วันนี้วันเสาร์ เรามาคุยกันเรื่องเลขกันต่อดีกว่านะครับ

ในตอนเฉลยเรื่องThe Golden Ratio (ถ้ายังไม่ได้อ่านเชิญ ตอนแรก) ได้ทิ้งท้ายไปว่า The Golden Ratio เนี่ยเป็นจำนวนอตรรกยะ หรือพูดกันง่ายๆ ก็คือจำนวนที่เราไม่สามารถทำให้เป็นรูปเศษส่วนได้โดยจำนวนนับใดๆ

วันนี้เรามาพิสูจน์กันดีกว่าครับว่า ทำไมจำนวนอตรรกยะนั้นไม่สามารถแทนด้วยรูปเศษส่วนโดยจำนวนนับใดๆได้

วิธีการพิสูจน์เรื่องนี้นั้น จะใช้วิธีพิสูจน์ที่เรียกว่า Contradiction และก็ใช้ความรู้แค่เรื่องจำนวนเลขคู่กับการยกกำลังสองครับ

มาเริ่มกันเลยดีกว่า

สมมติว่า จำนวนอตรรกยะนั้นสามารถทำให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ดังนั้นเราสามารถเขียนจำนวนอตรรกยะในรูป a/b ได้ โดยที่ a และ b เป็นจำนวนนับ

สมมติต่อกันครับ a/b= √2 แล้ว a กับ b ก็ไม่มีตัวประกอบที่เหมือนกันด้วย (ตรงนี้ดูดีๆนะครับ เพราะนี่แหละหัวใจของการพิสูจน์เลยครับ)

คราวนี้เราต้องการกำจัดรากที่สอง เราก็ยกกำลังสองทั้งสองข้าง แล้วก็จัดรูปนิดหน่อย เราก็จะได้ว่า

a2=2b2 ถูกไหมครับ

งั้นก็แสดงว่า a2 เป็นเลขคู่ถูกไหมครับ เพราะฉะนั้นในเมื่อ a2 เป็นเลขคู่ a ก็ต้องเป็นเลขคู่ด้วยถูกไหมครับ (ไม่เชื่อลองไปหาดูก็ได้ว่า มีเลขคู่ยกกำลังสอง ตัวไหนบ้างแล้วได้เป็นเลขคี่ จ้างให้ก็หาไม่ได้หรอก :P)

ในเมื่อ a เป็นเลขคู่ เราสามารถเขียนแทนด้วย a=2c ได้ถูกไหมครับ

แทนค่า a=2c ลงไปใน  a2=2b2

เราก็จะได้ว่า (2c)2=2b2

เราก็จะได้อีกว่า b2= 2c2 นั่นก็แสดงว่า b ก็เป็นเลขคู่เหมือนกับ a ถูกไหมครับ

เพราะฉะนั้นนี่ก็ผิดจากที่เราสมมติไว้ตอนแรก หมดเลยใช่ไหมครับ ก็ในเมื่อเราสมมติว่า a กับ b นั้นไม่มีตัวประกอบที่เหมือนกัน

แต่ถ้า a กับ b เป็นเลขคู่ทั้งคู่ ทั้ง a กับ b ก็มีตัวประกอบที่เหมือนกันคือ 2 ไงครับ

อ้าว นี่มันผิดไปจากที่เราสมมตินี่หว่า ก็เราบอกว่า มันไม่มีตัวประกอบที่เหมือนกัน แต่นี่เราสามารถหาได้ว่า a กับ b มีตัวประกอบที่มันเหมือนกัน ดังนั้นนั่นก็หมายความว่า มันต้องไม่มี จำนวนนับ a กับ b ที่ทำให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้

วิธีการนี้แหละครับที่เรียกว่า contradiction

หรือสรุปง่ายๆก็คือ ถ้าเราสมมติกลับกันกับ ทฤษฏี หรือข้อความที่เราต้องการพิสูจน์ (นั่นก็คือเราสมมติว่าข้อความที่เราต้องการพิสูจน์นั้นมันผิด) แต่พอพิสูจน์แล้ว พบว่า ไอ้ที่เราสมมตินั้นนะเป็นไปไม่ได้ หรือพบว่าที่เราสมมติไว้ตอนแรกเนี่ยผิด ถ้าทำได้แบบนี้แล้ว การพิสูจน์ก็สมบูรณ์ครับ

คราวนี้มาดูประวัติกันบ้าง

เรื่องจำนวนอตรรกยะนั้นเป็นที่ถกเถียงกันตั้งแต่สมัยกรีกแล้วครับ สมัยก่อนคนกรีกเนี่ย เน้นด้านเรขาคณิตครับ เรื่องเรขาคณิตนั้นก็รู้จักแต่ ความยาวของด้าน พื้นที่ ปริมาตร ดังนั้นก็สนใจแต่พวกอัตราส่วน (ratio) หรือพูดง่ายๆ อัตราส่วนของจำนวนนับ

เพราะฉะนั้นอยู่ๆจะมีจำนวนอตรรกยะ (irrational) นั้น เป็นเรื่องน่าตกใจ เรียกว่าสั่นคลอนไปถึงปรัชญาเบื้องต้นของความเป็นคนกรีกเลยทีเดียว

มันก็ดูเหมือนไม่น่าจะมีอะไรเกิดขึ้นใช่ไหมครับ เพราะว่าถ้าเราสนใจแค่พื้นที่ มันก็ไม่น่าจะเกี่ยวข้องอะไรมากกับจำนวนอตรรกยะ เรื่องมันก็น่าจะผ่านไป ก็มันไม่น่าจะเข้ามายุ่งเกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะได้

แล้วอยู่ดีๆจะมีคนกรีกรู้จักจำนวนอตรรกยะได้ยังไง ก็รู้จักมาจากปิธากอรัสนี่แหละครับ

เรายังจำทฤษฏีปิธากอรัสได้ไหมครับ ที่บอกว่า

c2=a2+b2 หรือพูดง่ายๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสอง เท่ากับผลบวกของด้านประชิดมุมฉากกำลังสอง

ลองแทนค่า a=b=1 สิครับ ค่าด้านตรงข้ามมุมฉาก มันต้องเท่ากับ √2 ใช่ไหมครับ

นี่ไงครับจำนวนอตรรกยะมาโผล่ตรงนี้เอง ในสมัยกรีก

แล้วก็มีลูกศิษย์ของปิธากอรัสคนนึงครับที่ชื่อว่า ฮิปโปโปเตมัส เอ้ยไม่ใช่ชื่อ Hippasus ที่ดั้น ไปพิสูจน์ออกมาว่า √2 เป็นจำนวนอตรรกยะ ทั้งๆที่ทุก ratio ของด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยม ก็ออกจะเป็นเลขสวยงาม คือ 1:1

ลูกศิษย์ร่วมชั้น รู้เห็นก็ตกใจครับ กลัวคนกรีกจะช็อกไปด้วยเหมือนกับที่เพื่อนร่วมชั้นของHippasus รู้ แหมก็ข่าวนี้มันข่าวร้ายสุดๆ อยู่ๆจะให้คนมารู้ได้ไงว่าในโลกนี้มีเรื่องประหลาดๆแบบนี้ด้วย เพื่อป้องกันข่าวร้ายแพร่กระจายไปช็อกโลก เพื่อนร่วมห้องก็เลยจัดการโยน Hippasus ลงน้ำแล้วก็ปล่อยให้จมตายไปพร้อมกับจำนวนเลขอตรรกยะครับ

นิทานเรื่องนี้สอนให้รู้ว่า ตัวเด่นจะเป็นภัยนะครับ เพื่อนๆร่วมชั้นเหม็นขี้หน้า อาจจะซี้ม่องเท่งได้ง่ายๆ ฮ่าๆๆๆ (แต่เรื่องนี้เป็นตำนาน เล่าขานกันเฉยๆครับ ไม่มีใครยืนยันได้ว่าจริงหรือไม่จริงครับ)

ที่มา Devlin, K. J. The language of mathematics, W. H. Freeman and Company, NY. 1998

ไม่ทราบมีใครคิดออกบ้างหรือยังครับว่า ถ้าโลกเราไม่มีเลขศูนย์จะเป็นยังไงบ้าง

เสาร์หน้ามาดูกันครับว่า เลขศูนย์นี่ยิ่งใหญ่ขนาดไหน

ปล มีใครเคยลองเขียนโดยใช้ source code ของ html ไหมครับ ทำไมผมลองเขียน รากที่สอง กับเลขยกกำลัง แล้วมันแสดงผลมาแปลกๆก็ไม่รู้อ่ะครับ

ขอบพระคุณอาจารย์ดร. กมลวัลย์ มากครับที่ได้กรุณาบอก source code เลขยกกำลังมาให้ครับ :D