กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได ้ n2 วิธี จำนวนวิธีที่จะเลือกทำงานทั้งสองอย่างเท่ากับ n1 n2 วิธี ขยายความถ้าเราต้องการทำงานชิ้นหนึ่งให้เสร็จ โดยที่งานชิ้นนี้ถูกทำให้เสร็จด้วยการกระทำ 2 ขั้นตอน ดังนี้ขั้นตอนที่ 1 เลือกทำได้ n1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกทำได้ n2 วิธีแล้วจำนวนวิธีที่จะทำงานชิ้นนี้ เท่ากับ n1 n2 วิธี
กฎข้อที่ 2 ถ้างานอย่างแรกมีวิธีทำได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกและงานอย่างที่ 2 มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สามได้ n3 วิธี ฯลฯ จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k อย่างเท่ากับ n1 n2 n3... nk วิธี ขยายความถ้าเราต้องการทำงานชิ้นหนึ่งให้เสร็จ โดยที่งานชิ้นนี้จะถูกทำให้เสร็จด้วยการกระทำ k ขั้นตอน ดังนี้ขั้นตอนที่ 1 เลือกทำได้ วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกทำได้ วิธีขั้นตอนที่ 3 เลือกทำได้ n3 วิธี ...
ขั้นตอนที่ k เลือกทำได้ nk วิธีแล้วจำนวนวิธีที่จะเลือกทำงานชิ้นนี้ เท่ากับ n1 n2 n3 ...nk วิธี
ตัวอย่างกฎข้อที่ 1 กิ่งมีเสื้อ 5 ตัว และมีกระโปรง 3 ตัว กิ่งจะมีวิธีแต่งตัวได้กี่วิธี
วิธีทำ การแต่งตัวของกิ่งมี 2 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 เลือกสวมเสื้อ สามารถเลือกได้ 5 วิธี
ขั้นตอนที่2 เลือกสวมกระโปรง สามารถเลือกได้ 3 วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีแต่งตัวของกิ่ง = 5×3 = 15 วิธี
ตัวอย่างกฎข้อที่ 2 ในการรับประทานอาหารคราวหนึ่ง มีอาหารคาว 3 อย่าง อาหารหวาน 2 อย่างและเครื่องดื่ม 4 อย่าง คนๆหนึ่งจะรับประทานและเครื่องชนิดละ 1 อย่าง จะรับประทานได้กี่วิธี
วิธีทำ งานนี้มี 3 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 เลือกอาหารคาว สามารถเลือกได้ 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกอาหารหวาน สามารถเลือกได้ 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกเครื่องดื่ม สามารถเลือกได้ 4 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีที่จะเลือกรับประทานอาหาร = 3 ×2 ×4 = 24 วิธี
กฎข้อที่ 3 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ n! วิธี
ตัวอย่าง จะสร้างเลข 4 หลัก จากตัวเลข 1 , 2 , 3 , 4 ได้กี่จำนวน โดยที่แต่ละหลักใช้เลขไม่ซ้ำกัน
วิธีทำ จากตัวเลขที่กำหนดมี 4 ตัว
ดังนั้น จะสร้างเลข 4 หลัก ได้ = 4! จำนวน = 120 จำนวน
กฎข้อที่ 4 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดคราวละ r สิ่ง เท่ากับ เมื่อ วิธี จากกฎข้อที่ 4 จะได้
=
ตัวอย่างกฎข้อที่ 4 มีตำแหน่งงานต่างๆว่างอยู่ 3 ตำแหน่ง แต่มีคนมาสมัครเข้าทำงาน 5 คน ทางบริษัทมีวิธีคัดเลือกคนเข้าทำงานได้กี่วิธี
วิธีทำ จากโจทย์จะได้ p = 5 และ r = 3 ( นำคนทั้งหมด 5 คนมาจัดคราวละ 3 คน )
จากกฎข้อที่ 4 =
ดังนั้นจำนวนวิธีจัดคนเข้าทำงาน = = = 5 ×4× 3 = 60 วิธี
กฎข้อที่ 5จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด เท่ากับ (n-1)! วิธี
ขยายความ1. ถ้ามีสิ่งของ n สิ่ง แตกต่างกันทุกสิ่ง นำมาจัดเรียงลำดับรอบวงกลม หรือจัดเป็นวงกลม จะมีวิธีจัดได้ (n-1)! วิธี
2. ในการนำสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง มาจัดเรียงเป็นวงกลมเพียง r สิ่ง จำนวนวิธีที่จัดได้ทั้งหมด = วิธี
3. การจัดเรียงสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง เป็นวงกลมในลักษณะที่มองได้ 2 ด้าน จำนวนวิธีที่จัดได้ = วิธี
4. การเรียงสิ่งของเหมือนกันบางสิ่ง เป็นวงกลม จำนวนวิธีที่จัดได้ = วิธี
ตัวอย่างกฎข้อที่ 5
ตัวอย่างที่ 1 มีนักเรียน 7 คน จะจัดนักเรียนทั้ง 7 คนนี้ นั่งรอบโต๊ะกลมเพื่อรับประทานอาหารได้กี่วิธีวิธีทำ เนื่องจากการนำของ n สิ่งที่แตกต่างกันมาจัดเรียงเป็นวงกลมจะทำได้ (n-1)! วิธี
ดังนั้น จัดคน 7 คน ให้นั่งรอบโต๊ะกลมได้ = ( 7-1)! วิธี = 6! = 6×5 ×4 ×3 ×2 ×1 = 720 วิธี
ตัวอย่างที่ 2 มีของ 6 ชิ้นๆละ 1 สิ่งต่างๆกัน จะกี่วิธีที่จะจัดของ 4 ชิ้น จาก 6 ชิ้นดังกล่าวมาเรียงเป็นวงกลม
วิธีทำ เนื่องจากของ n สิ่ง นำมาจัดเรียงเป็นวงกลมเพียง r สิ่ง จัดได้ วิธ ดังนั้น จำนวนวิธีจัดของ 6 ชิ้นเรียงเป็นวงกลมเพียง 4 ชิ้น จัดได้ = = = 6×5×3 = 90 วิธี
ตัวอย่างที่ 3 มีดอกไม้ 7 ดอกๆละสี จะมีวิธีนำดอกไม้ทั้งหมดมาร้อยเป็นพวงมาลัยวงกลมได้กี่วิธี
วิธีทำ เนื่องจากลักษณะการนำดอกไม้มาร้อยเป็นพวงมาลัยนี้ เป็นการจัดเรียงวงกลมแบบมองได้ 2 ด้าน หรือแบบพลิกได้ ดังนั้น จำนวนวิธีร้อยดอกไม้เป็นพวงมาลัยทำได้ = = = = 6 ×5 ×4 ×3×1 = 360 วิธี
ตัวอย่างที่ 4 มีหลอดไฟสีแดงเหมือนกัน 2 หลอด สีเหลืองเหมือนกัน 3 หลอด สีน้ำเงินเหมือนกัน 4 หลอด นำหลอดไฟทั้งหมดมาประดับฝาผนังเป็นวงกลม จะมีวิธีจัดที่แตกต่างกันกี่วิธี
วิธีทำ จากโจทย์ n = 9 , = 2 , = 3 , = 4 ดังนั้น จำนวนวิธีจัดหลอดไฟที่แตกต่างกัน = = = = = 140 วิธี
กฎข้อที่ 6 ถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่ง ในจำนวนนี้มี สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี สิ่งเหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง ... และมี สิ่ง
เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ k โดยที่ +++ . . . + = n จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนขงสิ่งของทั้ง n สิ่ง เท่ากับ
วิธี
ตัวอย่างกฎข้อที่ 6 ตัวอย่าง จะมีวิธีนำอักษรจากคำว่า " MISSISSIPPI " มาเรียงสับเปลี่ยนกันใหม่หมด ได้กี่วิธี
วิธีทำ อักษรในคำว่า " MISSISSIPPI " มีทั้งหมด 11 ตัว ดังนั้น n = 11 มีอักษร M ซ้ำกัน 1 ตัว มีอักษร I ซ้ำกัน 4 ตัว มีอักษร S ซ้ำกัน 4 ตัว มีอักษร P ซ้ำกัน 2 ตัว ดังนั้น จัดเรียงสับเปลี่ยนได้ = วิธี = = 1159275 = 34,650 วิธี
ขอบคุณมากน่ะครับสำหรับเนื้อหาทางวิชาการ ที่เป็นประโยชน์แก่ผู้เรียนมากๆ