ตัวอย่างชุดการเรียนคณิตศาสตร์แบบสืบสวนสอบสวน โดยใช้โปรแกรม GSP เรื่องวงกลม

กรุณาคลิกสารบัญทางขวามือ เพืิ่อดูทุกเรื่อง สามารถกด ctrl + F แล้วพิมพ์หาที่ต้องการ

ตัวอย่างชุดการเรียนคณิตศาสตร์แบบสืบสวนสอบสวน โดยใช้โปรแกรม GSP  เรื่องวงกลม สำหรับคุณครูผู้สอนที่จะนำไปเป็นแนวทางทำสื่อ หรือนำไปสอนนักเรียน

ลองคลิกเข้าไปดูที่เว็บไซต์นี้นะครับ น่าสนใจและมีรูปภาพประกอบครบ

และนี่คือบางส่วนที่นำมาให้ดูแต่ไม่สมบูรณ์

ชุดการเรียนคณิตศาสตร์แบบสืบสวนสอบสวน
โดยใช้โปรแกรม GSP
หน่วยการเรียนรู้ที่ 2
เรื่อง
วงกลม
ชื่อ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ชั้น . . . . . . . . เลขที่ . . . . . .
ชุดการเรียนคณิตศาสตร์แบบสืบสวนสอบสวน
โดยใช้โปรแกรม GSP ชุดที่ 2 เรื่อง วงกลม
คำชี้แจง ชุดการเรียนคณิตศาสตร์แบบสืบสวนสอบสวน โดยใช้โปรแกรม GSP
ชุดที่ 2 มี 2 ตอน ได้แก่
ตอนที่ 1 นิยามของวงกลม (ใช้เวลา 2 คาบ)
ตอนที่ 2 วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h , k) (ใช้เวลา 2 คาบ)
1. ชุดการเรียนคณิตศาสตร์แบบสืบสวนสอบสวน โดยใช้โปรแกรม GSP ชุดที่ 2 ประกอบด้วย
– กิจกรรมการเรียนรู้ที่ 1 นิยามของวงกลม
– กิจกรรมการเรียนรู้ที่ 2 วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h , k)
– แบบฝึกหัดที่ 1
– แบบฝึกหัดที่ 2
– แบบทดสอบท้ายชุดการเรียนที่ 2
2. ให้นักเรียนศึกษาชุดการเรียนนี้โดยการใช้โปรแกรม GSP ทำกิจกรรมการเรียนรู้ที่ 1 ตาม
คำแนะนำที่มีอยู่ในชุดการเรียน เพื่อค้นหานิยามของวงกลมและทำแบบฝึกหัดที่ 1 เมื่อทำแบบฝึกหัด
เสร็จแล้ว ครูจึงเฉลยแบบฝึกหัดพร้อมกันทั้งห้อง
3. ให้นักเรียนใช้โปรแกรม GSP ทำกิจกรรมการเรียนรู้ที่ 2 เพื่อสำรวจวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง
อยู่ที่จุด (h , k) แล้วทำการสรุป และทำแบบฝึกหัดที่ 2 เมื่อทำแบบฝึกหัดเสร็จแล้ว ครูจึงเฉลย
แบบฝึกหัดพร้อมกันทั้งห้อง ทั้งนี้ในระหว่างที่นักเรียนทำกิจกรรม ถ้าหากเกิดปัญหาในการเรียนก็
สามารถที่จะซักถามครูหรือเพื่อน ๆ ได้
4. หลังจากนั้นให้นักเรียนทุกคนทำแบบทดสอบท้ายชุดการเรียนคณิตศาสตร์แบบสืบสวน
สอบสวน ชุดที่ 2 โดยให้เวลาในการทำประมาณ 20 นาที เพื่อเป็นคะแนนเก็บระหว่างเรียนของนักเรียน
แต่ละคน
จุดประสงค์การเรียนรู้
เมื่อนักเรียนศึกษาชุดการเรียนคณิตศาสตร์แบบสืบสวนสอบสวน โดยใช้โปรแกรม GSP
ชุดที่ 2 แล้ว นักเรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายของวงกลมได้
2. บอกส่วนต่าง ๆ ของวงกลมเมื่อกำหนดความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นวงกลมได้
3. เขียนความสัมพันธ์และกราฟวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) จากสมบัติ
ที่กำหนดได้
4. เขียนความสัมพันธ์และกราฟวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h,k) จากสมบัติ
ที่กำหนดได้
เวลาที่ใช้ 4 คาบ
สื่อการเรียนรู้
1. โปรแกรม GSP (Geometer’s Sketchpad)
2. ชุดการเรียนคณิตศาสตร์แบบสืบสวนสอบสวน โดยใช้โปรแกรม GSP ชุดที่ 2
การประเมินผลการเรียนรู้
ให้นักเรียนแต่ละคนทำแบบทดสอบท้ายชุดการเรียนแบบสืบสวนสอบสวน โดยใช้
โปรแกรม GSP ชุดที่ 2 ด้วยตนเอง เพื่อประเมินความรู้ที่ได้เรียนมา
กิจกรรมการเรียนรู้ โดยใช้โปรแกรม GSP
1. จากกล่องเครื่องมือ GSP ทางด้านซ้ายมือ ให้นักเรียนเลือกเครื่องมือในการสร้างรูป
วงกลม แล้วสร้างรูปวงกลม 1 รูปขนาดพอสมควร ดังรูปที่ 1
เครื่องมือสร้างรูปวงกลม
รูปที่ 1
2. ให้นักเรียนลงจุดอิสระไว้ที่เส้นรอบวงหนึ่งจุด หลังจากนั้นให้ซ่อนเส้นรอบวงและจุด
ควบคุมรัศมี โดยคลิกเลือกที่เส้นรอบวงและจุดควบคุมรัศมี แล้วไปที่เมนูเลือก แสดงผล
ซ่อนอ็อบเจกต์ จนเหลือแต่จุดศูนย์กลางและจุดอิสระ ดังรูปที่ 2
จุดอิสระ
ซ่อน จุดอิสระ
จุดควบคุมรัศมี จุดศูนย์กลาง
รูปที่ 2
3. ให้นักเรียนสร้างปุ่มเพื่อเคลื่อนที่จุดอิสระ โดยคลิกเลือกจุดอิสระจากรูปที่ 2 แล้วไปที่
เมนูเลือก แก้ไข ปุ่มแสดงการทำงาน การเคลื่อนไหว ก็จะได้ปุ่มสำหรับ
เคลื่อนที่จุดอิสระ และให้นักเรียนสร้างรอยทางเดินของจุดอิสระด้วย โดยคลิกเลือกจุดอิสระนั้นแล้ว
ไปที่ แสดงผล สร้างรอยจุด
กิจกรรมการเรียนรู้ที่ 1
นิยามของวงกลม
4. ให้สังเกตลักษณะรอยทางเดินของจุดอิสระเหล่านั้นว่ามีลักษณะเป็นรูปอะไร จากนั้นให้
สร้างส่วนของเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางกับจุดอิสระ พร้อมทั้งวัดความยาวส่วนของ
เส้นตรงในขณะที่จุดอิสระกำ ลังเคลื่อนที่ โดยคลิกเลือกส่วนของเส้นตรงแล้วไปที่
วัด ความยาว ซึ่งวัดได้ยาว . . . . . . . . หน่วย
5. ให้นักเรียนปฏิบัติตามข้อที่ 1 – 4 เพื่อสร้างจุดศูนย์กลาง รอยทางเดินของจุดอิสระ
ใหม่โดยไม่ซ้ำรอยเดิม และสร้างส่วนของเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางและจุดอิสระ พร้อมทั้ง
วัดความยาวส่วนของเส้นตรงในขณะที่จุดอิสระกำลังเคลื่อนที่ ซึ่งวัดได้ยาว . . . . . . . . หน่วย
6. ให้นักเรียนเพิ่มหน้าใหม่โดยไปที่เมนูเลือก แฟ้ม ตัวเลือกเอกสาร
เพิ่มหน้า หน้าว่าง หลังจากนั้นให้สร้างระบบพิกัด (โดยเลือกเป็นกริดจัตุรัส) ดังรูปที่ 3
รูปที่ 3 ระบบพิกัด (กริดจัตุรัส)
7. จากระบบพิกัดที่นักเรียนสร้าง ให้นักเรียนเลือกเครื่องมือในการสร้างรูปวงกลม แล้ว
สร้างรูปวงกลม 1 รูปขนาดพอสมควร โดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) แล้วลงจุดอิสระ ซ่อนเส้น
รอบวงและจุดควบคุมรัศมี แล้วสร้างปุ่มเคลื่อนที่จุดอิสระเหมือนกับข้อ 1 – 4 ดังรูปที่ 4
รูปที่ 4
8. สร้างส่วนของเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุด (0,0) กับจุดอิสระ พร้อมทั้งวัดความยาวส่วน
ของเส้นตรง แล้วให้นักเรียนกดปุ่มการเคลื่อนไหว จุด เพื่อตรวจสอบความยาวส่วนของเส้นตรง ณ
ตำแหน่งต่าง ๆ กันของจุดอิสระ ว่าความยาวส่วนของเส้นตรงนั้นเป็นอย่างไร
วงกลม (Circle)
บทนิยาม วงกลม คือ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ซึ่งจุดคงที่ เรียกว่า จุดศูนย์กลางของวงกลม
ระยะทางที่เท่ากัน เรียกว่า ความยาวของรัศมีของวงกลม
ในกรณีที่ C(0,0) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมียาว r หน่วย ให้ P(x,y) เป็นจุดใดๆ
บนวงกลม ดังรูป
Y
P(x,y)
C(0,0) X
จากบทนิยาม จะได้ CP = . . . . . .
เนื่องจาก CP = (x − ....)2 + ( y − ....)2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
นั่นคือ ความสัมพันธ์ที่มีกราฟวงกลมจุดศูนย์กลาง (0,0) รัศมี r หน่วย คือ
{ (x,y) ∈ RxR | . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}
X
ตัวอย่างที่ 1 จงหาความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นวงกลมที่มี (0,0) เป็นจุดศูนย์กลางและรัศมี
ยาว 2 หน่วย
วิธีทำ สมการวงกลมที่มี (0,0) เป็นจุดศูนย์กลางและรัศมียาว r หน่วย คือ x2 + y2 = r2
เมื่อกำหนดให้ r = 2
สมการของวงกลมที่ต้องการ คือ x2 + y2 = 22
ดังนั้น ความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นวงกลมจุที่มี (0,0) เป็นจุดศูนย์กลาง
และรัศมียาว 2 หนว่ ย คือ { (x,y) ∈ RxR | x2 + y 2 = 4 }
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
(1) { (x,y) | x2 + y2 – 36 = 0 }
(2) { (x,y) | 4x2 + 4y2 = 25 }
วิธีทำ (1) x2 + y2 – 36 = 0
x2 + y2 = 36
x2 + y2 = 62
แสดงว่ากราฟเป็นวงกลมที่มี (0,0) เป็นจุดศูนย์กลางและรัศมียาว 6 หน่วย
Y
X
Y
(2) 4x2 + 4y2 = 25
4(x2 + y2) = 25
x2 + y2 = 4
25
x2 + y2 =
2
2
5
⎟⎠

⎜⎝

แสดงว่ากราฟเป็นวงกลมที่มี (0,0) เป็นจุดศูนย์กลาง
และรัศมียาว 2
5 หน่วย
1. จากความสัมพันธ์ที่กำหนดให้ ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลม จงหาความยาวของรัศมี
พร้อมทั้งเขียนกราฟ โดยใช้โปรแกรม GSP
1) { (x,y) ∈ RxR | x2 + y2 = 16 }
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) { (x,y) ∈ RxR | x2 + y2 – 25 = 0 }
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) { (x,y) ∈ RxR | 9x2 + 9y2 = 36 }
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. จงหาสมการวงกลม ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) และมีสมบัติดังต่อไปนี้
1) รัศมียาว 3 หน่วย
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
แบบฝึกหัดที่ 1
2) เส้นผ่านศูนย์กลางยาว 20 หน่วย
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) ผ่านจุด (5,-12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4) ตัดแกน X ที่จุด (-6,0)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5) ตัดแกน Y ที่จุด (0,3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
กิจกรรมการเรียนรู้ โดยใช้โปรแกรม GSP
1. ให้นักเรียนใช้โปรแกรม GSP สร้างกราฟวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0)
ขึ้นมา 1 รูป โดยเลือกเมนู กราฟ วาดกราฟของฟังก์ชันใหม่ แล้วพิมพ์สมการ เช่น
y = ± 16 − x2 จะได้กราฟวงกลม ดังรูปที่ 1
(หมายเหตุ : นักเรียนต้องจำไว้ว่าโปรแกรม GSP จะวาดกราฟของฟังก์ชันเท่านั้น เช่น ถ้า
ต้องการกราฟวงกลมจากสมการ x2 + y 2 = 16 นักเรียนจะต้องจัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูป
ของฟังก์ชัน คือ y = ± 16 − x2 ซี่งก็คือ f (x) = ± 16 − x2 นั่นเอง )
รูปที่ 1
2. ให้นักเรียนเลื่อนกราฟวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) ที่นักเรียนสร้างขึ้น ไปไว้ที่
จุด (h,k) แล้วปฏิบัติตามขั้นตอนต่อไปนี้
2.1 ให้คลิกเลือกจุดศูนย์กลาง (0,0) แกน X แกน Y และกราฟวงกลมที่สร้างไว้ แล้วทำ
การคัดลอกและวางไว้ในหน้าเดียวกัน จากนั้นให้ซ่อนกราฟวงกลมรูปเดิม ก็จะได้ดังรูปที่ 2
กิจกรรมการเรียนรู้ที่ 2
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h , k)
รูปที่ 2
2.2 ให้นักเรียนสแนพจุด โดยเลือกเมนูแล้วไปที่ กราฟ สแนพจุด จากนั้นให้ลงจุด
อิสระ (h,k) ไว้ที่พิกัดใด ๆ ก็ได้ 1 จุด พร้อมทั้งตั้งชื่อ เช่น จุด A แล้วสร้างปุ่มการเคลื่อนที่เพื่อเลื่อน
จุดศูนย์กลางของวงกลมไปหาจุด A และสร้างปุ่มการเคลื่อนที่เพื่อเลื่อนจุดศูนย์กลางไปหาจุด
กำเนิด (0,0) ด้วย ดังรูปที่ 3
รูปที่ 3
3. ให้นักเรียนเลื่อนจุด A ไปไว้ที่พิกัดต่าง ๆ แล้วกดปุ่มเลื่อนจุดศูนย์กลางของกราฟ
วงกลมไปหาจุด A พร้อมทั้งสังเกตพิกัดของจุดศูนย์กลางของกราฟวงกลมที่เปลี่ยนไปตามจุด A
เช่น
– พิกัดของจุด A คือ . . . . . . . . . จะได้จุดศูนย์กลางของกราฟวงกลม คือ . . . . . . . . .
– พิกัดของจุด A คือ . . . . . . . . . จะได้จุดศูนย์กลางของกราฟวงกลม คือ . . . . . . . . .
– พิกัดของจุด A คือ . . . . . . . . . จะได้จุดศูนย์กลางของกราฟวงกลม คือ . . . . . . . . .
4. จากวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) แล้วเลื่อนจุดศูนย์กลางของวงกลมไปหา
จุด A ซึ่งเป็นการเลื่อนขนานของแกนให้จุดศูนย์กลางไปอยู่ที่ (h,k) ดังนั้น สมการวงกลมเมื่อเทียบ
กับแกนใหม่ คือ (x′)2 + (y′)2 = r 2 แต่จากการเลื่อนขนานของแกน นักเรียนทราบมาแล้วว่า
x′ = ……… และ y′ = ……….. ดังนั้น จะได้สมการวงกลมเทียบกับแกนเดิม คือ
(............)2 + (............)2 = r 2
5. ให้นักเรียนสร้างหน้าเอกสารใหม่ แล้วสร้างกราฟของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (h,k)
ตามขั้นตอนต่อไปนี้
5.1 สร้างระบบพิกัดเป็นกริดแบบจัตุรัส แล้วไปที่ กราฟ พารามิเตอร์ใหม่ ตั้งชื่อ
เป็น h และค่าเท่ากับ 0 ดังรูปที่ 4 โดยให้นักเรียนใช้คำสั่งพารามิเตอร์ใหม่นี้สร้างค่าของ k และ r
ด้วย ตามลำดับ
5.2 ให้นักเรียนใช้คำสั่ง วาดกราฟของฟังก์ชันใหม่ เพื่อเขียนกราฟวงกลมที่มี
จุดศูนย์กลางที่จุด (h,k) โดยนักเรียนจะต้องพิมพ์สมการเป็น y = ± r 2 −(x − h)2 + k ซึ่งได้มา
จากการจัดรูปของสมการวงกลม (x − h)2 + ( y − k)2 = r 2 เมื่อนักเรียนจัดสมการใหม่ได้แล้วให้
สร้างสมการในคำสั่งวาดกราฟของฟังก์ชันใหม่ โดยแทนค่าของ h , k และ r ด้วยค่าพารามิเตอร์ที่
ได้สร้างไว้ก็จะได้กราฟวงกลมตามต้องการ ดังรูปที่ 5
รูปที่ 5
5.3 ให้นักเรียนคลิกเลือกค่าพารามิเตอร์ h , k หรือ r ค่าใดค่าหนึ่งหรือจะเลือกพร้อมกัน
ก็ได้ แล้วกดปุ่ม + หรือ – เพื่อเพิ่มหรือลดค่าของพารามิเตอร์ ซึ่งการกระทำดังกล่าวจะทำให้จุด
ศูนย์กลางของกราฟเปลี่ยนไป (เมื่อค่าของ h หรือ k เปลี่ยน) และให้นักเรียนสังเกตขนาดของรูป
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (h,k) เมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) ว่าขึ้นอยู่กับค่า
ของพารามิเตอร์ใด
รูปที่ 4
วงกลมที่มีจุด (h,k) เป็นจุดศูนย์กลาง
ในกรณีที่ C(h,k) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมียาว r หน่วย ดังรูป
Y ′
Y
P(x,y) จากสมการวงกลมจุดศูนย์กลาง (0,0)
r รัศมี r หน่วย
° C(h,k) X ′ คือ x2 + y2 = r 2
เลื่อนแกนไปที่ (h,k)
X จะได้สมการวงกลมเทียบแกนใหม่ คือ
……………… = r2
แต่ x′ = ………… และ y′ = ………….
ดังนั้นสมการวงกลมนี้เทียบกับแกนเดิม คือ
...................................... = r 2
ดังนั้น ความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นวงกลม มีจุดศูนย์กลางที่ (h,k) รัศมี r หน่วย
คือ { (x,y) ∈ RxR | ................................... = r 2 }
ตัวอย่างที่ 1 จงหาจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีของวงกลม พร้อมเขียนกราฟของสมการ
x2 + y2 −12x − 8y + 44 = 0
วิธีทำ (x2 −12x)+ (y2 − 8y)= −44
(x2 −12x + 36)+ (y2 − 8y +16)= −44 + 36 +16
(x − 6)2 + (y − 4)2 = 8
(x − 6)2 +(y − 4)2 = ( 8)2
ดังนั้น จุดศูนย์กลาง คือ (6,4) และรัศมียาว 8 หน่วย
ตัวอย่างที่ 2 จงหาความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นวงกลมตามสมบัติแต่ละข้อต่อไปนี้
1) มี (-1,2) เป็นจุดศูนย์กลางและรัศมียาว 3 หน่วย
2) จุดปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง คือ (-1,3) และ (5,7)
วิธีทำ 1) สมการของวงกลมนี้ คือ (x +1)2 + ( y − 2)2 = 9
x2 + 2x +1+ y2 − 4y + 4 − 9 = 0
x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0
ดังนั้น ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่ต้องการ คือ
{ (x,y) ∈ RxR | x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0}
2) จุดศูนย์กลางเป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง (-1,3) และ (5,7)
ดังนั้น พิกัดของจุดศูนย์กลาง คือ ⎟⎠

⎜⎝
⎛ − + +
2
, 3 7
2
1 5 = (2,5)
ความยาวของรัศมี = 2
1 ของระยะห่างระหว่างจุด (-1,3) และ (5,7)
= 2
1 (−1− 5)2 + (3 − 7)2
= 2
1 36 + 16 = 2
52
ดังนั้น สมการของวงกลม คือ 4
(x − 2)2 + (y − 5)2 = 52
หรือ ความสัมพันธ์ คือ{ (x,y) ∈ RxR | x2 + y2 − 4x − 10y + 16 = 0}
1. จากความสัมพันธ์ที่กำหนดให้ ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลม จงหาจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมี
พร้อมทั้งเขียนกราฟโดยใช้โปรแกรม GSP
1) { (x,y) ∈ RxR | x2 + y2 – 4x + 2y = 0 }
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) { (x,y) ∈ RxR | x2 + y2 + 6x - 4y + 13 = 0 }
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) { (x,y) ∈ RxR | 2x2 + 2y2 – 5x + 3y + 2 = 0 }
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4) { (x,y) ∈ RxR | 4x2 + 4(y + 2)2 = 25 }
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
แบบฝึกหัดที่ 2
2. จงหาสมการวงกลม ที่มีสมบัติดังต่อไปนี้
1) มี (-2,3) เป็นจุดศูนย์กลางและรัศมียาว 4 หน่วย
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) มี (-1,4) และ (9,10) เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลาง
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) มี (1,2) เป็นจุดศูนย์กลางและผ่านจุด (-3,2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4) มี (-3,0) เป็นจุดศูนย์กลางและสัมผัสเส้นตรง 3x – 4y – 1 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. จงเขียนความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมเมื่อกำหนด
1) จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) และรัศมียาว 4 หน่วย
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (-4,2) และรัศมียาว 3 หน่วย
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (-1,-2) และรัศมียาว 2 หน่วย
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. จงหาจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีของวงกลมที่มีสมการต่อไปนี้
1) x 2 + y2 = 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) x 2 + y2 + 2x −15 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) x2 + y2 + 8x + 6y − 24 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
แบบทดสอบท้ายชุดการเรียนที่ 2
3. จงหาสมการวงกลม ที่มีสมบัติดังต่อไปนี้
1) จุด (3,1) และ (-1,5) เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลาง
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (2,3) และสัมผัสกับแกน Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (-2,-3) และสัมผัสกราฟของ x = 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4) จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) และสัมผัสกราฟของ 2y – 7 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

บันทึกนี้เขียนที่ GotoKnow โดย  ใน GSP โปรแกรมคณิตศาสตร์ที่ต้องเรียนรู้



ความเห็น (0)