การเคลื่อนที่แบบหมุน

                        

การเคลื่อนที่แบบหมุน

1. ปริมาณต่างๆที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบหมุน

(1)อัตราเร็วเชิงมุม (angular speed)

อัตราเร็วเชิงมุม (ω) ในที่นี้หมายถึง ค่าอัตราเร็วเชิงมุมขณะใดขณะหนึ่งหรือค่าอัตราเร็วเชิงมุมเฉลี่ยของการเคลื่อนที่ในช่วงเวลาสั้นๆ โดยหาได้จากสมการ

 

ω    =   ∆Ɵ

            ∆t                             

                                                                                                

เมื่อ   ω    คือ อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุที่หมุนรอบแกนหมุน มีหน่วยเป็นเรเดียน/วินาที

         ∆Ɵ  คือ มุมที่วัดกวาดไปในช่วงเวลาสั้นๆ ∆t

(2)ความเร็วเชิงมุม (angular velocity)

ความเร็วเชิงมุม (ϖ) หมายถึง การกระจัดเชิงมุม (∆Ӫ)ที่เปลี่ยนไปในเวลาหนึ่งหน่วย ซึ่งเขียนสมการได้ว่า

 

                                                        ϖ   =  ∆Ӫ

                                                                                 ∆t

                การหาทิศทางการกระจัดเชิงมุม (∆Ӫ) และความเร็วเชิงมุม(ϖ) หาได้จากการใช้มือขวากำรอบแกนหมุนให้นิ้วทั้งสี่ (ชี้กลางนางก้อย) ชี้วนไปทางเดียวกับทิศทางการหมุน นิ้วหัวแม่มือทาบไปตามแกนหมุนจะได้ว่าทิศของการกระจัดเชิงมุม (∆Ӫ) และความเร็วเชิงมุม (ϖ) จะชี้ตามแนวชี้ของนิ้วหัวแม่มือ

                ความเร็วเชิงมุม (ϖ) เป็นปริมาณเวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกับ ∆Ӫ หน่วยของความเร็วเชิงมุมเป็นเรเดียน/วินาที (rad/s)

(3)ความเร่งเชิงมุม (angular acceleration)

ความเร่งเชิงมุม (ᾱ) หมายถึง ความเร็วเชิงมุมที่เปลี่ยนไปในเวลาหนึ่งหน่วย ดป็นปริมาณเวกเตอร์ซึ่งเขียนเป็นสมการได้ว่า

                                                        ᾱ   =   ∆ϖ

                                                                   ∆t             

                               

หน่วยของความเร่งเชิงมุมเป็นเรเดียน/วินาทีกำลังสอง    

                ในการหมุนของวัตถุรอบแกนหมุนคงตัวเมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของมวลย่อยแต่ละก้อนของวัตถุจะมีการเคลื่อนที่แบบวงกลม จะได้ว่ามวลย่อยๆ แต่ละก้อนของวัตถุที่กำลังหมุนมีความเร็วเชิงมุม ϖ ในการหมุนเท่าๆนั้น

       

การเคลื่อนที่แนวตรง	การเคลื่อนที่แบบหมุน	เปรียบเทียบ
v = u+a s      =     ut +  1 at2                       2 s       =     vt -  1 at2                        2 s      =    ( u + v )t                    2   v     = u2  + 2a	ω  =  ω๐ + αt Ɵ   =  ω๐t  +  1  αt2                      2  Ɵ   =  ωt  -      1  αt2                       2  Ɵ   =   (ω๐  +  ω )t                  2  ω2  = ω๐2 + 2αƟ	u  =  ω๐   v  = ω   a  = α   s = Ɵ

 

 

2. ทอร์กกับการเคลื่อนที่แบบหมุน

จากความรู้เดิมในเรื่องของโมเมนต์ เราจะเรียกโมเมนต์ของแรงรอบจุดหมุนว่า ทอร์ก โดนทอร์กเป็นปริมากเวกเตอร์มีขนาดเท่ากับ แรงคูณระยะทางที่ลากจากจุดหมุนมาตั้งฉากกับแนวแรงและทิศทางของทอร์กมีทิศตั้งฉากกับระนาบการหมุน

การหาทิศทางของทอร์ก (Ʈ) ทำได้โดยใช้มือขวาในลักษณะกาง นิ้วชี้ นิ้วกลางและนิ้วหัวแม่มือให้ตั้งฉากซึ่งกันและกัน แล้ววางนิ้วชี้ตามแนวรัศมี (r) พุ่งออกจากจุดหมุน ส่วนนิ้วกลางวางแนวชี้ไปทางทิศของแรง (F) จะได้ว่านิ้วหัวแม่มือ ชี้ทิศทางของทอร์ก

                            จากนิยาม            Ʈ   =  Fr

เมื่อ     F  คือ แรงที่กระทำต่อวัตถุในทิศตั้งฉากกับรัศมีของการหมุน หน่วย นิวตัน

          r  คือ   รัศมีของการหมุนของวัตถุ   หน่วย เมตร

          Ʈ คือ   ทอร์กของแรง  หน่วย  นิวตัน.เมตร

 

เมื่อมีแรง  F_t มากะทำต่อมวล m ในทิศตั้งฉากกับแท่งวัตถุเล็กๆ ตลอดเวลาโดยแนวแรง F_t สัมผัสกับแนววงกลมหรือตั้งฉากกับรัศมี r

จากฎข้อ 2 ของนิวตัน

                                                F_t  =  ma_t

                                หรือ    F_t . r  =  ma_tr                ..........(1)

                ถ้าภายในช่วงเวลาสั้นๆ ∆t ขนาดของความเร็วในแนวเส้นสัมผัสเปลี่ยนไป  ∆v และขนาดของความเร็วเชิงมุมเปลี่ยนไป  ∆ω  จะได้ว่า

                                                ∆v   =  r∆ω         (v  = ωr )

 

                หรือ                           ∆ v    =  r ∆ ω

                                                   ∆t         ∆t

 

                ดังนั้น                       a_t    =  rα

 

แทนค่า a_t ใน (1)  จะได้ว่า

                                                F_t . r   =  mr²α            ................. (2)

 

จากนิยามของทอร์ก  Ʈ   =   F_t.r

 

                จึงได้ว่า              Ʈ  =  mr²α

      

               และ                α    =         Ʈ                 

                                                          mr²

 

แสดงว่าเมื่อใช้ทอร์กค่าหนึ่งกระทำต่อวัตถุ  ถ้าวัตถุมีค่า  mr²  มากจะหมุนโดยมีความเร่งเชิงมุม  (α) น้อยค่า mr²  จึงบอกถึงสมบัติการต้านการเปลี่ยนแปลงสภาพการหมุนหรือความเฉื่อยของการหมุนของวัตถุ ซึ่งเรียกว่า โมเมนต์ความเฉื่อย ( I)   จึงได้ว่า

                                                       I   =  mr²

 

        โมเมนต์ความเฉื่อยเป็นปริมาณสเกลาร์มีหน่วยเป็นกิโลกรัมเมตรกำลังสอง

        ดังนั้น  ค่าทอร์ก  อาจเขียนใหม่ได้ว่า

 

                                                                Ʈ  =  Iα

 

จากสมการที่ได้พบว่าทอร์ก และความเร่งเชิงมุม มีทิศทางเดียวกัน

จากการศึกษาในขั้นสูงขั้นต่อไปพบว่า ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยขึ้นอยู่กับมวลและการกระจายของมวลและที่สำคัญอย่างยิ่ง คือ แกนหมุน ดังนั้น การบอกค่าโมเมนต์ความเฉื่อยต้องบอกด้วยว่าหมุนรอบแกนใด

 

     3. โมเมนตัมเชิงมุมและกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

ในการทดลองการหมุนของวัตถุพบว่า  ดารรักษาสภาพการหมุนของวัตถุขึ้นอยุ่กับความเร็วเชิงมุมและโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ

                ปริมาณที่บอกถึงการรักษาสภาพการหมุนของวัตถุ เรียกว่า โมเมนตัมเชิงมุม (L)  มีค่าเท่ากับ ผลคูณระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อย (I)  กับความเร็วเชิงมุม (ω)  จึงเขียนเป็นสมการได้ว่า

 

                                                                                L  =  Iω

 

                                โมเมนตัมเชิงมุม(L)เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทิศทางเดียวกับความเร็วเชิงมุม (ω)

 

  (1)ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมเชิงมุมกับโมเมนตัมเชิงเส้น

เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมเป็นปริมาณที่บอกถึงสภาพการหมุนของวัตถุ ซึ่งความกับโมเมนตัม (P) หรืออาจเรียกว่าโมเมนตัมเชิงเส้น ซึ่งเป็นปริมาณที่บอกถึงสภาพการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวเส้นตรง เราอาจหาความสัมพันธ์ของปริมาณทั้งสองได้จากสมการที่ศึกษามาแล้วข้างต้น

จาก                                                 Ʈ    =     F . r

                                                             =    mar

                                                             =    m(v₂-v₁)r            .......(1)   
                                                                      t₂-t₁   
                                                                                                                   

                      และ                             Ʈ   =    Iα                                            .........(2)    

 

ได้ว่า  (1)  =  (2)  ;        m(v₂-v₁)r       =     Iα                                           

                         t₂-t₁

 

                                   m(v₂-v₁)r       =     I(ω₂ –ω₁)                                              

                        t₂-t₁                        t₂ –t₁

 

                       ∆mvr            =       ∆Iω

            ได้ว่า                      mvr           =          Iω         =    L

                 ดังนั้น                          L     =  mvr

                      จึงได้ว่า  โมเมนตัมเชิงมุมมีค่าเท่ากับโมเมนต์ของโมเมนตัมเชิงเส้น

                      (2.) ความสัมพันธ์ระหว่างทอร์กกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม

                                   จาก                   Ʈ   =    Iα

                                     หรือ                   Ʈ  =    I(∆ω)

                                                                          ∆t

 

                                    เมื่อ   I  คงตัว จะได้    Ʈ     =    ∆(Iω)

                                                                                  ∆t

   

                 

                 หรือ                     Ʈ   =    ∆L

                                                      ∆t

 

จากสมการที่ได้อาจกล่าวได้ว่า  ทอรืกมีค่าเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม

 

(3) กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

จาก                       Ʈ   =   Iα

เมื่อ     Ʈ = 0 ,        α  =     ω₂-ω₁

                                            t₂-t₁

 

ได้ว่า                      0   =   I(ω₂-ω₁)

                                              t₂-t₁

 

เมื่อ  I  ไม่เป็นศูนย์ดังนั้น 

                                                        ω₁    =   ω₂

 

                แสดงว่าเมื่อ โมเมนตัมความเฉื่อยมีค่าคงตัว แล้วทอร์กที่มากระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์ วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัว ซึ่งคล้ายกับการเคลื่อนที่แนวตรง เมื่อแรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว

                นอกจากนี้ทอร์กยังมีความสัมพันธ์กับโมเมนตัมเชิงมุมอีกด้วย

                จาก                     Ʈ  =    ∆L

                                                     ∆t

 

                เมือ                       Ʈ  =   0       ได้ว่า

                                               

                                             0    =     ∆ L

                                                            ∆ t

 

                ดังนั้น                   ∆L   =  0

                หรือ                   L₂ - L₁  =  0

                ได้ว่า                      L₁   =  L₂

                จาก                       L       =  Iω   ดังนั้น

 

                                           I₁ω₁    =    I₂ω₂

 

                จากความสัมพันธ์ที่ได้อาจสรุปได้ว่า   เมื่อทอร์กหรือผลรวมของทอร์กที่กระทำต่อวัตถุที่กำลังหมุนเท่ากับศูนย์วัตถุจะหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัว  นอกจากนี้วัตถุจะมีโมเมนตัมเชิงมุมคงตัวด้วย  ซึ่งเรียกความสัมพันธ์นี้ว่า กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

 

 

  4. พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน

เมื่อพิจารณาวัตถุซึ่งประกอบด้วยมวลย่อยๆ  คือ m₁ , m₂ ,..,m_n หมุนรอบแกนโดยมวลแต่ละก้อนมีการเคลื่อนที่เป็นแนววงกลม ถ้าพิจารณา ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง มวลแต่ละก้อนจะมีความเร็วต่างกันเป็น  V₁,v₂,...,v_n ทำให้มวลย่อยแต้ละก้อนมีพลังงานจลน์เป็น 1  m₁v₁²  ,  1m₂v₂²  ,  1m_nv_n²

                                                 2                2              2

 

ถ้าให้ Ek เป็นพลังงานจลน์รวมของมวลย่อย  จะได้ว่า

                          Ek   =    1m₁v₁²   +1m₂v₂²+ ..... +1m_nv_n²

                                       2              2                    2

 

                                        = Ʃ (1m_iv_i²)

                                               2

 

                                       =  1 Ʃm_i(ωr_i)²

                                            2

 

                                 Ek  =    1Ʃ(m_ir_i²)ω   ²

                                             2

 

                จาก       Ʃ(m_ir_i²)       =  I

 

ดังนั้น                            Ek    =   1Iω²

                                                 2

 

เมื่อ      I    คือ  โมเมนต์ความเฉื่อยของการหมุน

           ω  คือ  ความเร็วเชิงมุมของการหมุน

          Ek  คือ   พลังงานจลน์ของการหมุน 

 

 

 

5. การเคลื่อนที่ทั้งแบบเลื่อนตำแหน่งและหมุน

การเคลื่อนที่ของวัตถุบางครั้งอาจมีการเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่งร่วมกับการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วย เช่น การเคลื่อนที่ของลูกบอก ลูกกอล์ฟ ลูกเทนนิส ลูกปิงปอง ล้อรถจักรยาน ซึ่งเป็นการหมุน  รอบจุดศูนย์กลางมวล (เมื่อเคลื่อนที่อย่างอิสระ) และเป็นการหมุนรอบแกนคงตัว

               เมื่อพิจารณาค่าพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบกลิ้งของวัตถุจึงมีค่าเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่ทั้งสองแบบคือ

 

 

พลังงานจลน์ของการกลิ้ง   =   พลังงานของการเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่ง +  พลังงานของการเคลื่อนที่แบบแบบหมุน

 

                                ดังนั้น      Ek(กลิ้ง)      =    1 mv²   +  1 Iω²

                                                                                          ^{2                  2}

 

6. การทำงานในการหมุน

ในการหมุนของวัตถุที่ไม่เปลี่ยนทิศของแกนหมุน  เมื่อมีทอร์กคงที่กระทำโดยมีแกนหมุนคงตัว ย่อมทำให้พลังงานจลน์ของการหมุนเปลี่ยนแปลง  ซึ่งคล้ายกับการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของวัตถุเมื่อมีงานมากระทำต่อวัตถุนั้น ดังนั้น งานของทอร์กคงที่ประทำต่อวัตถุ จึงมีค่าเท่ากับ พลังงานจลน์ของการหมุนที่เปลี่ยนไป เขียนเป็นสมการได้ว่า 

                                                       W   =  ∆Ek

                                                =   1 Iω²  -  1 Iω๐₂

                                                      2             2

                                                 =    I (ω²  - ω๐²)

                                                                          2

                                                                  =   I (2 αƟ)

                                                       2

 

                                                   =   (Iα)Ɵ

                                                   W     =   ƮƟ

จากสมการที่ได้แสดงว่า เมื่อมีทอร์กขนาดคงที่กระทำต่อวัตถุทำให้การกระจัดเชิงมุมเปลี่ยนไป  (Ɵ)  จะทำให้เกิดงานของการหมุน (W) 

                นอกจากนี้ ยังสามารถหากำลังในการหมุนได้จากนิยามกำบังในการหมุน คือ อัตราการทำงานในการหมุน หรือ งานที่ทำได้ในเวลา 1 หน่วย เขียนเป็นสมการได้ว่า

                                                            P  =  W

                                                                      t

                                                                                                                                                                                                                                                     =  ƮƟ         ( Ɵ   =  ω)

                                                                       t              t

 

 

                                                            P   =  Ʈω

 

            เมื่อ  Ʈ  คือ ทอร์กคงที่กระทำต่อวัตถุ

                        ω คือ อัตราเร็วเชิงมุมของการหมุน

                       P คือ  กำลังของการหมุน

การเปรียบเทียบปริมาณเชิงเส้นกับปริมาณเชิงมุม

                ในการศึกษาการเคลื่อนที่แบบหมุน  พบว่าปัญหาในการจำสูตรการคำนวณ ค่อนข้างยาก เราจึงอาจใช้สูตรในการเคลื่อนที่แนวตรงมาเทียบเคียงให้จำได้ง่ายขึ้น โดยการเปรียบเทียบปริมาณเชิงเส้นกับเชิงมุม

1. การกระจัดเชิงเส้น   (s)   =   การกระจัดเชิงมุม  (Ɵ)
2. ความเร็วเชิงเส้น   (v)   =   ความเร็วเชิงมุม  (ω)
3. ความเร่งเชิงเส้น    (a)   =   ความเร่งเชิงมุม   (α)
4. มวล(ความเฉื่อย) (m)    =   โมเมนต์ความเฉื่อย  (I)
5. แรงกระทำ        (F)      =    ทอร์ก   (Ʈ)
6. โมเมนตัมเชิงเส้น (P)     =  โมเมนตัมเชิงมุม    (L)

 

 

 

อ้างอิงจาก

สรุปจาก หนังสือ คัมภีรืฟิสิกส์ สำนักพิมพ์ พ.ศ.พัฒนา