เซต

เซต (Set)

 

เซต เป็น สัญลักษณ์ในภาษาคณิตศาสตร์  ใช้แทนกลุ่มของคน สิ่งของ หรือตัวเลข ต่าง ๆ

เซตสามารถเขียนได้ 2 แบบ คือ

1.      แบบแจกแจงสมาชิก    เช่น    {1,2,3}   *1

2.      แบบบอกเงื่อนไขสมาชิก    เช่น    {x | x = 2n ; n = 1,2,3, …}  *2

 

และเซต แบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ

1.      เซตจำกัด      คือ       เซตที่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้   

2.      เซตอนันต์      คือ       เซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกที่แน่นอนได้   

เซตที่มีบทบาทที่ควรรู้จัก     คือ                   */คือ ประมาณว่า จำเป็นต้องรู้ อ่ะนะ/*

1.      เซตว่าง     คือ    เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย เป็น เซตจำกัด  เขียนแทนด้วย f หรือ { }   

2.      เอกภพสัมพัทธ์     คือ     เซตที่ใหญ่ที่สุด  โดยเซตทุกตัวที่เราศึกษาอยู่จะอยู่ในเซตนี้  เขียนแทนด้วย  U (หาตัว universe ไม่เจอง่ะ ....  แทน ด้วยตัว U ไปก่อนนะ  เด๋วจะวาดรูปจริง ๆ ให้ดู) เอกภพสัมพัทธ์จะเป็นเซตจำกัดหรือเซตอนันต์ก็ได้  ขึ้น อยู่กับโจทย์  กำหมดมาให้  ถ้าโจทย์ไม่ได้กำหนดมาให้  ถือว่า เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง

 

การเปรียบเทียบระหว่างเซต

1.      การเท่ากันของเซต     เซตที่เท่ากันต้องมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว     *3

3.      การเทียบเท่าของเซต      เซตที่เทียบเท่ากัน  จะมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน    *4

 

การเป็นสมาชิก (Î)  และเป็นสับเซต (Ì)

A Î B    อ่านว่า    A เป็นสมาชิกของเซต B ก็ต่อเมื่อ A จะต้องเป็นสมาชิกตัวหนึ่งตัวใดในเซต B   *5

A Ì B     อ่านว่า    เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ  สมาชิกภายในเซต A ทุกตัว จะต้องเป็นสมาชิกของเซต B  *6

 

สมบัติของสับเซต  โดยที่ A, B เป็นเซตใด ๆ

1.      f Ì A และ A Ì A  เสมอ

2.      A = B  ก็ต่อเมื่อ A Ì B และ B Ì A

3.      A Ì B ก็ต่อเมื่อ  B' Ì A'

4.      ถ้า A Ì B และ B Ì C แล้ว A Ì C

 

การสร้างสับเซตของเซตที่ทราบจำนวนสมาชิก

A มีสมาชิก n  ตัว  สร้างสับเซตทั้งหมดของ A ที่มีสมาชิก r ตัว  ได้ ⁿC_r  สับเซต  (เรื่องการจัดเรียง ตอน ม.3 ม้าง...นะถ้าไม่เข้า ใจ ต้องการคำอธิบาย เพิ่มเติม บอกได้นะ) เช่น  ถ้า A={1,2,3,4,5} ต้องการ สับเซตของ A ที่มีจำนวน สมาชิก  2 ตัว  เราก็จะได้  {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},…,{4,5} แบบนี้  ถ้าเรานับก็จะได้  ...  (เท่านั้นแหละ  ลองเขียนดู)  มาเรามาใช้สูตรกัน  ⁵C₂ ก็จะได้ 30 จำนวน  นั่นเอง

 

เพาเวอร์เซต (Power Set)    P(A)   อ่านว่า    เพาเวอร์เซต A

 

P(A) หมายถึง เซตของสับเซตทั้งหมดของ A    นั่นคือ    P(A) = {X | X Ì A} หรือ X Ì P(A) ก็ต่อเมื่อ X Ì A

 

สมบัติของเพาเวอร์เซต  โดยที่  A, B เป็นเซตใด ๆ

1.      ถ้า A เป็นเซตจำกัด และมีสมาชิก n ตัว  จะได้ P(A) เป็นเซตจำกัดมี จำนวน สมาชิก 2ⁿ ตัว

2.      X Î P(A)  ก็ต่อเมื่อ  X Ì A  จึงทำให้  f Î P(A) และ A Î P(A)

3.      P(A) ¹ f โดยที่ P(f) = {f} และ P(A) ¹ A

4.      A Ì B ก็ต่อเมื่อ P(A) Î P(B)

5.      P(A) Ç P(B) = P(A Ç B)

6.      P(A) È P(B) Ì P(A È B)

 

…………….…………………………………………