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย

การให้เหตุผลแบบนิรนัย ผลหรือข้อสรุปจะถูกต้องก็ต่อเมื่อมีองค์ประกอบที่สำคัญ 2 ประการคือ

1. 1.              ยอมรับว่าเหตุเป็นจริงทุกข้อ
2. 2.              การสรุปผลสมเหตุสมผล

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 3.              เรื่องจำนวนจริง

 

เซตของจำนวนจริง คือเซตของจำนวนที่เกิดจากการนำเซตของจำนวนตรรกยะยูเนียนกับเซตของจำนวนอตรรกยะ จำนวนจริงแต่ละจำนวน จะแทนด้วยจุดแต่ละจุดบนเส้นจำนวนและจำนวนจริงแบ่งเป็น 3 กลุ่ม คือ “จำนวนจริงบวก” “ศูนย์” และ “จำนวนจริงลบ”  ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง a เขียนแทนด้วย  |a|  หมายถึงระยะทางจากจุดที่ใช้แทน a จนถึงจุดที่ใช้แทนศูนย์และเขียนเป็นบทนิยามได้ว่า

        a  เมื่อ a   ≥  0

                                                         |a| =    

       -a เมื่อ a  < 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 4.              เรื่อง ลำดับและอนุกรม

ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่1 เรียกว่า “ลำดับ”  ในกรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น {1,2,3,…,n}  จะเรียกลำดับดังกล่าวว่า “ลำดับจำกัด” และในกรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น {1,2,3,…} จะเรียกลำดับ ดังกล่าวว่า “ลำดับอนันต์”  ในกรณีที่กำหนดลำดับโดยพจน์ทั่วไป ถ้าไม่มีระบุสมาชิกในโดเมนให้ถือว่าลำดับนั้นเป็นลำดับอนันต์ 

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียก “อนุกรมเลขคณิต” และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตจะเป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิตเรียก               “อนุกรมเรขาคณิต”และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตจะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 5.              เรื่อง ความน่าจะเป็น

คำว่า “ความน่าจะเป็น” หรือ “โอกาส” เป็นคำที่มักจะพบในชีวิตประจำวัน เช่น ถ้าปีนี้ฝนตกหนักโอกาสที่น้ำจะท่วมหมู่บ้านจะมีมาก โอกาสที่นักกีฬาไทยจะได้เหรียญทองในการแข่งขันเอเชียนเกมคราวหน้าจะมีมากกว่าครั้งที่แล้ว การคาดการล่วงหน้าของเหตุการณ์ต่างๆที่จะเกิดขึ้นส่วนใหญ่อาศัยข้อมูลของเหตุการณ์นั้นหรือเหตุการณ์ทำนองเดียวกันที่เคยเกิดขึ้นมาก่อนแล้ว

การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้างแต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นได้เหล่านั้น

แซมเลสเปซ คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม