งานคณิต สุวนันท์ หมิงจู

งาน 5 เรื่อง

เรื่องทฤษฏีเบื้องต้นของความน่าจะเป็น

 

1.การทดลองสุ่มคือ การทดลองซึ่งทราบว่า ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น อาจเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้ถูกต้องว่า ในแต่ละครั้งที่ทดลอง จะเกิดผลลัพธ์เป็นอะไร

2.แซมเปิลสเปซ คือ เซต ที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ ที่แนไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม

3.เหตุการณ์ คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซ เป็นสิ่งที่เราสนใจว่าเกิดอะไร

แซมเปิลสเปซ และØ เป็นเหตุการณ์

4.ยูเนียนและอินเตอร์เซกชั่นของเหตุการณ์  ตามลำดับ

5.เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

ถ้า  E₁∩E₂ = Ø  แล้วจะเรียก E₁ และ E₂ว่าเป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

เช่น E₁ เป็นเหตุการณ์ที่โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง แล้วได้แต้มคู่

E₂ เป็นเหตุการณ์ที่โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง แล้วได้แต้มคี่

7.ความน่าจะเป็น

ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ แซมเปิลสเปซ เป็ฯจำนวนเท่ากับ N และ จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E มีค่าเท่ากับ N โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน ความน่าจะเป็ฯของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) จะมีค่าเท่ากับ n⁄N  หรือ P(E)= n⁄N

เรื่องสถิติ

สถิติเบื้องต้น

ข้อมูลสถิติหรือข้อมูล  หมายถึง  ข้อเท็จจริงของเรื่องใดเรื่องหนึ่งที่เราสนใจจะศึกษา  ซึ่งอาจจะเป็นตัวเลขหรือข้อความก็ได้
- จำนวนคนที่เป็นโรคหัวใจในแต่ละเดือน
- ปริมาณการส่งออกข้าวของประเทศไทยในปีนี้เพิ่มขึ้นจากปีที่แล้ว

การจำแนกข้อมูล
1.  ข้อมูลที่จำแนกตามลักษณะของข้อมูล  แบ่งเป็น  2  ประเภท
1.1  ข้อมูลเชิงปริมาณ  คือข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขที่สามารถนำมาใช้เปรียบเทียบขนาดได้โดยตรง
1.2  ข้อมูลเชิงคุณภาพ  คือข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขโดยตรงได้  แต่วัดออกมาในเชิงคุณภาพได้  เช่น  เพศของสมาชิกในครอบครัว  ซึ่งการวิเคราะห์ข้อมูลประเภทนี้  ส่วนใหญ่ทำโดยการนับจำนวนจำแนกตามลักษณะเชิงคุณภาพ
2.  ข้อมูลจำแนกตามวิธีการเก็บรวบรวม
2.1  ข้อมูลปฐมภูมิ  คือ  ข้อมูลที่ได้จากการรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูลหรือแหล่งที่มาโดยตรง
2.1.1  การสำมะโน  คือ  การเก็บรวบรวมข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรที่ต้องการศึกษา
2.1.2  การสำรวจจากกลุ่มตัวอย่าง  คือ  การเก็บรวบรวมข้อมูลที่ประกอบด้วยตัวแทนจากทุกลักษณะของประชากรที่ต้องการศึกษา
   ในทางปฏิบัติ  ไม่ว่าจะทำการสำมะโนหรือการสำรวจ  นิยมปฏิบัติอยู่  5  วิธี  คือ
   1.  การสัมภาษณ์  นิยมใช้กันมาก  เพราะจะได้คำตอบทันที  นอกจากนี้หากผู้ตอบไม่เข้าใจก็สามารถอธิบายเพิ่มเติมได้  แต่ผู้สัมภาษณ์ต้องซื่อสัตย์  และเข้าใจจุดมุ่งหมายของการเก็บข้อมูลอย่างแท้จริง
   2.  การแจกแบบสอบถาม  วิธีนี้ประหยัดเวลาและค่าใช้จ่ายมาก  สะดวกและสบายใจต่อการตอบแบบสอบถาม  แต่ก็มีข้อเสียหลายประการ  เช่น  ต้องใช้ในเฉพาะผที่มีการศึกษา  มีไปรษณีย์ไปถึง  คำถามต้องชัดเจน  อาจจะไม่ได้รับคืนตามเวลาหรือจำนวนที่ต้องการ  จึงต้องส่งแบบสอบถามออกไปเป็นจำนวนมากๆ  หรือไปแจกและเก็บด้วยตนเอง
   3.การ สอบถามทางโทรศัพท์  เป็นวิธีที่ง่าย  เสียค่าใช้จ่ายน้อย  ต้องเป็นการสัมภาษณ์อย่างสั้นๆ  ตอบได้ทันทีโดยไม่ต้องเสียเวลาค้นหาหลักฐาน  ใช้ได้เฉพาะส่วนที่มีโทรศัพท์เท่านั้น
   4.  การสังเกต  เป็นข้อมูลที่ได้จากการสังเกตแล้วบันทึกสิ่งที่เราสนใจเอาไว้  ต้องใช้การสังเกตเป็นช่วงๆของเวลาอย่างต่อเนื่องกัน  ข้อมูลจะน่าเชื่อถือได้มากน้อยขึ้นอยู่กับความเข้าใจและความชำนาญของผู้ สังเกต  เช่น  ข้อมูลเกี่ยวกับการใช้บริการต่างๆ  เช่น  บริการรถโดยสาร  การบริการสหกรณ์  ความหนาแน่นของการใช้ถนนสายต่างๆ  เป็นต้น  วิธีนี้นิยมใช้ประกอบกับการเก็บข้อมูลวิธีอื่นๆ
   5.  การทดลอง  เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลที่มีการทดลอง  ซึ่งมักจะใช้เวลาในการทดลองนานๆ  ทำซ้ำๆ
2.2  ข้อมูลทุติยภูมิ  คือ  ข้อมูลที่ต้องเก็บรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูล  หรคือแหล่งที่มาโดยตรง  แต่ได้จากข้อมูลที่มีผู้อื่นเก็บรวบรวมไว้แล้ว
3.  วิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลทุติยภูมิ
  แหล่งที่มาของข้อมูลทุติยภูมิที่สำคัญมีอยู่  2  แหล่ง  คือ
1.  รายงานต่างๆของหน่วยราชการและองค์การของรัฐบาล เช่น  ทะเบียนประวัติบุคลากร  ประวัติคนไข้  ทะเบียนนักเรียนนักศึกษา  เป็นต้น
2.  รายงานและบทความจากหนังสือ  หรือรายงานจากหน่วยงานเอกชน  ซึ่งจะมีการพิมพ์เผยแพร่เฉพาะในส่วนของข้อมูลที่เผยแพร่ได้ในรูปของรายงาน ต่างๆ

การวัดค่ากลางของข้อมูล

การหาค่ากลางของข้อมูลที่เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมดเพื่อความสะดวกในการ สรุปเรื่องราวเกี่ยวกับข้อมูลนั้นๆ  จะช่วยทำให้เกิดการวิเคราะห์ข้อมูลถูกต้องดีขึ้น  การหาค่ากลางของข้อมูลมีวิธีหาหลายวิธี  แต่ละวิธีมีข้อดีและข้อเสีย  และมีความเหมาะสมในการนำไปใช้ไม่เหมือนกัน  ขึ้นอยู่กับลักษณะข้อมูลและวัตถุประสงค์ของผู้ใช้ข้อมูลนั้นๆ

ค่ากลางของข้อมูลที่สำคัญ  มี 3  ชนิด คือ

1.ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

2. มัธยฐาน

3. ฐานนิยม

2.  มัธยฐาน (Median)
   ใช้ สัญลักษณ์  Med  คือ  ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด  เมื่อได้เรียงข้อมูลตามลำดับ ไม่ว่าจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อย

การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
  หลักการคิด
  1) เรียงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อยก็ได้

2) ตำแหน่งมัธยฐาน  คือ  ตำแหน่งกึ่งกลางข้อมูล  ดังนั้นตำแหน่งของมัธยฐาน

เมื่อ N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

3) มัธยฐาน  คือ  ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด

3.  ฐานนิยม (Mode)

การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
 หลักการคิด     
 -  ให้ดูว่าข้อมูลใดในข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมด  มีการซ้ำกันมากที่สุด(ความถี่สูงสุด)  ข้อมูลนั้นเป็นฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น
  หมายเหตุ       
  -   ฐานอาจจะไม่มี  หรือ  มีมากกว่า 1 ค่าก็ได้

 

 

 

 

 

 

ตราส่วนตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ  คือ  อัตราส่วนของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

 

 

 

 

 

จากรูป  ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  โดยมี  AĈB = 90 องศา     ถ้าเราพิจารณาที่มุม  A

1.  ด้าน  AB  เรียกว่า  ด้านตรงข้ามมุมฉาก

2.  ด้าน  BC  เรียกว่า  ด้านตรงข้ามมุม A

3.  ด้าน  AC  เรียกว่า  ด้านประชิดมุม A

 

อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A

 

1.  sine ของมุม A                  เขียนแทนด้วย  sin A       

 

 

2.  cosine ของมุม A              เขียนแทนด้วย  cos A

 

 

 

4.  cotangent ของมุม A         เขียนแทนด้วย  cot A        =

5.  secant ของมุม A              เขียนแทนด้วย  sec A        =

 

6.  cosecant ของมุม A          เขียนแทนด้วย  cosec A 

 

 

ข้อสังเกต

1.  0 < sin A < 1     และ     cosec A > 1

2.  0 < cos A < 1     และ     sec A > 1

3.  sin ( A + B )  ¹  sin A + sin B

 

4.                      =                        ¹

 

5.  (sin A)(sin A)     =     (sin A)²     =     sin²A     ¹     sin A²

6.  sin A     =     cos ( 90 – A )

7.  cos A     =     sin ( 90 – A )

8.  tan A     =     cot ( 90 – A )

9.  sec A     =     cosec ( 90 – A )

 

อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม  30  ,  45  และ  60

 

Angles	30	45	60
Sin
Cos
Tan		1

 

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

นิยาม

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ  คือ  การเท่ากันของอัตราส่วนตรีโกณมิติที่ต่างกันและเป็นจริงสำหรับทุกๆค่าขององศา

เมื่อกำหนด  A  เป็นมุมแหลม

1.  sin A  x  cosec A              =          1

2.  cos A  x  sec A                  =          1

3.  tan A  x  cot A                  =          1

4.  cos A  x  tan A                  =          sin A

5.  cot A  x  sin A                   =          cos A

6.  sin²A  +  cos²A                 =          1

7.  sec²A  -  tan²A                  =          1

8.  cosec²A  -  cot²A              =          1

 

 

 

พาราโบลา

 

	จากรูปจะได้ความสัมพันธ์จุดแต่ละจุดอยู่ห่างจากเส้นตรง l และจุดที่กำหนดให้เป็นระยะทางเท่ากันคือ AM = MF BL = LF VK = KF DJ = JF EI = IF เมื่อเขียนจุดทั้งหมดในระนาบ จะได้กราฟที่เรียกว่า พาราโบลา

 

บทนิยาม : พาราโบลาคือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงที่เส้นหนึ่งบนระนาบและจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบนอกเส้นตรงคงที่นั้น เป็นระยะทางเท่ากับเสมอ

 

ส่วนประกอบของพาราโบลา - เส้นคงที่ เรียกว่า ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา - จุดคงที่ (F) เรียกว่า โฟกัสของพาราโบลา - แกนของพาราโบลา คือเส้นตรงที่ลากผ่านโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ - จุดยอด (V) คือจุดยอดที่พาราโบ-ลาตัดกับแกนของพาราโบลา - เลตัสเรกตัม (AB) คือส่วนของเส้น ตรงที่ผ่านโฟกัส และ มีจุดปลายทั้ง สองอยู่บนพาราโบลา และตั้งฉากกับ แกนของพาราโบลา - เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ เรียกว่า แกนของพาราโบลา

พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0,0)
สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด อยู่ที่ (0,0) แกนของพาราโบลา คือแกน x หรือ แกน y ซึ่งสามารถ แบ่งออกได้เป็น 4 ลักษณะ ดังนี้
ก. แกนของพาราโบลาคือแกน x และ โฟกัสอยู่ที่ (c,o) เมื่อ c > o
ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดขวา

 

ให้ P(x,y) เป็นจุดใดๆ บนพาราโบลา
PR = PQ
=
x² - 2cx + c² + y² = x² - 2cx + c²
y² = 4cx เมื่อ c > 0

ข. แกนของพาราโบลาคือแกน x และโฟกัสอยู่ที่ (c,0) เมื่อ c < 0
ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดซ้าย

 

ใช้วิธีการเดียวกับ ข้อ ก. จะได้สมการของพาราโบลา y² = 4cx เมื่อ c < 0
จากรูปที่ 2 เรียก AB ว่า เลตัสเรกตัมของพาราโบลา เราสามารถคำนวณหา AB ได้ ซึ่งก็คือ ความกว้างของ พาราโบลา ที่โฟกัส

สมมุติให้ พิกัดของ A คือ (x,c) ดังนั้น
x² = 4 c c
x² = 4 c²
ดังนั้น x = 2c (เพราะว่า x> 0)
แสดงว่า AF = 2c
เพราะฉะนั้น AB = 2 AF = 4c
นั้นคือ ความยาวของลาตัสเรกตัม = 4c = |4 c| หน่วย
โดยทั่วไป สำหรับพาราโบลา ในลักษณะอื่นๆ เราสามารถแสดงได้ว่า
ความยาวของลาตัสเรกตัม (L.S.) = |4 c| หน่วย

ค. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,2) เมื่อ c > 0
ไดเรกตริกซ์ คือเส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะหงาย

มีสมการ x² = 4cy เมื่อ c > 0

สมมุติให้ P(x,y) เป็นจุดๆบนพาราโบลา
จากนิยาม PF = PQ
=
x² + y² - 2cy + c² = y² + 2cy + c²
x² = 4cy เมื่อ c > 0

ง. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,c) เมื่อ c < 0
ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะคว่ำ

 

ด้วยวิธีเดียวกับข้อ ค. จะได้สมการพาราโบลา
x² = 4cy เมื่อ c < 0

 

 

สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ (0,0)

 

 

การหาสมการของพาราโบลาที่จุดยอดที่จุด (h,k) และมีแกนขนานกับ แกน x หรือแกน y
1. เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน x

 

รูปที่ 1 แสดงพาราโบลาเมื่อ c > 0

ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h,k)
โฟกัส อยู่ที่ (h + c,k)
ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง ที่ x = h - c
ย้ายแกน ให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k)
ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับโฟกัสเท่ากับ |c|หน่วย
ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ
(y')² = 4cx'
แต่ถ้าพิกัดของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิมคือ (x,y) จะได้ว่า
y' = y - k และ x' = x - h
ดังนั้น สมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ

(y - k)2 = 4c(x - h)

เมื่อ c > 0

 

รูปที่ 2 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0

ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับ ข้อ 1 สมการของพาราโบลาคือ

(y - k)2 = 4c(x - h)

เมื่อ c < 0

จากสมการ (y - k)² = 4c(x - h)
กระจายได้ y² - 2ky + k² = 4cx - 4ch
y² - 2ky + - 4cx + k² + 4ch = 0
เมื่อ A = -2k , B = -4c , C = k² + 4ch
จะได้ y² + Ay + Bx + C = 0

จะได้ สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับ แกน x จะได้ สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป

y2 + Ay + Bx + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0

 

 

2.เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y

 

รูป 3 แสดงพาราโบลา เมื่อ c > 0

ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h , k)
โฟกัสอยู่ที่ (h , k + c)
ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง y = k - c
ย้ายแกนให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k)
ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับ โฟกัสเท่ากับ ฝcฝหน่วย
ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ
(x')2 = 4cy'
แต่ถ้าพิกัด ของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิม คือ (x,y) จะได้ว่า
x' = x - h และ y' = y - k
ดังนั้นสมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ

(x - h)2 = 4c(y - k)

เมื่อ c > 0

 

รูป 4 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0

ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับข้อ 2 สมการของพาราโบลา คือ

(x - h)2 = 4c(y - k) เมื่อ c < 0

เมื่อ c < 0

จากสมการ (x - h)2 = 4c(y - k)
กระจายได้ x² - 2hx + h² = 4cy - 4ck
x² - 2hx - 4cy + h² + 4ck = 0
เมื่อ A = -2k , B = -4c , c = h²+ 4ck
จะได้ y² + Ay + Bx + C = 0 เมื่อ
ดังนั้น สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับแกน y จะได้สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป

y2 + Ay + Bx + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0

 

 

สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่ (h,k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ระบบจำนวนจริง

1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2

 2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้

ระบบจำนวนตรรกยะ

 จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม 

 2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

ระบบจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน

1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I ^- โดยที่
          I ^- = {..., -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I ^- เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ

2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)

3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I⁺ โดยที่
         I⁺ = {1, 2, 3, 4, ...}
เมื่อ I⁺ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

 จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่
                           N = I⁺ = {1, 2, 3, 4, ...}

ระบบจำนวนเชิงซ้อน

นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้

x² = -1  ∴ x = √-1 = i

จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i

  ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)