ทำไมเซตว่างจึงเป็นสับเซตของเซตทุกเซต

คณิตศาสตร์ เซตว่าง

     ในการสอนเรื่องเซต ทุกครั้งเมื่อถึงเรื่องสับเซต จะเจอนักเรียนถามเสมอว่า ทำไมเซตว่างจึงเป็นสับเซตของเซตว่าง

แนวการตอบตามหลักการทางคณิตศาสตร์

  วิธีที่ 1.

             A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ ถ้า มีสมาชิกxที่อยู่ในเซต A แล้ว สมาชิกxอยู่ในเซต B แต่ เซตว่างเป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก x ในเซตว่าง ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จดังนั้นประโยคที่ว่า เซตว่างเป็นสับเซตของB จึงมีค่าความจริงเป็นจริง (โดยเทียบความรู้ในเรื่องตรรกศาสตร์ ประพจน์ p→q ถ้า pมีค่าความจริงเป็นเท็จจะได้ประพจน์ p→q มีค่าความจริงเป็นจริง)

   วิธีที่ 2.

             A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิกxทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ถ้า x เป็นสมาชิกของA แล้ว x เป็นสมาชิกของB

นิเสธของประโยคข้างต้น คือ

             A ไม่เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกxบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ถ้า x เป็นสมาชิกของ A และ xไม่เป็นสมาชิกของ B 

             ถ้าให้ A แทน เซตว่าง จะได้ว่า                                                     เซตว่างไม่เป็นสมาชิกของ B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกxบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ถ้า xเป็นสมาชิกของเซตว่าง (ซึ่งไม่มีสมาชิกตัวใดในเซตว่าง จึงขัดแย้งกับข้างต้น) ดังนั้นประพจน์นี้(เซตว่างไม่เป็นสมาชิกของB)จึงมีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น เซตว่างเป็นสับเซตของB จึงมีค่าความจริงเป็นจริง

คำแนะนำ ลองเขียนเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์น่าจะเห็นได้ชัเจนขึ้น

แนวทางการตอบแบบไม่ใช้หลักคณิตศาสตร์ ผมใช้หลักนี้ให้นักเรียนเข้าใจโดยคร่าวๆก่อน(ดูน่าตื่นเต้นและทำให้จำได้ดี)แล้ว เมื่อเรียนตรรกศาสตร์แล้วจึงอธิบายด้วยหลักทางคณิตศาสตร์

ท่านพุทธทาส สอนว่า ทุกสิ่งประกอบไปด้วยความว่าง

ยกตัวอย่าง ลองนึกถึงตัวเอง ถ้าลอกผิวหนังของตัวเราออกจะเหลืออะไร 

                ตอบ  กล้ามเนื้อ อวัยวะภายใน กระดูก

ถ้าเราเอากล้ามเนื้อออกเหลืออะไร

                 ตอบ อวัยวะภายใน กระดูก

ถ้าเราเอาอวัยวะภายในออกทั้งหมด เหลืออะไร

                 ตอบ กระดูก

ถ้าเราเอากระดูกออกอีกเหลืออะไร

                 ตอบ ความว่าง

จะเห็นว่า ทุกสิ่งประกอบด้วยความว่าง นั่นคือ เซตว่างเป็นสับเซตของเซตทุกเซต