สมการวงกลม

การเรียน

 

สมการวงกลม

บทนิยาม วงกลมคือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากจุดหนึ่ง บนระนาบเป็นระยะทางเท่ากัน

เรียกจุดคงที่ในบทนิยามว่า จุดศูนย์กลางของวงกลม
เรียกระยะห่างที่เท่ากันในบทนิยามว่า รัศมีวงกลม

---

สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง(0,0)

จากที่เคยเรียนมาแล้วในวิชา ค 011 ระยะห่างระหว่างจุด P และ O คือ ซึ่งจะนำมาพิสูจน์หาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่(0,0)ได้ดังนี้ คือ

 

ให้ P(x,y) เป็นจุดใดๆบนวงกลม
CP คือ ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด
CP = r
= r
= r
ยกกำลังสองทั้ง 2 ข้างจะได้สมการวงกลมดังนี้

ทฤษฎีบทที่ 1 สมการวงกลมทีจุดศูนย์กลางอยู่ที่(0,0)และมีรัศมีเท่ากับ r คือ

---

สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (h,k)

จากที่กล่าวข้างต้นเป็นสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (0,0) จะได้สมการ และในกรณีที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (1,2) รัศมียาว 2 หน่วย การหาสมการทำได้ดังนี้

วิธีที่ 1 เลื่อนแกนทางขนาน โดยให้จุดกำเนิดไปอยู่ที่ (h,k) จากทฤษฎีที่ 1 สมการวงกลม เมื่อเทียบกัน แกนพิกัดใหม่คือ


เนื่องจาก x’ = x – h , y’ = y - k
ดังนั้นสมการวงกลมเมื่อเทียบกับแกนเดิมคือ

(x - h)^2 + (y - k)^2 = 2^2
(x–1)^2 + (y – 2)^2 =4

วิธีที่ 2 ใช้ความรู้เรื่องการหาระยะทางระหว่างจุดสองจุด

ให้ P(x,y) เป็นจุดใดๆ บนวงกลม

CP = r

ยกกำลังสองทั้ง 2 ข้างจะได้สมการ

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
(x–1)^2 + (y – 2)^2 =4

ทฤษฎีบทที่ 2 สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h,k) และรัศมียาวเท่ากับ r หน่วย คือ

---

 

แบบทดสอบ

แบบทดสอบความรู้เรื่องวงกลม

---

   1. จุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลมที่มีสมการ x²+y²- 6x - 8y - 24 = 0

      a) จุดศูนย์กลาง ( -3,4) รัศมี 7

      b) จุดศูนย์กลาง ( 3,4) รัศมี 7

      c) จุดศูนย์กลาง ( 3,-4) รัศมี 7

      d) จุดศูนย์กลาง ( -3,-4) รัศมี 7

 

   2. สมการที่มีจุดศูนย์กลาง (-2,1) และ สัมผัสเส้นตรง 3x - 4y - 5 = 0 ?

      a) x² + y² - 4x - 2y -4 = 0

      b) x² + y² + 4x + 2y -4 = 0

      c) x² + y² + 4x - 2y + 4 = 0

      d) x² + y² + 4x - 2y -4 = 0

 

   3. กำหนด A(3,-1) , B(5,3) . จงหาสมการวงกลมที่มี AB เป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง...?

      a) x² + y² - 8x - 2y + 12 = 0

      b) x² + y² + 8x - 2y + 12 = 0

      c) x² + y² - 8x +2y + 12 = 0

      d) x² + y² - 8x - 2y - 12 = 0

   4. สมการวงกลมที่มีรัศมี และสัมผัสเส้นตรง x - 2y + 3 = 0 ที่จุด (-1,1) ?.

       a. (x + 2)² + ( y + 3)^{2 = 5}

      b. (x - 2)² + ( y - 3)²

      c. (x + 2)² + ( y - 3)²

      d. (x - 2)² + ( y - 3)²

 

   5. จงหาสมการวงกลมที่สัมผัสเส้นตรง 4x - 3y + 12 = 0 ที่ A(-3,0) และ สัมผัสเส้นตรง 3x+ 4y = 16 ที่ B(4,1)

      a. (x + 1)² + ( y - 3)² = 25

      b. (x - 1)² + ( y + 3)² = 25

      c. (x - 1)² + ( y + 3)² = 16

      d. (x + 1)² + ( y - 3)² = 16

   6.จงหาสมการวงกลมที่ผ่านจุด A(2,3) , B(1,4), C(5,2)

      a) x² + y ² + 10x - 14y + 49 = 0

      b) x² + y ² - 10x - 14y + 49 = 0

      c) x² + y ² - 10x - 14y - 49 = 0

      d) x² + y ² - 10x + 14y + 49 = 0

 

   7. จงหาสมการวงกลมที่ผ่านจุด A(2,6) , B(1,4), C(5,2)

      a) x² + y ² - 7x - 8y - 12 = 0

      b) x² + y ² - 7x + 8y + 12 = 0

      c) x² + y ² + 7x - 8y + 12 = 0

      d) x² + y ² - 7x - 8y + 12 = 0

 

   8. จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรง x - y = 1 และผ่านจุด A(2,3) และ B(-1,1)

      a) x² + y ² - 3x - y - 4 = 0

      b) x² + y ² - 3x - y + 4 = 0

      c) x² + y ² + 3x - y - 4 = 0

      d) x² + y ² - 3x + y - 4 = 0

   9. จงหาจุดตัดของกราฟของความสัมพัรธ์ {(x,y) | x + y = 1} และ. ความสัมพันธ์ { (x,y) | x² + y² - x - 3y = 0 }

      a. (3,-2) , (1,0)

      b. (-1,2) , (0,1)

      c. (-1,2) , (1,0)

      d. (3,-2) , (0,1)

 

   10. จงหาจุดตัดของกราฟของความสัมพัรธ์ {(x,y) | x² + y² - 7x - 2y + 7 = 0} และ. ความสัมพันธ์ { (x,y) | 3x² + 3y² - 7x + y = 0 }

      a. (-1,-1) และ (2,-1)

      b. (1,1) และ (-2,1)

      c (-1,-1) และ (2,-1)

      d. (1,1) และ (2,-1)

เฉลยแบบทดสอบ

1.b

2.D

3.a

4.c

5.b

6.b

7.d

8.a

9.c

10.d