สับเซตและเพาเวอร์เซต

มาเริ่มเรียนสับเซตและเพาเวอร์เซตกันเถอะ

 

จุดประสงค์

1. สามารถหาสับเซต เพาเวอร์เซต และแสดงเซตโดยใช้แผนภาพได้

 1.2  สับเซต ( Subset ) 

นิยาม  เซต A เป็นสับเซต ของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ เซต A เป็นสมาชิกของเซต  B

                สัญลักษณ์             เซต A เป็นสับเซตของเซต B  แทนด้วย                          A Ì B

เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B  แทนด้วย                     A Ë B

หมายเหตุ              เซต A ไม่เป็นสับเซต ของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกอย่างน้อย 1 ตัวของ

เซต A ไม่เป็นสมาชิกของเซต B

                ตัวอย่างที่ 10 กำหนดให้

A = { 1 , 2 }

B = { 2 , 3 }

C  = { 1 , 2 , 3 }

D  = { 1 , 2 , 3 , 4 }

จงตรวจสอบดูว่า  เซตใดเป็นสับเซตของเซตใด

วิธีทำ             A Ë B  ,  A Ì C  ,  A Ì D

                       B Ë A  ,  B Ì C  ,  B Ì D

                       C Ë A  ,  C Ë B  ,  C Ì D

                       D Ë A  ,  D Ë B  ,  D Ë C

ตัวอย่างที่ 11        ให้  A = { 1 , 2 , 3 , 4 } , B = { 2 , 1 , 4 , 3 }

ตรวจสอบดูว่า

1.       เซต A เป็นสับเซตของเซต B หรือไม่

2.       เซต B เป็นสับเซตของเซต A หรือไม่

วิธีทำ      1. AÌ B  เพราะ  สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B

                2. B Ì A  เพราะ  สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A

หมายเหตุ             A = B ก็ต่อเมื่อ  A Ì B และ B Ì A

ตัวอย่างที่  12       กำหนดให้ A = { a , b , c }  จงหาสับเซตทั้งหมดของ A

                วิธีทำ      สับเซตทั้งหมดของ A ได้แก่

                                Æ , {a} , {b} ,{c} , {a,b} , {a ,c} , {b,c} , {a,b,c}

  

ตัวอย่างที่  13       กำหนดให้ B = { 1 , {2} }  จงหาสับเซตทั้งหมดของ B

                วิธีทำ      สับเซตทั้งหมดของ Bได้แก่

                                Æ , {1} , {{2}} , {1,{2}}

 

สมบัติของสับเซต

1)      AÌA            (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)

2)      A Ì U          (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)

3)      Æ ÌA         (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)

4)      ถ้า AÌÆ แล้ว A = Æ

5)      ถ้า A Ì  B และ B Ì C แล้ว A Ì C  (สมบัติการถ่ายทอด)

6)      A = B   ก็ต่อเมื่อ A Ì  B และ B Ì A

7)      ถ้า A  มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2ⁿ สับเซต

สับเซตแท้

นิยาม            A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ  AÌB และ A ¹ B

ตัวอย่างที่ 14  กำหนดให้ A = { a , b , c }  จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

                วิธีทำ      สับเซตแท้ของ A ได้แก่

                                Æ , {a} , {b} ,{c} , {a,b} , {a ,c} , {b,c}

                                มีจำนวนสมาชิกทั้งสิ้น  7 สับเซต

                หมายเหตุ  ถ้า A  มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตแท้ของเซตA จะมีทั้งสิ้น 2ⁿ –1 สับเซต

              ตัวอย่างที่  15  กำหนดให้  A = { Æ , a , b ,{c} , {d , e}} จงพิจารณาข้อต่อไปนี้ข้อใดถูกข้อใดผิด

1)      Æ Î A

2)      Æ Ì A

3)      {Æ} Ì A

4)      {a} Ì A

5)      จำนวนสับเซตทั้งหมดของ A มีทั้งสิ้น  32 ตัว

วิธีทำ      1. Æ Î A            ถูกต้อง  เพราะในเซต A  มีสมาชิก 5 ตัว และ เป็นสมาชิกตัวหนึ่ง

2.  Æ Ì A           ถูกต้อง  สมบัติของสับเซต  เซตว่าง เป็นสับเซตของทุกเซต

3.  {Æ} Ì A      ถูกต้อง เพราะ Æ เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของ  A

4.  {a} Ì A          ถูกต้อง เพราะ a  เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของ  A

5.       จำนวนสับเซตทั้งหมด =  32 เซต ถูกต้อง เพราะ A มีสมาชิก  5  ตัว( 2⁵ = 32 )

 

กิจกรรมที่ 1.2

  

 

คำชี้แจง     ให้นักเรียนใช้เวลาทำ 20 นาที แล้วอภิปรายร่วมกัน  และตรวจคำตอบ

1.       ข้อความต่อไปนี้ข้อใดถูก  และข้อใดผิด

..........................  1)  { 2 } Ì { 1 , 2 , 3 }

..........................  2)  5 Ì { 3 , 4 , 5 }

..........................  3)  Æ Ì { 0 }

..........................  4)  { 3 } Ì { 1 , 2 { 3 }}

..........................  5)  { a , b , c } Ì { a , b , c }

..........................  6)  {{ 5 }} Ì { 3 , 4 , { 5 }}

..........................  7)  Æ Ì { Æ }

..........................  8)  {{  }} Ì {  }

..........................  9)   A Ì { A }

..........................  10)  { 1 , 2 } เป็นสับเซตแท้ของ { 1 , 2 , 3 }

 

2.  ให้ A = { a,b,c }             B = { b,c,d }         C = { a,b,c,d }      D = { b,c,d,e }

      จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ถูก หรือ ผิด เพราะเหตุใด

1) AÌB =......................................................................................................................................

2) BÌC =......................................................................................................................................

3) BÌA =.....................................................................................................................................

4) CÌB =......................................................................................................................................

5) BÌD =......................................................................................................................................

6) CÌD =......................................................................................................................................

7) AÌD =......................................................................................................................................

8) AÌC =......................................................................................................................................

9) BÌB =......................................................................................................................................

10) AÌA =....................................................................................................................................

    

3.   จงหาจำนวนสับเซตของ A เมื่อ

1)      A มีสมาชิก 1 ตัว                  ..................................................

2)      A มีสมาชิก 2 ตัว                  ..................................................

3)      A มีสมาชิก 3 ตัว                  ..................................................

4)      A เป็นเซตว่าง                      ..................................................

5)      A มีสมาชิก n ตัว                  ..................................................

4. จงหาจำนวนสับเซตแท้ของ A เมื่อ

1)      A เป็นเซตว่าง                      ..................................................

2)      A มีสมาชิก 1 ตัว                  ..................................................

3)      A มีสมาชิก 2 ตัว                  ..................................................

4)      A มีสมาชิก 3 ตัว                  ..................................................

5)      A มีสมาชิก n ตัว                  ..................................................

เพาเวอร์เซต ( Power Set )

นิยาม      ถ้า A เป็นเซตใดๆ  เพาเวอร์เซตของเซต A คือเซตที่มีสมาชิกเป็นสับเซตทั้งหมด

ของ A แทนด้วย P(A)

P(A) = { x | x Ì A }

ตัวอย่างที่ 16  กำหนด A = { a , b , c }  จงหา P(A)

                วิธีทำ      P(A)  = { {a} , {b} ,{c} , {a,b} , {a ,c} , {b,c} , Æ }

ตัวอย่างที่ 17  กำหนด A = { Æ , {a}}  จงหา P(A)

                วิธีทำ      P(A)  = { {Æ} , {{a}} , {Æ ,{a}} ,Æ }

ตัวอย่างที่ 18  กำหนด B = { }  จงหา P(B)

                วิธีทำ      P(B)  = {{ }}

ตัวอย่างที่ 19  กำหนด A = {a}  จงหา P(P(A))  และ จำนวนสมาชิกของ P(P(P(A)))

                วิธีทำ      P(A)                        = {Æ ,{a}}  หรือ {Æ ,  A }

                                จำนวนสมาชิกของ   2¹ = 2 เซต

                                P(P(P(A)))           = {Æ ,{a} , {{a}} , {Æ, {a}}}  หรือ

                                                                = {Æ ,{a} , {{a}} , P(A) }

                                จำนวนสมาชิก = 2 ² = 4 เซต

                                จำนวนสมาชิกของ P(P(P(A))) = 2⁴ = 16  เซต

                               

สมบัติของเพาเวอร์เซต

ให้ A , B เป็นเซตใดๆ

1)      Æ Î P(A)

2)      A Î P(A)

3)      P(A) ¹ Æ

4)      P(A) Ì P(B) ก็ต่อเมื่อ A Ì B

5)      ถ้า A  มีสมาชิก n ตัว P(A) จะมีสมาชิก 2ⁿ   ตัว

 

กิจกรรมที่ 1.2 (ต่อ)

   

 

1.  จงหาเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปนี้

1)      กำหนด A = { a }  จงหา P(A)

......................................................................................................................................................

2)      กำหนด B = { 5 , 3 }  จงหา P(B)

......................................................................................................................................................

 

3)      กำหนด C = { 2 , a , c }  จงหา P(C)

......................................................................................................................................................

 

4)      กำหนด D = { b , { 5 } }  จงหา P(D)

......................................................................................................................................................

 

5)      กำหนด E = { Æ }  จงหา P(E)

......................................................................................................................................................

        

แผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์

(Venn-Euler Diagram )

การเขียนแผนภาพเกี่ยวกับเรื่องเซต  นักคณิตศาตร์ 2 ท่านคือ จอห์น เวนน์ (John Venn) และ ลีอองฮาร์ดออยเลอร์ (Leohard Euuler ) เป็นผู้ริเริ่มใช้ก่อน  จึงนิยมเรียกแผนภาพที่แสดงเกี่ยวกับเรื่องเซตว่า แผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์

หลักการเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์

1.       ใช้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ U

2.       ใช้วงกลมหรือ วงรีหรือรูปปิดใดๆ  แทนเซตต่างๆ ที่เป็นสับเซตของ U

U

 

A

U

     

 

                         แผนภาพแสดงเอกภพสัมพัทธ์                               แผนภาพแสดงเซต A ซึ่งเป็นสับเซตของ U

U

 

    A                           B

U

 

A                             B

แผนภาพแสดงเซต A และ B ซึ่งมีสมาชิกซ้ำกันบ้างบางตัว ทั้ง A และ B ต่างก็เป็นสับเซตของเซต U

แผนภาพแสดงเซต A และ B ซึ่งไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย แต่ A และ B ต่างก็เป็นสับเซตของเซต U

     

 

               

 

  

B

A

U

A

B

U

     

 

                แผนภาพแสดงเซต A เป็นสับเซตของ B                                        แผนภาพแสดงเซต A = B

                (สมาชิกทุกตัวของ A เป็นของ B ด้วย )                                    (สมาชิกทุกตัวของ A และ B เหมือนกัน )

   

ตัวอย่างที่ 20 กำหนดให้

U = { 1 , 2 , 3 , … , 14 }                              A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 7 , 8 }

B = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9 }                             C = { 7 , 8 , 9 , 10 ,11 }                              D = { 10 }

จงเขียนแผนภาพแสดงเซตต่างๆ  ที่กำหนดให้

U

A

B

C

D

10

12

13

14

1

2                        

5

6                        

7

8

9

11

3

4         &nb

[na]

หนูจะพยายามคะ

[ซากุระ 11]

ขอบคุณค่ะ อาจารย์กำลังให้หาอยู่พอดี เเต่จะมีข้อเสนอเเนะก็คือ บางครั้งเเต่ละที่ก็เขียนสมบัตฺของสัปเซต เเละเพาเว...ต่างกันน่ะคะ งง มากๆๆๆๆๆๆๆ

[Aonnidaa]

งง มากเรื่องนี้ ยิ่งเรียนและยิ่งมึน!

555555555555

[ปลายปากกา]

ดีมากครับกำลังงงอยู่พอดีขอบคุณครับ...........♥♥♥

[fah]

ขอบุณนะค่ะ

[Or]

คืออยากถามว่า A เป็นสับเซตของ P(A)รึเปล่าคะ

[แตน]

ครูผู้สอนโดยส่วนใหญ่จะมีเนื้อหาสอนนักเรียนอยู่แล้ว แต่สิ่งที่ขาดคือ แบบฝึกหัดที่หลากหลาย และครูผู้สอนส่วนใหญ่ก็มีหนังสือ มากมาย แต่ที่สำคัญคือ ความยากลำบากในการพิมพ์ วันนี้มีเข้ามาอ่านเนื้อหา และดีใจมากที่ที่นี้มีแบบฝึกด้วย ส่วนมากมีแต่เนื้อหา แบบฝึกมีน้อยมาก ในความคิดของแตน คิดว่า ใครก็ตามที่มีความสามารถ น่าจะช่วยรวบรวมแบบฝึกในเรื่องเซต ให้มากๆ เพื่อทำให้นักเรียนฝึกนะคะ คือหมายถึง โรงเรียนขนาดเล็ก ที่ไม่มีเทคโนโลยี นอกจาก กระดาษ ต้องการมาก

[วิเชียรมาตุ]

ง่ายจะตายไป

[พลอย]

เริ่มเข้าใจบ้างแล้วค่ะ แรกๆก็เรียนไม่ยากนะค่ะ

แต่หลังๆเริ่มมึนกับโจทย์

[ดีดี]

ตอนแรกๆก้อง่ายพักหลังนี้...มีแผนภาพแวนออยเลอร์ กะโจทย์

โอ๊ย กลุ้ม

[ULTRAMAN]

DDDDDDD^_^

ที่สุดเลยข๊ะ

THANK YOU

FROM YOU

[อัชราพรรณ โฮมละคร]

มีเเบบฝึกด้วยดีจัง

[อรพิมย์ โยธา]

ไม่เข้าใจเลยค่ะมีค่อยมีฟื้นฐานมาเรียนทีเดียวเลยงงๆ

[2bath]

งงงงง

ติดกานยาววววววว

[supan]

ดีมากครับ ถ้าผมได้ A ผมจะขอขอบคุณเป็นอย่างมวกครับขอบคุณครับ

[เอ็ม]

กำลังหาพอดีเลย ขอบคุนค่ะ

[Bow]

งงจังเลยค่ะ

ทำยังไงจะทำได้

[tip]

ดีที่สุดเลยเจ้า