คณิตศาตร์แนวใหม่

เทคนิคคณิตศาสตร์

 

เทคนิคในการคำนวณหาวิธีการเล่นเป่ายิงฉุบให้ชนะจะทำได้อย่างไร

เด็ก ๆ แทบทุกคนรู้จักการเล่นชนิดหนึ่ง คือ เมื่อแบมือจะหมายถึง กระดาษ ชูเฉพาะนิ้วชี้และนิ้วกลางจะหมายถึงกรรไกร และถ้ากำมือจะ หมายถึงค้อน เมื่อให้สัญญาณแล้วทั้ง 2 ฝ่ายก็จะแสดงท่าพร้อม ๆ กันโดยมี เงื่อนไขว่า

กระดาษ ชนะ ค้อน แพ้ กรรไกร

กรรไกร ชนะ กระดาษ แพ้ ค้อน

ค้อน ชนะ กรรไกร แพ้ กระดาษ

ถ้าออกท่าเดียวกันถือว่าเสมอ

ในที่นี้จะแสดงการหาความน่าจะเป็น หรือโอกาสที่ผู้เล่นควรออกท่าใด จึงจะดีที่สุด

ขั้นที่ 1

เพื่อความสะดวกในการคำนวณ ให้ 1 แทนการชนะ -1 แทนแพ้ และ 0 แทนการเสมอกัน สมมุติดำและแดงเล่นเกมนี้ จะได้ตารางแสดงผล การออกท่าต่าง ๆ เมื่อคิดทางฝ่ายดำ คือ

		แดง
		กรรไกร	กระดาษ	ค้อน
ดำ	กรรไกร	0	1	-1
	กระดาษ	-1	0	1
	ค้อน	1	-1	0

ทั้งนี้เพราะถ้าดำออกกรรไกร แดงออกกรรไกรก็จะเสมอ ผลจึงเป็น 0 สำหรับดำและแดง

ถ้าดำออกกรรไกร แดงออกกระดาษ กรรไกรจะชนะกระดาษ ผลจึงเป็น 1 สำหรับ ดำ

ถ้าดำออกกรรไกร แดงออกค้อน กรรไกรจะแพ้ค้อน ผลจึงเป็น - 1 สำหรับดำ

ทำนองเดียวกัน สำหรับการออกท่าอื่น ๆ ของดำ

ขั้นที่ 2

หาค่าความแตกต่างระหว่างแถว โดยที่ต่างฝ่ายต่างไม่ทราบว่าอีก ฝ่ายจะออกท่าใด จึงควรพิจารณาจากความแตกต่างของผลที่อาจเกิดขึ้น ของอีกฝ่ายหนึ่ง เช่น แดงควรคำนึงถึงผลต่างในการออกท่าของดำตาม แถว ดังนี้

		แดง
		กรรไกร	กระดาษ	ค้อน
ดำ	กรรไกร-กระดาษ	1	1	-2
	กระดาษ-ค้อน	-2	1	1

 

ขั้นที่ 3

หาสัดส่วนที่แดงควรออกท่าแต่ละท่า เมื่อจะหาน้ำหนักที่ควรออกท่าใด ให้ปิดเท่านั้น แล้วหาค่าของการคูณทแยงตัวเลขที่เหลือ เช่น สัดส่วนที่ แดงควรออกท่ากรรไกร คำนวณได้จากตัวเลขในช่องกระดาษและค้อน

"ค่าของการคูณทแยง" คำนวณได้จากการคูณตัวเลขตามลูกศรลง แล้วลบด้วยผลคูณของตัวเลขในแนวลูกศรขึ้น จะได้ (1 x 1) - 1 x ( - 2 ) = 1 + 2 = 3

ทำนองเดียวกัน หาน้ำหนักหรือสัดส่วนของการที่แดงจะออกกระดาษ ได้จากการปิดช่องกระดาษแล้วหาค่าของการคูณทแยงตัวเลขในช่องที่เหลือ จากช่องกระดาษ คือ ตัวเลขที่อยู่ในช่องกรรไกรและค้อน (...)

จะได้ (1 x 1) - (-2) x (-2) = 1 - 4 -3

สำหรับน้ำหนักของการที่แดงจะออกค้อน คือ ค่าที่ได้จากการคูณ ทแยงตัวเลขที่ไม่อยู่ในช่องค้อนซึ่งได้แก่ (...)

จะได้ (1 x 1) - (-2 x 1) = 1 + 2 = 3

ผลที่ได้จากการคูณทแยงทั้งสาม โดยไม่คิดเครื่องหมาย คือ สัดส่วน ที่แดงควรออกท่ากรรไกร กระดาษ และค้อน ซึ่งได้แก่ 3 : 3 : 3 หรือ 1: 1 : 1 แสดงว่าแดงควรออกท่าใดก็ได้ด้วยโอกาสเท่า ๆ กัน คือ 1/3 จะทำให้ค่าเฉลี่ยของผลที่แดงจะเสียให้ดำ ไม่ว่าดำจะออกท่าใดก็ตาม เหมือนกันหมดคือ 0 โดยคำนวณได้ดังนี้

ถ้าดำออกกรรไกร และแดงออกกรรไกร หรือกระดาษ หรือค้อน ด้วยโอกาสเท่า ๆ กัน ค่าเฉลี่ยของผลที่แดงจะเสียให้ดำ คือ

(1/3 x 0) + (1/3 x 1) + 1/3 x (-1) = 0

ถ้าดำออกกระดาษ ค่าเฉลี่ยดังกล่าว คือ

1/3 x (-1) + (1/3 x 0) + (1/3 x 1) = 0

ทำนองเดียวกันถ้าดำออกค้อน ค่าเฉลี่ยที่แดงจะเสียให้ดำ คือ

(1/3 x 1) + 1/3 x (-1) + (1/3 x 0) = 0

เมื่อพิจารณาทางฝ่ายของดำ ไม่ว่าดำจะออกเท่าใด เขาจะต้อง เปรียบเทียบผลที่ควรได้จากท่าทีแดงออก นั่นคือ ผลต่างในลำดับเดียวกัน ของค่าในช่องกรรไกรกับกระดาษ และช่องกระดาษกับค้อน ดังนี้

		แดง
ดำ	กรรไกร	-1	2
	กระดาษ	-1	-1
	ค้อน	2	-1

เช่นเดียวกับที่คำนวณมาแล้ว ทางฝ่ายแดงจะได้สัดส่วนของดำที่จะ ออกท่ากรรไกร โดยการคำนวณจากผลคูณทแยงของค่าที่ไม่อยู่ในแถว กรรไกร คือ (...)

จะได้ (-1) x (-1) - (-2) x (-1) = 1 + 2 = 3

สัดส่วนของดำที่จะออกท่ากระดาษ คำนวณได้จากผลคูณทแยงของตัว เลขที่ไม่อยู่ในแถวกระดาษ คือ (...)

จะได้ (-1) x (-1) - (2 x 2) = 1 - 4 = -3

สัดส่วนของดำที่จะออกท่าค้อน คำนวณได้จากผลคูณทแยงของตัวเลขที่ ไม่อยู่ในแถวค้อน (...)

จะได้ (-1) x (-1) - (-1) x 2 = 1 + 2 = 3

ฉะนั้นสัดส่วนที่ดำควรออกท่ากรรไกร : กระดาษ : ค้อน คือ 3 : 3 : 3 หรือ 1 : 1 : 1 ไม่ว่าแดงจะออกท่าใดก็ตาม จะทำให้ค่า เฉลี่ยที่ดำจะได้จากเกมนี้เท่ากันหมด คือ 0

ทั้งนี้เพราะถ้าแดงออกท่ากรรไกร ไม่ว่าดำจะออกกรรไกร หรือกระ ดาษหรือค้อน ด้วยโอกาสเท่า ๆ กันคือ 1/3 โดยเฉลี่ยแล้วผลที่ดำจะได้รับ คือ

(1/3 x 0) + 1/3 x (-1) + (1/3 x 1) = 0

ถ้าแดงออกท่ากระดาษไม่ว่าดำจะออกท่าใด โดยเฉลี่ยแล้วผลที่ดำจะ ได้รับ คือ

(1/3 x 1) + (1/3x 0) + 1/3 x (-1) = 0

ทำนองเดียวกันสำหรับการออกท่าค้อนของแดง โดยเฉลี่ยแล้วผลที่ดำ จะได้รับ คือ

1/3 x (-1) + (1/3 x 1) + (1/3 x 0) = 0

จากค่าเฉลี่ยของผลที่แต่ละฝ่ายจะได้รับ เมื่อเล่นด้วยความน่าจะเป็น เท่า ๆ กันคือ 1 ซึ่งหมายถึงการออกท่าใดก็ได้นั้น ทำให้เกมนี้เป็นเกมที่ ยุติธรรม เพราะไม่มีฝ่ายใดได้เปรียบ หรือเสียเปรียบ การที่ฝ่ายใดชนะ หรือหรือแพ้ขึ้นอยู่กับความบังเอิญอย่างเดียว