คณิตศาสตร์

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ตรรกศาสตร์พื้นฐาน

1. คุณสมบัติของตรรกศาสตร์พื้นฐาน
1.1 ประพจน์ (Propostion) คือ ข้อความที่เราสามารถบอกได้ว่าข้อความนั้นเป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น
ตัวอย่างที่เป็นประพจน์
P : 15 + 5 = 20
Q : วันนี้อากาศหนาว
R : หนึ่งสัปดาห์มี 8 วัน
S : คนทุกคนเป็นอมตะ

*** ประพจน์สามารถรอการพิสูจน์ได้ไม่ว่าจะนานแค่ไหนก็ตาม ***

ตัวอย่างที่ไม่เป็นประพจน์
- ช่วยเปิดไฟให้หน่อย
- ห้ามรบกวน
การแทนประพจน์จะใช้สัญลักษณ์ p, q, r … เพื่อแทนประพจน์ที่แตกต่างกัน ข้อความที่มีกริยาเพียงตัวเดียวและเป็นประพจน์จะเรียกว่าประพจน์เบื้องต้น

1.2 การเชื่อมประพจน์
โดยปกติเมื่อกล่าวถึงข้อความหรือประโยคนั้นมักจะมีกริยามากกว่าหนึ่งตัว แสดงว่าได้นำประโยคมาเชื่อมกันมากว่าหนึ่งประโยค ดังนั้นถ้านำประพจน์มาเชื่อมกันก็จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ 5 ตัว คือ “และ”(Ù) “หรือ”(Ú) “ไม่”(~) “ถ้า…แล้ว…”(®) และ “…ก็ต่อเมื่อ…”(«) เมื่อนำประพจน์เชื่อมด้วยตัวเชื่อม และ ,หรือ, ถ้า…แล้ว, …ก็ต่อเมื่อ โดยที่ถ้า p และ q แทนประพจน์ จะเขียนได้ว่า

ถ้ากำหนดให้ T แทนค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นจริง
F แทนค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นเท็จ
และ p, q แทนประพจน์ใดๆ ที่ยังไม่ได้ระบุข้อความหรือแทนค่าข้อความลงไป
ประพจน์ p Ù q จะเรียกว่าข้อความร่วม (conjugate statement) และจะสามารถเขียนตารางค่าความจริงของประพจน์ p Ù q ได้ดังนี้ จากตารางจะพบว่า ค่าความจริงของประพจน์ p Ù q จะเป็นจริงถ้าประพจน์ทั้งสองเป็นจริงนอกนั้นจะเป็นเท็จ ประพจน์ p Ú q เรียกว่าข้อความเลือก (disjunctive statement) เป็นข้อความที่เป็นจริงถ้า p หรือ q เป็นอย่างน้อยที่สุดหนึ่งประพจน์ แต่จะไม่เป็นจริงเมื่อทั้งสองประพจน์เป็นเท็จ ตารางค่าความจริงของ p Ú q สามารถเขียนได้ดังนี้ ประพจน์ ~p เรียกว่านิเสธ (negation) p หมายถึงไม่เป็นจริงสำหรับ p จะเป็นจริงเมื่อ p เป็นเท็จและจะเป็นเท็จเมื่อ p เป็นจริง ตารางค่าความจริงของ ~p เป็นดังนี้ ประพจน์ p ® q เรียกว่าประโยคเงื่อนไขหรือข้อความแจงเหตุสู่ผล (conditional statement) ประพจน์ p เรียกว่าเหตุตัวเงื่อนและ q เป็นผลสรุป
เช่น p : นุ่นไปเที่ยวนอกบ้าน q : คุณพ่อโทรศัพท์ตาม
ดังนั้น p ® q : ถ้านุ่นไปเที่ยวนอกบ้านแล้วคุณพ่อโทรศัพท์ตาม
จากการตรวจสอบเงื่อนไขนี้จะพบว่าประพจน์นี้จะเป็นเท็จกรณีเดียวคือ นุ่นไปเที่ยวนอกบ้านแต่คุณพ่อไม่โทรศัพท์ตาม ดังนั้นจะสามารถแสดงตารางค่าความจริงของประพจน์ p ® q ได้ดังนี้ ประพจน์ p « q เรียกว่าประโยคเงื่อนไขสองทาง (biconditional statement) คือ ประพจน์ที่มีความหมายเหมือนกับ (p ® q) Ù (q ® p) เนื่องจาก (p ® q) และ (q ® p) เชื่อมด้วยคำว่า “และ” ดังนั้น p « q จะมีค่าความจริงเป็นจริงต่อเมื่อประพจน์ p และประพจน์ q มีค่าความจริงเหมือนกัน ดังตารางต่อไปนี้

จากตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมทั้ง 5 จะพบว่า
1. ~ p มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับค่าความเป็นจริงของ p
2. p Ù q เป็น T กรณีเดียวคือกรณีที่ทั้ง p และ q เป็น T
3. p Ú q เป็น F กรณีเดียวคือกรณีที่ทั้ง p และ q เป็น F
4. p ® q เป็น F กรณีเดียวคือกรณีที่ทั้ง p เป็น T และ q เป็น F
5. p « q เป็น T เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือนกัน

1.3 สัจนิรันดร์ (Tautology)
หมายถึงประพจน์ผสมที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี ไม่ว่าจะประกอบขึ้นจากประพจน์ย่อยที่มีค่าความจริงเป็นอย่างไร เช่น
การทดสอบว่าประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ทำได้ 2 วิธีคือ
1. ใช้ตารางค่าความจริง เพื่อดูว่ามีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณีจริงหรือไม่
2. ใช้การทำ Contradiction คือการบังคับให้ประพจน์นั้นเป็นเท็จ ถ้าสามารถทำให้ประพจน์นั้นเป็นเท็จได้สำเร็จ แสดงว่าประพจน์นั้นไม่เป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้าไม่สามารถบังคับให้ประพจน์นั้นเป็นเท็จได้ ประพจน์นั้นจะเป็นสัจนิรันดร์ทันที

1.4 กฎของการแทนที่ เป็นกฎที่ใช้แทนที่กันได้เนื่องจากเป็นข้อความที่สมมูลกัน มีดังต่อไปนี้

2. การปฏิบัติการของตรรกศาสตร์พื้นฐาน

2.1 กำหนดให้ประพจน์ p ® (q Ù r) มีค่าความจริงเป็น เท็จ และ (p Ù q) « r มีค่าความจริงเป็น จริง แล้ว พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
(ก) (p « q) « ~r
(ข) (p « q) Ù ~r วิธีทำ เปิดหาค่าจากตารางค่าความจริง ซึ่งได้ค่าต่างๆดังนี้ p = T , q = F , r = T
คำตอบคือ (ก) มีค่าความจริงเป็นจริง และ (ข) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

2.2. ประพจน์ใดที่สมมูลกับประพจน์ (p ® r) Ù (q ® r)
วิธีทำ

2.3. ถ้า p และ q เป็นประพจน์แล้ว p ® ~(q ® p) สมมูลกับประพจน์ใด
วิธีทำ

2.4. พิจารณาประพจน์ p ® (p Ú q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ สมมติให้ประพจน์ดังกล่าวเป็นเท็จ แล้วดูว่าขัดแย้งหรือไม่ ถ้าขัดแย้งเป็นสัจนิรันดร์
(แต่ถ้าไม่ขัดแย้ง ตอบไม่เป็นสัจนิรันดร์)


2.5. พิจารณาประพจน์ p ® (p Ù q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ

3. ตัวบ่งปริมาณ ในวิชาคณิตศาสตร์จะพบว่ามีการใช้ข้อความ สำหรับ x ทุกตัว และ สำหรับ x บางตัว เรียก " สำหรับ …ทุกตัว " และ " สำหรับ…บางตัว " ว่า " ตัวบ่งปริมาณ " แทนด้วยสัญลักษณ์ , ตามลำดับ

x แทน สำหรับ x ทุกตัว

x แทน สำหรับ x บางตัว ( มีไม่น้อยกว่า 1 )

แทน เอกภพสัมพัทธ์

R แทน เซตของจำนวนจริง

Q แทน เซตของจำนวนตรรกยะ

I หรือ Z แทน เซตของจำนวนเต็ม

N แทน เซตของจำนวนนับ

การเขียนสัญลักษณ์แทนประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ เราจะต้องเขียนเอกภพสัมพัทธ์ กำกับไว้เสมอ เพื่อจะได้ทราบขอบเขตของตัวแปรว่าแทนสิ่งใด แต่ในกรณีที่เอกภพสัมพัทธ์ เป็นเซตของจำนวนจริง มักนิยมละการเขียนเอกภพสัมพัทธ์ นอกจากนี้ในการศึกษาเกี่ยวกับเซตนิยมละการเขียนเอกภพสัมพัทธ์เช่นเดียวกัน

3.1 บทนิยามตัวบ่งปริมาณตัวเดียว - ประโยค [P(x)] มีค่าความจริงเป็น จริง ก็ต่อเมื่อ แทนด้วยตัวแปร x ใน P(x)ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด - ประโยค [P(x)] มีค่าความจริงเป็น เท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนด้วยตัวแปร x ใน P(x)ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ - ประโยค [P(x)] มีค่าความจริงเป็น จริง ก็ต่อเมื่อ แทนด้วยตัวแปร x ใน P(x)ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง - ประโยค [P(x)] มีค่าความจริงเป็น เท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนด้วยตัวแปร x ใน P(x)ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมด

3.2 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว พิจารณาประโยคเปิด > 0 เมื่อกำหนดตัวบ่งปริมาณและเอกภพสัมพัทธ์ให้แตกต่างกัน ดังนี้ - x[ > 0], = {0,1,2,3} หมายถึง สมาชิกทุกตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0 - x[ > 0], = {0,1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0 - x[ > 0], = {1,2,3} หมายถึง สมาชิกทุกตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0 - x[ > 0], = {1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน ยกกำลังสองแล้วมากกว่า 0 - x[ < 0], = {1,2,3} หมายถึง สมาชิกบางตัวใน ยกกำลังสองแล้วน้อยกว่า 0 การพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณนั้น โดยทั่วไปจะพิจารณาแต่ละส่วนของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ดังนี้ ส่วนที่ 1 ตัวบ่งปริมาณ ส่วนที่ 2 ประโยคเปิด ส่วนที่ 3 เอกภพสัมพัทธ์ ในที่นี้จะพิจารณาค่าความจริงของประโยยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ซึ่งเป็นประโยคที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และเพื่อความสะดวกในการกล่าวถึงประโยค จะแทนประโยคที่มีตัวแปร x ด้วย P(x) ดังนั้น ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่จะพิจารณาค่าความจริง จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ดังนี้ [P(x)] เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ คือ [P(x)] เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ คือ

3.3 สมมูลของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ พิจารณาประโยคเปิด P(x) ® Q(x) กับ ~P(x) Ú Q(x) ไม่ว่าจะแทน x ด้วยสมาชิกใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ จะได้ประพจน์ในรูป p ® q และ ~p Ú q ซึ่งสมมูลกัน ต่อไปนี้จะกล่าวว่า P(x) ® Q(x) สมมูลกับ ~P(x) Ú Q(x) ด้วย และจะใช้สมมูลของประโยคเปิดเทียบกับรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน เช่น 1. p ® q สมมูลกับ ~q ® ~p || P(x) ® Q(x) สมมูลกับ ~Q(x) ® ~P(x) 2. p Ú q สมมูลกับ q Ú p || P(x) Ú Q(x) สมมูลกับ Q(x) Ú P(x) 3. ~(p ® q) สมมูลกับ p Ù ~q || ~[P(x) ® Q(x)] สมมูลกับ P(x) Ù ~Q(x) 4. ~(p Ù q) สมมูลกับ ~p Ú ~q || ~[P(x) Ù Q(x)] สมมูลกับ ~P(x) Ú ~Q(x) จากสมมูลของประโยคเปิดข้างต้น ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกันไว้ข้างหน้าจะได้ประพจน์ที่สมมูลกันด้วย เช่น x[P(x) ® Q(x)] สมมูลกับ x[~P(x) Ú Q(x)] x[P(x) ® Q(x)] สมมูลกับ x[~Q(x) ® ~P(x)] x[~P(x) ® Q(x)] สมมูลกับ x[P(x) Ù ~Q(x)] x[~P(x) Ú Q(x)] สมมูลกับ x[~P(x) Ù ~Q(x)] เนื่องจากประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณเป้นประพจน์ ดังนั้น สามารถเทียบรูปแบบที่สมมูลกับรูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันได้ เช่น x[P(x)] ® x[P(x)] สมมูลกับ ~ x[P(x)] Ú x[Q(x)] x[P(x)] ® x[Q(x)] สมมูลกับ ~ x[P(x)] Ú x[Q(x)]

3.4 นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ การพิจารณานิเสธของประโยคเปิด หรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ โดยวิธีเทียบนิเสธของประพจน์เหมือนกับ การพิจารณาสมมูลของประโยค ดังนี้ นิเสธของ p หรือ ~p จากรูปแบบนิเสธนี้จะตกลงให้นิเสธของประโยคเปิด หรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ โดยวิธีเติมตัวเชื่อม " ~ " ข้างหน้าประโยค เช่น นิเสธของ P(x) คือ ~P(x) นิเสธของ x[P(x)] คือ ~ x[P(x)] นิเสธของ x[P(x)] คือ ~ x[P(x)] นิเสธของ x[P(x) Ù Q(x)] คือ ~ x[P(x) Ù Q(x)] นิเสธของ x[P(x)] ® นิเสธชอง x[Q(x)] คือ ~( x[P(x)] ® x[Q(x)]) สำหรับนิเสธของประโยคเปิดในรูปแบบอื่นจะเปรียบเทียบกับนิเสธของประพจน์ได้ ดังนี้ 1. นิเสธของ p Ù q คือ ~p Ú ~q || นิเสธของ x[P(x)] Ù x[Q(x)] คือ ~ x[P(x)] Ú ~ x[Q(x)] 2. นิเสธของ p ® q คือ p Ù ~q || นิเสธของ x[P(x)] ® x[Q(x)] คือ x[P(x)] Ù ~ x[Q(x)]

ข้อสังเกต ประโยคเปิดที่เป็นนิเสธกัน ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกันไปข้างหน้า ผลจะไม่ได้ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

3.5 การพิจารณาจากบทนิยามของสมมูลหรือนิเสธ นอกจากการพิจารณาสมมูล และนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ โดยวิธีเทียบกับประพจน์ที่ สมมูลกัน หรือนิเสธของประพจน์แล้ว ประโยคบางรูปแบบอาจจะต้องใช้พิจารณาจากบทนิยามของสมมูล หรือนิเสธ ดังนี้ " ประพจน์สองประพจน์จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี " " ประพจน์สองประพจน์จะเป็นนิเสธกันก็ต่อเมื่อมีค่าความจริงตรงกันข้ามกรณีต่อกรณี " ต่อไปนี้เป็นรูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน และเป็นนิเสธกันที่ใช้วิธีพิจารณาดังกล่าว

รูปแบบที่ 1 ~ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)] กล่าวคือ นิเสธของ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]

พิสูจน์

กรณีที่ 1 ถ้า ~ x[P(x)] เป็นจริง จะได้ว่า x[P(x)] เป็นเท็จ ดังนั้น มีสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่า x ใน P(x) แล้วได้ประพจน์ที่เป็นเท็จ จะได้ว่า มีสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่า x ใน ~P(x)แล้วได้ประพจน์ที่เป็นจริง นั่นคือ x[~P(x)] เป็นจริง

กรณีที่ 2 ถ้า ~ x[P(x)] เป็นเท็จ จะได้ว่า x[P(x)] เป็นจริง ดังนั้น มีสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่า x ใน P(x) แล้วได้ประพจน์ที่เป็นจริง จะได้ว่า มีสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่า x ใน ~P(x) แล้วได้ประพจน์ที่เป็นเท็จ นั่นคือ x[~P(x)] เป็นเท็จ ดังนั้น ~ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)] และนิเสธของ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]

รูปแบบที่ 2 ~ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)] กล่าวคือ นิเสธของ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]

พิสูจน์

กรณีที่ 1 สมมุติว่า ~ x[P(x)] เป็นจริง จะได้ว่า x[P(x)] เป็นเท็จ ดังนั้น เมื่อแทนค่า x ใน p(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์จะได้ประพจน์ที่เป็นเท็จทั้งหมด นั่นคือ เมื่อแทนค่า x ใน ~p(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์จะได้ประพจน์ที่เป็นจริงทั้งหมด

กรณีที่ 2 สมมุติว่า ~ x[P(x)] เป็นเท็จ จะได้ว่า x[P(x)] เป็นจริง ดังนั้น มีสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่า x ใน P(x) จะได้ประพจน์ที่เป็นจริง จะได้ว่า มีสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์เมื่อนำไปแทนค่า x ใน ~P(x) จะได้ประพจน์ที่เป็นเท็จ ดังนั้น x[P(x)] เป็นเท็จ นั่นคือ ~ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)] กล่าวคือ นิเสธของ x[P(x)] คือ x[~P(x)]