ForensicStatistics3: การใช้ Posterior probability

     นี่เป็นค่าทางสถิติอีกตัวหนึ่ง ที่สร้างความมึนงงให้กับพวกเราไม่แพ้กับค่า random match probability และ likelihood ratio เรารู้จักกับเจ้านี่ในชื่อของ posterior probability หรือชื่อย่อว่า "W" ครั้งแรกที่ผมเจอเจ้านี่ ก็งงแล้วล่ะ ว่า ไอ้เจ้า posterior prob นี่มันย่อกันยังไงถึงได้เป็นตัว W เพราะไม่เห็นมันจะเกี่ยวกันเลย พอมาตอนหลังถึงได้ไปค้นเจอว่า จริงๆแล้ว มันเป็นภาษาเยอรมัน มาจากคำว่า "Wahrscheinlichkeit" ซึ่งแปลว่า ความน่าจะเป็น (probability)

     posterior probability เป็นการปรับปรุงการคำนวณให้มีค่าที่สะท้อนความเป็นจริงมากขึ้น โดยมีส่วนผสมของค่าทางสถิติที่คำนวณได้จากหลักฐานด้านดีเอ็นเอ นั่นคือค่า likelihood ratio กับค่าหลักฐานอื่นที่ไม่เกี่ยวข้องกับงานดีเอ็นเอ นั่นคือค่า prior probability  โดยมีสูตรคำนวณดังนี้

Posterior probability   =	(prior prob)(likelihood ratio)
	(prior prob)(likelihood ratio) +1 - prior prob

     บางคนอาจไม่คุ้นกับสูตรนี้ จะเห็นว่าถ้าเอา prior prob ไปหารทั้งเศษและส่วน จะได้เป็นสูตรใหม่ ที่อาจจะคุ้นกับบางคน แล้วอาจะไม่คุ้นกับบางคนอีกนั่นแหละ สำหรับผม ผมชอบสูตรข้างล่างนี้ครับ

Posterior probability   =	likelihood ratio
	likelihood ratio +(1 /prior prob) - 1

     ทีนี้ก็มาถึง prior prob ครับ เจ้านี่ไม่ใช่ค่าที่เกี่ยวข้องกับการตรวจดีเอ็นเอเลย มันหมายถึงว่า ถ้าเราไม่ตรวจดีเอ็นเอเลย โอกาสที่เราจะทำนายได้ถูกต้องมีค่าเท่าไร อย่างเช่น ไฟไหม้ซานติก้า มีคนถูกเผาดำเป็นตอตะโก รวมทั้งสิน 59 ศพ ถ้าเราไม่ตรวจอะไรเลย แล้วมีคนมีขอรับศพ โอกาสที่เราจะปล่อยศพได้ถูกต้องมีค่า เท่าไหร คำตอบคือ  1 ใน 59 ครับ จับหารกันก็จะได้ว่า prior prob = 1/59 หรือเท่ากับ 0.0169 เพราะฉะนั้น สูตรในการคำนวณค่า prior prob เป็นดังนี้ครับ

               prior prob = 1/n      

     เมื่อ n = จำนวนผู้เสียชีวิตทั้งหมด หรือจำนวนผู้เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นั้นทั้งหมด

     อ้าว แล้วถ้ามีคนตายเพียงแค่ 1 ศพ ล่ะ จู่ๆ ก็มีคนมาขอรับศพ คำนวณค่า prior prob = 1/1 นั่นหมายความว่าเราปล่อยศพได้ถูกต้อง 100% เสมอ ไม่ถูกแล้วครับ! ไม่ถูกจริงๆ ถ้ามีคนตายเพียงแค่ 1 ศพ แล้วเราไม่ทำอะไรเลย โอกาสที่เราจะปล่อยศพได้ถูกต้อง คือ 0.5 ครับ หรือ  50:50 เพราะฉะนั้นค่า prior prob สูงสุดเท่ากับ 0.5 ครับ

     ทีนี้ถ้ามีคนตาย 1 ศพ คำนวณค่า prior prob ได้ 0.5 แล้วเอาค่า prior prob ไปแทนค่าในสูตรข้างบน จะได้ดังนี้

Posterior probability   =	likelihood ratio
	likelihood ratio + 1

     สูตรนี้จะเป็นสูตรที่ใช้กันค่อนข้างบ่อยครับ อย่าลืมนะครับ การคำนวณด้วยสูตรนี้มีเบื้องหลัง เบื้องหลังของมันก็คือ มันถูกคำนวณขึ้นโดยประมาณค่า prior prob = 0.5 นั่นหมายถึงมีศพเพียง ศพเดียว หรือ มีคนอ้างตัวว่าเป็นพ่อเพียงคนเดียว ถ้ามีศพมากกว่า 1 ศพ หรือมีชายที่ไปมีความสัมพันธ์กับหญิงมากกว่า 1 คน พอหญิงคนนี้ท้อง แล้วจะมาหาว่าใครเป็นพ่อ สูตรนี้ใช้ไม่ได้ครับ ต้องกลับไปประมาณค่า prior prob ใหม่ครับ เบื้องหลังประการที่สองของมัน ซ่อนอยู่ในค่า likelihood ratio ครับ เพราะเจ้า LR นี้มันเป็นการเทียบ 2 สมมติฐาน คือโอกาสที่รูปแบบดีเอ็นเอนี้จะเป็นของผู้ต้องสงสัย หารด้วยโอกาสที่รูปแบบดีเอ็นเอนี้จะเป็นของบุคคลอื่นที่ไม่มีความสัมพันธ์เป็นญาติกับผู้ต้องสงสัย เห็นไหมว่า ตัวเทียบที่ว่าเป็นของบุคคลอื่นที่ไม่มีความสัมพันธ์เป็นญาติกันอาจเป็นปัญหาขึ้นมาได้ ถ้าจำเลยเขาโต้แย้งว่า รูปแบบดีเอ็นเอที่ได้จากที่เกิดเหตุเป็นของญาติพี่น้องของจำเลย ที่ไม่ใช่ของเจ้าตัว ค่าที่เราคำนวณ posterior prob ในที่นี้ก็จะใช้ไม่ได้ครับ

     ทีนี้ก็มาถึงความหมายครับ

     Posterior prob หมายถึงว่า เมื่อเราตรวจดีเอ็นเอเรียบร้อยแล้ว โอกาสที่เราจะทำนายผลได้ถูกต้องมีค่าเท่าไร  แตกต่างจาก prior prob นะครับ prior prob หมายถึง มีศพมานอนเรียงกันอยู่ ถ้าเราไม่ทำอะไรเลย โอกาสที่จะปล่อยศพได้ถูกต้องมีค่าเท่าไหร่

     ยกตัวอย่างเช่น พายเรือลอยลำไปตามลำคลอง แล้วไปพบว่ามีศพลอยตุ๊บป่องๆ สภาพศพเน่า อืด ไม่สามารถระบุอะไรได้ แล้วมาตรวจดีเอ็นเอเก็บ profile ไว้ ต่อมามีผู้มาของรับศพ โดยอ้างว่าเป็นลูก ตรวจดีเอ็นเอเปรียบเทียบแล้วเข้ากันได้ คำนวณค่า LR ได้ 10,000 คำนวณค่า W = 10,000/10,001 = 99.99%

     อธิบายได้ว่า  จากการตรวจดีเอ็นเอพบว่า 

     ข้อ 1 ไม่สามารถคัด ศพนี้ (นาย.....)จากการเป็นพ่อของ ผู้มาขอรับศพ (นาย.....) อย่าลืมนะครับ ข้อความนี้บางแห่งอาจใช้่ว่า รูปแบบดีเอ็นเอของศพ (นาย.....) และ ผู้มาขอรับศพ (นาย.....) ไม่ขัดแย้งกัน หรืออาจใช้ว่า ไม่สามารถปฏิเสธความสัมพันธ์พ่อ-ลูก ระหว่าง ศพ (นาย.....) และ ผู้มาขอรับศพ (นาย.....) ได้

     ข้อ 2 ความเชื่อมั่นที่ ศพ (นาย.....) จะเป็นพ่อของผู้มาขอรับศพ (นาย.....) เท่ากับ ร้อยละ 99.99

     ความเชื่อมั่นในที่นี้มีความหมายเหมือนกับคำว่า หลังจากพิจารณาหลักฐานการตรวจดีเอ็นเอร่วมด้วยแล้ว โอกาสที่เราจะทำนายผลได้ถูกต้อง มีค่าเท่ากับร้อยละ 99.99

     เปรียบไป ก็เหมือนกับ เรามีลูกบอลสีแดง 10,000 ลูก เปรียบให้มีความหมายว่า ใช่ และลูกบอลสีขาว 1 ลูก มีความหมายว่า ไม่ใช่ ใส่ของบอลทั้งหมด (10,001 ลูก) ลงในกล่อง เขย่าให้เข้ากันจนมั่นใจว่าลูกบอลกระจายกันดี แล้วให้เราหยิบลูกบอลจากกล่องขึ้นมา 1 ลูก โอกาสที่เราจะหยิบลูกบอลได้เป็นสีแดง มีค่าเท่ากับ ร้อยละ 99.99 ซึ่งก็มีค่าเท่ากับ posterior prob หรืออาจเรียกได้ว่า โอกาสที่เราจะทำนายผลได้ถูกต้องว่าลูกบอลที่หยิบได้จะเป็นสีแดง มีค่าเท่ากับร้อยละ 99.99 หรือจะเรียกเป็นค่าความเชื่อมั่นที่เราจะหยิบได้ลูกบอลสีแดง มีค่าร้อยละ 99.99 หรือมีความหมายเช่นเดียวกับ โอกาสที่เราจะหยิบได้ลูกบอลสีขาว เท่ากับ 1 ใน 10,000 (คำพูดนี้อธิบายโดยใช้เป็นค่า random match probability)

     เกณฑ์ทั่วไปที่เป็นที่ยอมรับ คือ หากค่า posterior probability มีค่ามากกว่า ร้อยละ 99.0 ให้เชื่อได้ว่า คราบเลือดนั้นเป็นของผู้ต้องสงสัยจริง (กรณีรูปแบบดีเอ็นเอเหมือนกัน) หรือศพนั้นเป็นลูกของนายคนนี้จริง (กรณีรูปแบบดีเอ็นเอเข้ากันได้)

     เป็นไงบ้างครับ พอจะหายงงบ้างไหม ถ้ายังไม่หายงง คราวหน้ายังมีที่ให้งงมากกว่านี้อีก ชิมิ ชิมิ