สรุปเรื่อง

สรุปงานคณิต

เรื่อง เซต (ม.4) 

เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียก สมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต" 

การเขียนเซต

การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ

1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต

ตัวอย่างเช่น  A = {1, 2, 3, 4, 5}

2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต

ตัวอย่างเช่น A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}

เซตจำกัด

เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้

ตัวอย่างเช่น  A = {1, 2, 3, 4, 5} มีสมาชิก 5 สมาชิก

เซตอนันต์

เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่่น C = {...,-2,-1,0,1,2,...}

เซตที่เท่ากัน

เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B

ตัวอย่างเช่น A = {1, 2, 3, 4, 5}

                 B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}

เซตว่าง

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø

ตัวอย่างเช่่น A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2}

                B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 }

 เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u

ตัวอย่างเช่่น  U = {...,-2,-1,0,1,2,...}

            หรือU = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}

 

2.เรื่องความสัมพันธ์ (ม.4)

 

คู่อันดับ

          คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง

สมบัติของคู่อันดับ

1.(a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b

2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d

3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d

ผลคูณคาร์ทีเซียน

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B นั่นคือ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B }

โดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์

กำหนด r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B

โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย D_r

 D_r = { x | (x, y) } ∈ r

เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย R_r

      R_r = { y | (x, y) } ∈ r

อินเวอร์สของความสัมพันธ์

อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วย r^-1

 

 

 

3.เรื่องระบบจำนวนจริง (ม.4)

ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย

1.จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...

2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ 

ระบบจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

ระบบจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I ^– โดยที่

I ^- = {..., -4, -3, -2, -1}

เมื่อ I⁺ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก  จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I⁺ = {1, 2, 3, 4, ...}

ระบบจำนวนเชิงซ้อน

นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้ 

x² = -1  ∴ x = √-1 = i

 สมบัติของจำนวนจริง

สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

สมบัติการสะท้อน a = a

2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0 นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

1.สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

อินเวอร์สการคูณ a · a^-1 = 1 = a · a^-1, a ≠ 0

 นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a^-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0

สมบัติการแจกแจง

a( b + c ) = ab + ac

( b + c )a = ba + ca

สมบัติของการไม่เท่ากัน

a < b     หมายถึง    a น้อยกว่า b

a > b     หมายถึง    a มากกว่า b

การแก้อสมการ

อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว

คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง

เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง

ตัวอย่างที่  จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12

วิธีทำ    x + 3 > 12

       x+3+(-3)> 12+(-3)

                   x>9

เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞)

ค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

สมบัติของค่าสัมบูรณ์

1.|x| = |-x|

2.|xy| = |x||y|

3. x⁄y = x⁄y

4. | x - y | = | y - x |

5.|x|² = x²

6.|x|² = x² เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก

7.|x| < a หมายถึง -a < x < a

8.|x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก

9. |x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a

10.|x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a

 

 

 

 

4.เรื่องทฤษฏีเบื้องต้นของความน่าจะเป็น (ม.5)

 

1.การทดลองสุ่มคือ การทดลองซึ่งทราบว่า ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น อาจเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้ถูกต้องว่า ในแต่ละครั้งที่ทดลอง จะเกิดผลลัพธ์เป็นอะไร

2.แซมเปิลสเปซ คือ เซต ที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ ที่แนไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม

3.เหตุการณ์ คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซ เป็นสิ่งที่เราสนใจว่าเกิดอะไร

แซมเปิลสเปซ และØ เป็นเหตุการณ์

4.ยูเนียนและอินเตอร์เซกชั่นของเหตุการณ์  ตามลำดับ

5.เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

ถ้า  E₁∩E₂ = Ø  แล้วจะเรียก E₁ และ E₂ว่าเป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

เช่น E₁ เป็นเหตุการณ์ที่โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง แล้วได้แต้มคู่

      E₂ เป็นเหตุการณ์ที่โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง แล้วได้แต้มคี่

7.ความน่าจะเป็น

ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ แซมเปิลสเปซ เป็ฯจำนวนเท่ากับ N และ จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E มีค่าเท่ากับ N โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน ความน่าจะเป็ฯของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) จะมีค่าเท่ากับ n⁄N  หรือ P(E)= n⁄N 

5.เรื่องสถิติ(ม.5)

 สถิติเบื้องต้น

   ข้อมูลสถิติหรือข้อมูล  หมายถึง  ข้อเท็จจริงของเรื่องใดเรื่องหนึ่งที่เราสนใจจะศึกษา  ซึ่งอาจจะเป็นตัวเลขหรือข้อความก็ได้
- จำนวนคนที่เป็นโรคหัวใจในแต่ละเดือน
- ปริมาณการส่งออกข้าวของประเทศไทยในปีนี้เพิ่มขึ้นจากปีที่แล้ว

  การจำแนกข้อมูล
1.  ข้อมูลที่จำแนกตามลักษณะของข้อมูล  แบ่งเป็น  2  ประเภท
1.1  ข้อมูลเชิงปริมาณ  คือข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขที่สามารถนำมาใช้เปรียบเทียบขนาดได้โดยตรง
1.2  ข้อมูลเชิงคุณภาพ  คือข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขโดยตรงได้  แต่วัดออกมาในเชิงคุณภาพได้  เช่น  เพศของสมาชิกในครอบครัว  ซึ่งการวิเคราะห์ข้อมูลประเภทนี้  ส่วนใหญ่ทำโดยการนับจำนวนจำแนกตามลักษณะเชิงคุณภาพ
2.  ข้อมูลจำแนกตามวิธีการเก็บรวบรวม
2.1  ข้อมูลปฐมภูมิ  คือ  ข้อมูลที่ได้จากการรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูลหรือแหล่งที่มาโดยตรง
2.1.1  การสำมะโน  คือ  การเก็บรวบรวมข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรที่ต้องการศึกษา
2.1.2  การสำรวจจากกลุ่มตัวอย่าง  คือ  การเก็บรวบรวมข้อมูลที่ประกอบด้วยตัวแทนจากทุกลักษณะของประชากรที่ต้องการศึกษา
   ในทางปฏิบัติ  ไม่ว่าจะทำการสำมะโนหรือการสำรวจ  นิยมปฏิบัติอยู่  5  วิธี  คือ
   1.  การสัมภาษณ์  นิยมใช้กันมาก  เพราะจะได้คำตอบทันที  นอกจากนี้หากผู้ตอบไม่เข้าใจก็สามารถอธิบายเพิ่มเติมได้  แต่ผู้สัมภาษณ์ต้องซื่อสัตย์  และเข้าใจจุดมุ่งหมายของการเก็บข้อมูลอย่างแท้จริง
   2.  การแจกแบบสอบถาม  วิธีนี้ประหยัดเวลาและค่าใช้จ่ายมาก  สะดวกและสบายใจต่อการตอบแบบสอบถาม  แต่ก็มีข้อเสียหลายประการ  เช่น  ต้องใช้ในเฉพาะผที่มีการศึกษา  มีไปรษณีย์ไปถึง  คำถามต้องชัดเจน  อาจจะไม่ได้รับคืนตามเวลาหรือจำนวนที่ต้องการ  จึงต้องส่งแบบสอบถามออกไปเป็นจำนวนมากๆ  หรือไปแจกและเก็บด้วยตนเอง
   3.การสอบถามทางโทรศัพท์  เป็นวิธีที่ง่าย  เสียค่าใช้จ่ายน้อย  ต้องเป็นการสัมภาษณ์อย่างสั้นๆ  ตอบได้ทันทีโดยไม่ต้องเสียเวลาค้นหาหลักฐาน  ใช้ได้เฉพาะส่วนที่มีโทรศัพท์เท่านั้น
   4.  การสังเกต  เป็นข้อมูลที่ได้จากการสังเกตแล้วบันทึกสิ่งที่เราสนใจเอาไว้  ต้องใช้การสังเกตเป็นช่วงๆของเวลาอย่างต่อเนื่องกัน  ข้อมูลจะน่าเชื่อถือได้มากน้อยขึ้นอยู่กับความเข้าใจและความชำนาญของผู้สังเกต  เช่น  ข้อมูลเกี่ยวกับการใช้บริการต่างๆ  เช่น  บริการรถโดยสาร  การบริการสหกรณ์  ความหนาแน่นของการใช้ถนนสายต่างๆ  เป็นต้น  วิธีนี้นิยมใช้ประกอบกับการเก็บข้อมูลวิธีอื่นๆ
   5.  การทดลอง  เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลที่มีการทดลอง  ซึ่งมักจะใช้เวลาในการทดลองนานๆ  ทำซ้ำๆ
2.2  ข้อมูลทุติยภูมิ  คือ  ข้อมูลที่ต้องเก็บรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูล  หรคือแหล่งที่มาโดยตรง  แต่ได้จากข้อมูลที่มีผู้อื่นเก็บรวบรวมไว้แล้ว
3.  วิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลทุติยภูมิ
  แหล่งที่มาของข้อมูลทุติยภูมิที่สำคัญมีอยู่  2  แหล่ง  คือ
1.  รายงานต่างๆของหน่วยราชการและองค์การของรัฐบาล เช่น  ทะเบียนประวัติบุคลากร  ประวัติคนไข้  ทะเบียนนักเรียนนักศึกษา  เป็นต้น
2.  รายงานและบทความจากหนังสือ  หรือรายงานจากหน่วยงานเอกชน  ซึ่งจะมีการพิมพ์เผยแพร่เฉพาะในส่วนของข้อมูลที่เผยแพร่ได้ในรูปของรายงานต่างๆ

การวัดค่ากลางของข้อมูล

การหาค่ากลางของข้อมูลที่เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมดเพื่อความสะดวกในการสรุปเรื่องราวเกี่ยวกับข้อมูลนั้นๆ  จะช่วยทำให้เกิดการวิเคราะห์ข้อมูลถูกต้องดีขึ้น  การหาค่ากลางของข้อมูลมีวิธีหาหลายวิธี  แต่ละวิธีมีข้อดีและข้อเสีย  และมีความเหมาะสมในการนำไปใช้ไม่เหมือนกัน  ขึ้นอยู่กับลักษณะข้อมูลและวัตถุประสงค์ของผู้ใช้ข้อมูลนั้นๆ

ค่ากลางของข้อมูลที่สำคัญ  มี 3  ชนิด คือ

1.ค่าเฉลี่ยเลขคณิต                                          

2. มัธยฐาน                                                                                          3. ฐานนิยม        

2.  มัธยฐาน (Median)
   ใช้สัญลักษณ์  Med  คือ  ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด  เมื่อได้เรียงข้อมูลตามลำดับ ไม่ว่าจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อย

 การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
  หลักการคิด
  1) เรียงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อยก็ได้                                        

2) ตำแหน่งมัธยฐาน  คือ  ตำแหน่งกึ่งกลางข้อมูล  ดังนั้นตำแหน่งของมัธยฐาน =

 เมื่อ N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

 3) มัธยฐาน  คือ  ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด

3.  ฐานนิยม (Mode)

 การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
 หลักการคิด     
 -  ให้ดูว่าข้อมูลใดในข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมด  มีการซ้ำกันมากที่สุด(ความถี่สูงสุด)  ข้อมูลนั้นเป็นฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น
  หมายเหตุ       
  -   ฐานอาจจะไม่มี  หรือ  มีมากกว่า 1 ค่าก็ได้