การหาค่า log
การหาค่า log
สวัสดีค่ะ..ดิฉันชื่อนางสาวศรีประภา
จันทอง นำเสนอเรื่อง....
การหาค่า log
ทั้งตารางตรีโกณและล็อก
ในปัจจุบันสามารถหามาจากได้หลากหลายวิธี แต่ไม่ว่าวิธีใดก็ตาม
ล้วนแล้วแต่ต้องอาศัยอนุกรม (series)
ซึ่งเป็นการประมาณค่าตามความละเอียดเท่าที่ต้องการ
ตาราง Log มาได้อย่างไร : นี่เป็นแนวทางหนึ่งนะครับ. จาก ท.บ.ไบโนเมียล เมื่อพิจารณาการกระจายของ (1 + 1/n)nx แล้วแทน x = 1 และ เมื่อใช้ ท.บ.เลขยกกำลังกับ Take limit n ฎ ฅ เราก็จะได้อนุกรม
1 + x + x2/2! + x3/3! + ... = (1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... )x
จากนั้นเมื่อเรากำหนดให้ e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... เราจะได้สูตรของ ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ...
แล้วแทน x ด้วย cx ลงไปอีกทีก็จะได้ ecx = 1 + (cx) + (cx)2/2! + (cx)3/3! + ...
จากนั้นให้ ec = a หรือ c = logea (ซึ่งเราเรียกกันภายหลังว่า c = ln a นั่นเอง) แทนลงไปจะได้
ax = 1 + xlogea + (xlogea)2/2! + ... อันนี้เราเรียกว่า Exponential Theorem
จากนั้นเมื่อเราต้องการหาค่าการกระจายของ loge(1 + x) เราก็จะประยุกต์ Exponential Theorem โดยการเขียนใหม่เป็น ay = 1 + ylogea + (ylogea)2/2! + ... จากนั้นแทน a ด้วย x + 1 ลงไปก็จะได้ว่า
(1 + x)y = 1 + yloge(1 + x) + (yloge(1 + x))2/2! + ... ... (1)
ในขณะเดียวกันค่าของ (1 + x)y โดย Binomial Theorem เมื่อ x < 1 กระจายออกมาจะได้ว่า
(1 + x)y = 1 + yx + [y(y - 1)/2!]x2 + ... ...(2)
จากนั้นเทียบ ส.ป.ส.ของ y จาก (1) และ (2) ก็จะได้ว่า
loge(1 + x) = x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + ... .ซึ่งเป็นที่รู้กันดีว่าคือ logarithmic series
จากนั้นสมมติให้ x = 1/n ก็จะได้ว่า
loge(n + 1) - logen = 1/n - 1/(2n2) + 1/(3n3) - ... ... (3)
ทำนองเดียวกันแทน x = -1/n ก็จะได้ว่า
loge(n) - loge(n - 1) = 1/n + 1/(2n2) + 1/(3n3) + ... ... (4)
จับ (3) + (4) : loge(n + 1) - loge(n - 1) = 2(1/n + 1/(3n3) + 1/(5n5) + .... ... (*)
ซึ่งเป็นอนุกรมที่คอนเวอร์จเร็วมาก (และเป็นตัวเดียวกับ Cor. ที่พี่เขียนไว้ใน โจทย์แคลคูลัส Revisite โดยใช้อีกวิธี แต่พิมพ์ผิดนิดหน่อย)
อนุกรม (*) นี่ล่ะที่ไปใช้สร้างตาราง logarithm
ส่วนตารางตรีโกณ ก็มาจากอนุกรมตรีโกณ ที่รู้กันทั่วไปคือ
sin x = x - x3/3! + x5/5! - ...
cos x = 1 - x2/2! + x4/4! - ...
เมื่อ x ในที่นี้เป็นจำนวนจริงใด ๆ
ตาราง Log มาได้อย่างไร : นี่เป็นแนวทางหนึ่งนะครับ. จาก ท.บ.ไบโนเมียล เมื่อพิจารณาการกระจายของ (1 + 1/n)nx แล้วแทน x = 1 และ เมื่อใช้ ท.บ.เลขยกกำลังกับ Take limit n ฎ ฅ เราก็จะได้อนุกรม
1 + x + x2/2! + x3/3! + ... = (1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... )x
จากนั้นเมื่อเรากำหนดให้ e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... เราจะได้สูตรของ ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ...
แล้วแทน x ด้วย cx ลงไปอีกทีก็จะได้ ecx = 1 + (cx) + (cx)2/2! + (cx)3/3! + ...
จากนั้นให้ ec = a หรือ c = logea (ซึ่งเราเรียกกันภายหลังว่า c = ln a นั่นเอง) แทนลงไปจะได้
ax = 1 + xlogea + (xlogea)2/2! + ... อันนี้เราเรียกว่า Exponential Theorem
จากนั้นเมื่อเราต้องการหาค่าการกระจายของ loge(1 + x) เราก็จะประยุกต์ Exponential Theorem โดยการเขียนใหม่เป็น ay = 1 + ylogea + (ylogea)2/2! + ... จากนั้นแทน a ด้วย x + 1 ลงไปก็จะได้ว่า
(1 + x)y = 1 + yloge(1 + x) + (yloge(1 + x))2/2! + ... ... (1)
ในขณะเดียวกันค่าของ (1 + x)y โดย Binomial Theorem เมื่อ x < 1 กระจายออกมาจะได้ว่า
(1 + x)y = 1 + yx + [y(y - 1)/2!]x2 + ... ...(2)
จากนั้นเทียบ ส.ป.ส.ของ y จาก (1) และ (2) ก็จะได้ว่า
loge(1 + x) = x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + ... .ซึ่งเป็นที่รู้กันดีว่าคือ logarithmic series
จากนั้นสมมติให้ x = 1/n ก็จะได้ว่า
loge(n + 1) - logen = 1/n - 1/(2n2) + 1/(3n3) - ... ... (3)
ทำนองเดียวกันแทน x = -1/n ก็จะได้ว่า
loge(n) - loge(n - 1) = 1/n + 1/(2n2) + 1/(3n3) + ... ... (4)
จับ (3) + (4) : loge(n + 1) - loge(n - 1) = 2(1/n + 1/(3n3) + 1/(5n5) + .... ... (*)
ซึ่งเป็นอนุกรมที่คอนเวอร์จเร็วมาก (และเป็นตัวเดียวกับ Cor. ที่พี่เขียนไว้ใน โจทย์แคลคูลัส Revisite โดยใช้อีกวิธี แต่พิมพ์ผิดนิดหน่อย)
อนุกรม (*) นี่ล่ะที่ไปใช้สร้างตาราง logarithm
ส่วนตารางตรีโกณ ก็มาจากอนุกรมตรีโกณ ที่รู้กันทั่วไปคือ
sin x = x - x3/3! + x5/5! - ...
cos x = 1 - x2/2! + x4/4! - ...
เมื่อ x ในที่นี้เป็นจำนวนจริงใด ๆ
__________________
ปัญหาคณิตศาสตร์ทุกอย่าง แก้ได้ที่นี่
(จะพยายามให้เต็มที่)
ปัญหาคณิตศาสตร์ทุกอย่าง แก้ได้ที่นี่
(จะพยายามให้เต็มที่)
คำสำคัญ (Tags): #การหาค่า log
หมายเลขบันทึก: 207134เขียนเมื่อ 9 กันยายน 2008 14:01 น. ()ความเห็น (2)
ข้อความของคุณดีมากเลยครับ...เพราะว่าผมกำลังศึกษาอยู่พอดีเลย
...ไมค์...
ขอบคุณครับ มีประโยชน์มาเลยครับ
ปล.แต่ว่าผู้เขียนเป็น ชายหรือ หญิงกันแน่น้า อิ อิ