เนื้อหาคณิตศาสตร์

 

การให้เหตุผล

           การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ (หรือการอ้างเหตุผล) คือ กระบวนการคิดของมนุษย์ และสื่อความหมายกับผู้อื่นด้วยภาษา ซึ่งประกอบด้วยข้อความ หรือประโยคกลุ่มหนึ่งที่ยกขึ้นมาเพื่อสนับสนุนให้ได้ข้อความ หรือประโยคตามมา มักจะแสดงในส่วนของ เหตุ เราเรียกข้อความกลุ่มแรกนี้ว่า ข้ออ้าง (Premisses) และข้อความอีกชุดหนึ่งที่แสดงในส่วนของ ผล จะถูกเรียกว่า ข้อสรุป(Conclusion)

  เช่น    เหตุ    ช้างเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม
                      สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมต้องกินอาหาร      (เรียกว่า ข้ออ้าง)

            ผล      ช้างต้องกินอาหาร                            (เรียกว่า ข้อสรุป)

    ข้อความแต่ละข้อความของการให้เหตุผล จะอยู่ในรุปข้อความที่แสดงความคิดเห็น เพื่อเป็นการยืนยัน หรือปฎิเสธ ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็น จริง หรือ เท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ง

การให้เหตุผลแบ่งออกเป็นสองแบบคือ

1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)

    นิยาม:   การให้เหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง วิธีการสรุปในการค้นคว้าความจริงจากการสังเกตหรือทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆแล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป

   เป็นการให้เหตุผลโดยใช้ข้อสังเกตุ ผลการทดลองย่อย หรือความจริงส่วนย่อยที่พบเห็น มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป รวมไปถึงคำพยากรณ์ด้วย การหาข้อสรุปหรือความจริงโดยวิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้น ไม่จำเป็นจะต้องถูกต้องทุกครั้ง เนื่องจากเป็นการสรุปผลจากข้อเท็จจริงที่มีอยู่ โดยข้อสรุปที่ได้จะมีความถูกต้องมากเท่าใดนั้นก็จะขึ้นอยู่กับสามอย่างต่อไปนี้

1. จำนวนข้อมูล ที่มากเพียงพอต่อการสรุปความ
2. ข้อมูลหลักฐาน ที่ได้นำมาให้เหตุผลนั้น เป็นตัวแทนที่ดีหรือไม่
3. ความซับซ้อนของข้อสรุปที่ต้องการ

2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)

     เป็นการนำความรู้พื้นฐานที่อาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฏ หรือบทนิยาม  ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป

วงกลม (Circle)

     วงกลม คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน เสมอ 

จุดคงที่เรียกว่า    จุดศูนย์กลางของวงกลม  ระยะทางที่เท่ากัน เรียกว่า รัศมีของวงกลม

 

 

สมการวงกลม

     สมการของวงกลม มี  2  ลักษณะ คือ

1.           สมการวงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ จุด (0, 0)  รัศมีเท่ากับ r   สมการคือ x2 + y2  =  r2 

2.           สมการวงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) รัศมีเท่ากับ r สมการคือ (x – h)2 + (y – k)2  =  r2 

 สมการทั่วไปของวงกลม

     จากสมการวงกลม  (x  –  h)2 + (y  –  k)2  =  r2      เมื่อกระจายแล้ว สามารถเขียนได้ในรูป   

x2 + y2 + ax + by + c  =  0     เป็นสมการวงกลมมีจุดศูนย์กลางที่     ( , ) และ r=    

  ถ้า  r < 0  สมการนี้จะไม่ใช่สมการวงกลม 

เรื่อง เซต (ม.4)

 

เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียก สมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต" 

การเขียนเซต

การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ

1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต

ตัวอย่างเช่น  A = {1, 2, 3, 4, 5}

2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต

ตัวอย่างเช่น A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}

เซตจำกัด

เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้

ตัวอย่างเช่น  A = {1, 2, 3, 4, 5} มีสมาชิก 5 สมาชิก

เซตอนันต์

เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่น C = {...,-2,-1,0,1,2,...}

เซตที่เท่ากัน

เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B

ตัวอย่างเช่น A = {1, 2, 3, 4, 5}

                 B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}

เซตว่าง

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø

ตัวอย่างเช่น A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2}

                B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 }

 เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u

ตัวอย่างเช่น  U = {...,-2,-1,0,1,2,...}

            หรือU = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}

 

 

 

 

 

ความสัมพันธ์คู่อันดับ

   คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้

 ผลคูณคาร์ทีเซียน

 ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B

นั่นคือ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B }

ความสัมพันธ์

กำหนด A และ B เป็นเซตใดๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ จากเซต A ไปเซต B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A× B
          และ ถ้า r เป็นสับเซตของ A× A แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

กำหนด r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B

โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย D_r

เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย R_r

อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r

 อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วย r^-1

 ^{การสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลัง ทำได้ 2 วิธี ดังนี้}

^{วิธีที่ 1 สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) แต่มีเงื่อนไขเหมือนเดิม}

^{วิธีที่ 2สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) โดยแทนที่ x ด้วย y และแทนที่ y ด้วย x แต่ คู่อันดับ (x, y ) เหมือนเดิม}