ความตายที่มาจากจำนวนอตรรกยะ

วันนี้วันเสาร์ เรามาคุยกันเรื่องเลขกันต่อดีกว่านะครับ

ในตอนเฉลยเรื่องThe Golden Ratio (ถ้ายังไม่ได้อ่านเชิญ ตอนแรก) ได้ทิ้งท้ายไปว่า The Golden Ratio เนี่ยเป็นจำนวนอตรรกยะ หรือพูดกันง่ายๆ ก็คือจำนวนที่เราไม่สามารถทำให้เป็นรูปเศษส่วนได้โดยจำนวนนับใดๆ

วันนี้เรามาพิสูจน์กันดีกว่าครับว่า ทำไมจำนวนอตรรกยะนั้นไม่สามารถแทนด้วยรูปเศษส่วนโดยจำนวนนับใดๆได้

วิธีการพิสูจน์เรื่องนี้นั้น จะใช้วิธีพิสูจน์ที่เรียกว่า Contradiction และก็ใช้ความรู้แค่เรื่องจำนวนเลขคู่กับการยกกำลังสองครับ

มาเริ่มกันเลยดีกว่า

สมมติว่า จำนวนอตรรกยะนั้นสามารถทำให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ดังนั้นเราสามารถเขียนจำนวนอตรรกยะในรูป a/b ได้ โดยที่ a และ b เป็นจำนวนนับ

สมมติต่อกันครับ a/b= √2 แล้ว a กับ b ก็ไม่มีตัวประกอบที่เหมือนกันด้วย (ตรงนี้ดูดีๆนะครับ เพราะนี่แหละหัวใจของการพิสูจน์เลยครับ)

คราวนี้เราต้องการกำจัดรากที่สอง เราก็ยกกำลังสองทั้งสองข้าง แล้วก็จัดรูปนิดหน่อย เราก็จะได้ว่า

a²=2b² ถูกไหมครับ

งั้นก็แสดงว่า a² เป็นเลขคู่ถูกไหมครับ เพราะฉะนั้นในเมื่อ a² เป็นเลขคู่ a ก็ต้องเป็นเลขคู่ด้วยถูกไหมครับ (ไม่เชื่อลองไปหาดูก็ได้ว่า มีเลขคู่ยกกำลังสอง ตัวไหนบ้างแล้วได้เป็นเลขคี่ จ้างให้ก็หาไม่ได้หรอก :P)

ในเมื่อ a เป็นเลขคู่ เราสามารถเขียนแทนด้วย a=2c ได้ถูกไหมครับ

แทนค่า a=2c ลงไปใน  a²=2b²

เราก็จะได้ว่า (2c)²=2b²

เราก็จะได้อีกว่า b²= 2c² นั่นก็แสดงว่า b ก็เป็นเลขคู่เหมือนกับ a ถูกไหมครับ

เพราะฉะนั้นนี่ก็ผิดจากที่เราสมมติไว้ตอนแรก หมดเลยใช่ไหมครับ ก็ในเมื่อเราสมมติว่า a กับ b นั้นไม่มีตัวประกอบที่เหมือนกัน

แต่ถ้า a กับ b เป็นเลขคู่ทั้งคู่ ทั้ง a กับ b ก็มีตัวประกอบที่เหมือนกันคือ 2 ไงครับ

อ้าว นี่มันผิดไปจากที่เราสมมตินี่หว่า ก็เราบอกว่า มันไม่มีตัวประกอบที่เหมือนกัน แต่นี่เราสามารถหาได้ว่า a กับ b มีตัวประกอบที่มันเหมือนกัน ดังนั้นนั่นก็หมายความว่า มันต้องไม่มี จำนวนนับ a กับ b ที่ทำให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้

วิธีการนี้แหละครับที่เรียกว่า contradiction

หรือสรุปง่ายๆก็คือ ถ้าเราสมมติกลับกันกับ ทฤษฏี หรือข้อความที่เราต้องการพิสูจน์ (นั่นก็คือเราสมมติว่าข้อความที่เราต้องการพิสูจน์นั้นมันผิด) แต่พอพิสูจน์แล้ว พบว่า ไอ้ที่เราสมมตินั้นนะเป็นไปไม่ได้ หรือพบว่าที่เราสมมติไว้ตอนแรกเนี่ยผิด ถ้าทำได้แบบนี้แล้ว การพิสูจน์ก็สมบูรณ์ครับ

คราวนี้มาดูประวัติกันบ้าง

เรื่องจำนวนอตรรกยะนั้นเป็นที่ถกเถียงกันตั้งแต่สมัยกรีกแล้วครับ สมัยก่อนคนกรีกเนี่ย เน้นด้านเรขาคณิตครับ เรื่องเรขาคณิตนั้นก็รู้จักแต่ ความยาวของด้าน พื้นที่ ปริมาตร ดังนั้นก็สนใจแต่พวกอัตราส่วน (ratio) หรือพูดง่ายๆ อัตราส่วนของจำนวนนับ

เพราะฉะนั้นอยู่ๆจะมีจำนวนอตรรกยะ (irrational) นั้น เป็นเรื่องน่าตกใจ เรียกว่าสั่นคลอนไปถึงปรัชญาเบื้องต้นของความเป็นคนกรีกเลยทีเดียว

มันก็ดูเหมือนไม่น่าจะมีอะไรเกิดขึ้นใช่ไหมครับ เพราะว่าถ้าเราสนใจแค่พื้นที่ มันก็ไม่น่าจะเกี่ยวข้องอะไรมากกับจำนวนอตรรกยะ เรื่องมันก็น่าจะผ่านไป ก็มันไม่น่าจะเข้ามายุ่งเกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะได้

แล้วอยู่ดีๆจะมีคนกรีกรู้จักจำนวนอตรรกยะได้ยังไง ก็รู้จักมาจากปิธากอรัสนี่แหละครับ

เรายังจำทฤษฏีปิธากอรัสได้ไหมครับ ที่บอกว่า

c²=a²+b² หรือพูดง่ายๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสอง เท่ากับผลบวกของด้านประชิดมุมฉากกำลังสอง

ลองแทนค่า a=b=1 สิครับ ค่าด้านตรงข้ามมุมฉาก มันต้องเท่ากับ √2 ใช่ไหมครับ

นี่ไงครับจำนวนอตรรกยะมาโผล่ตรงนี้เอง ในสมัยกรีก

แล้วก็มีลูกศิษย์ของปิธากอรัสคนนึงครับที่ชื่อว่า ฮิปโปโปเตมัส เอ้ยไม่ใช่ชื่อ Hippasus ที่ดั้น ไปพิสูจน์ออกมาว่า √2 เป็นจำนวนอตรรกยะ ทั้งๆที่ทุก ratio ของด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยม ก็ออกจะเป็นเลขสวยงาม คือ 1:1

ลูกศิษย์ร่วมชั้น รู้เห็นก็ตกใจครับ กลัวคนกรีกจะช็อกไปด้วยเหมือนกับที่เพื่อนร่วมชั้นของHippasus รู้ แหมก็ข่าวนี้มันข่าวร้ายสุดๆ อยู่ๆจะให้คนมารู้ได้ไงว่าในโลกนี้มีเรื่องประหลาดๆแบบนี้ด้วย เพื่อป้องกันข่าวร้ายแพร่กระจายไปช็อกโลก เพื่อนร่วมห้องก็เลยจัดการโยน Hippasus ลงน้ำแล้วก็ปล่อยให้จมตายไปพร้อมกับจำนวนเลขอตรรกยะครับ

นิทานเรื่องนี้สอนให้รู้ว่า ตัวเด่นจะเป็นภัยนะครับ เพื่อนๆร่วมชั้นเหม็นขี้หน้า อาจจะซี้ม่องเท่งได้ง่ายๆ ฮ่าๆๆๆ (แต่เรื่องนี้เป็นตำนาน เล่าขานกันเฉยๆครับ ไม่มีใครยืนยันได้ว่าจริงหรือไม่จริงครับ)

ที่มา Devlin, K. J. The language of mathematics, W. H. Freeman and Company, NY. 1998

---

ไม่ทราบมีใครคิดออกบ้างหรือยังครับว่า ถ้าโลกเราไม่มีเลขศูนย์จะเป็นยังไงบ้าง

เสาร์หน้ามาดูกันครับว่า เลขศูนย์นี่ยิ่งใหญ่ขนาดไหน

ปล มีใครเคยลองเขียนโดยใช้ source code ของ html ไหมครับ ทำไมผมลองเขียน รากที่สอง กับเลขยกกำลัง แล้วมันแสดงผลมาแปลกๆก็ไม่รู้อ่ะครับ

ขอบพระคุณอาจารย์ดร. กมลวัลย์ มากครับที่ได้กรุณาบอก source code เลขยกกำลังมาให้ครับ :D

[กมลวัลย์]

สวัสดีค่ะคุณต้น

แวะมาอ่านค่ะ ยัง no comment เรื่องคณิตศาสตร์อยู่ดีค่ะ ; )

ทดลองเขียนจาก ms word นะคะ ถ้าเขียน source code ข้างล่างจะได้สมการ  

c² = a² + b²

------------------------------------------------------ 

<p><span style="font-size: 12pt; font-family: Arial">c² = a² + b²</span></p>

------------------------------------------------------ 

ไม่รู้จะ work หรือเปล่าหลังจากกดบันทึก ลองดูแล้วกันค่ะ

 

[ไปอ่านหนังสือ]

สวัสดีครับอาจารย์ดร. กมลวัลย์ ลือประเสริฐ

ขอบพระคุณอาจารย์มากนะครับ ตอนนี้ต้นกลับไปแก้ตัวเลขยกกำลังแล้ว ส่วนรากที่สองนั้น ก็ยังดูประหลาดต่อไปครับ :D

ต้น

 

[กมลวัลย์]

เรื่อง root 2 นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์โดยใช้ source code ไม่เป็นเหมือนกันค่ะ ที่ใช้อยู่ก็พอมองออกนะคะ (√2 ) ไม่งั้นต้องเขียนเป็น (2)^1/2 คนอ่านจะงงไปไหมเนี่ย ; )

[บู้บี้จัง]

อ่อ เรื่อง ของ สมการทางคณิตศาสตร์ ปวดหัวอยู่เหมือนกัน ครับในโปรเจคผม ก็ มีก็เลยลองค้นคว้าเพิ่ม เกี่ยวกับการเขียนสมการบนเวป ว่างๆ เดี๋ยวจะเขียนเป็น บทความเผื่อใครได้มาอ่าน ตอนนี้เอาคร่าวไว้ก่อน ใช้ ชุดคำสั่ง Latex แล้วก็ส่งคำสั่งไปที่ server อ่ะครับ แล้วมันจะออกมาเป็นรูปเลย แบบนี้

โค้ดก็เป้นตัวนี้ครับ http://staff1.kmutt.ac.th/~sudchai.boo/cgi-bin/mimetex.cgi?\int^\infty_{-\infty}x^2dt 

 คำสั่งคือตัวที่ เป็นไฮไลทสีเหลือง ไว้ครับ ถ้าเป็น เลขยกกำลังก็ทำได้เหมือนกัน

http://staff1.kmutt.ac.th/~sudchai.boo/cgi-bin/mimetex.cgi?c=\sqrt{a^2+b^2}

ส่วนที่ไฮโลท์ สีเขียวเป็นที่อยู่ของ server นั่นเอง ถ้า จะใช้ก็ พิมพ์คำสั่ง Latex ต่อจากเครื่องหมาย ? ครับผมแค่นี้เองง่ายม่ะ

[นักลงทุนเงินน้อย]

 แงๆๆๆ พี่ต้น ยิ่งอ่านยิ่งงงๆ

  แต่ประวัติตอนท้ายนี่น่าสนใจดีครับ เหมือนเรื่องๆอื่นๆคนสมัยก่อนอธิบายไม่ได้ ก็ว่าเป็นพ่อมดแม่มดบ้าง จับไปเผาซะก็มี แปลกดีจริงๆครับ ยอมรับสิ่งใหม่ๆไม่ได้

[ไปอ่านหนังสือ]

สวัสดีครับคุณบู้บี้จัง

ขอบคุณมากครับสำหรับทิป ผมลองแล้วแต่ก็ยังไม่ได้ออกมาตามที่ต้องการครับ เอาเป็นว่าผมจะรอ่านบล็อกของคุณบู้บี้จังล่ะกันนะครับ :D

จะได้ทำให้บล็อกออกมาสวยงามขึ้นในครั้งหน้าครับ

ขอบคุณมากครับ

[ไปอ่านหนังสือ]

สวัสดีครับคุณน้องเดอ

อ่านพิสูจน์แล้วงง ใช่ไหมครับ แต่ถ้าคุณน้องเดอยังงง แล้วจะมีกี่คนที่เข้าใจล่ะเนี่ย :(

แต่จริงๆแล้ววิธีพิสูจน์แบบ contradiction นั้นเป็นที่แพร่หลายนะครับ เอาไว้คราวหน้าค่อยมาเล่าให้ฟังก็ล่ะกันครับ

ไม่แน่ใจว่าคุณน้องเดอได้เข้าไปอ่านเจงกีสข่านหรือเปล่าครับ จำได้ไหมครับว่า Dr. Weatherford บอกว่าอีกอย่างหนึ่งที่ทำให้ มองโกล (รวมไปถึงอเมริกาด้วย) เจริญและปกครองได้เกือบทั้งโลกนั้น ก็เพราะว่าตัวเองนั้นไม่มีความเชื่อแบบดั้งเดิมหรือหัวปักหัวปำนี่แหละครับ ทำให้หยิบความรู้ ความเชื่อของคนอื่นมาประยุกต์กันทำให้เกิดองค์ความรู้ใหม่ และก็เจริญขึ้น

ไว้คุณน้องเดอ รออ่านตอนหน้าเรื่องเลขศูนย์นะครับ อ่านแล้วก็ช็อกพอๆกับจำนวนอตรรกยะเลยครับ

ต้น

 

[kuness]

ถ้าไม่มีเลขศูนย์หรอครับ

อย่างเเรกคือ จะไม่มีจุดกำเนิด origin ของ guassian plane 

อย่างสองคือ พหุนามจะไม่มีราก ซึ่งพหุนามเป็นสิ่งที่จำเป็นอย่างยิ่งในคณิตศาสตร์ 

ดูไปเเล้วเลขศูนย์นี่สำคัญมากๆเหมือนกัน

 อยากให้เขียนเรื่อง paradox in mathematics อ่ะคับ ผมชอบอ่านเเนวนี้มาก

อยากให้ดูอันนี้ด้วย เป็น paradox ที่ผมชอบมาก ทำให้ได้ว่า 4=2

x^x^x^x^... = 4  --> จะได้ว่า x= \sqrt{2} [มาจาก x^x^x^...=x^(x^x^x^...)=x^4=4 --> x= 4^1/4 = sqrt(2)]

x^x^x^x^... = 2 --> จะได้ว่า x= \sqrt{2} ทำเหมือนกัน

ดังนั้นจะเห็นว่า 4=2 

 

[wwibul]

• มันส์ดีครับ
  

[ไปอ่านหนังสือ]

สวัสดีครับคุณ kuness

ขอบคุณมากนะครับสำหรับคำตอบ เริ่มเห็นคนรู้สึกว่าเลขศูนย์สำคัญแล้วนะเนี่ย

เรื่อง paradox in math ไว้เดี๋ยวค่อยหามาเล่านะครับ

ขอบคุณครับ

[ไปอ่านหนังสือ]

สวัสดีครับอาจารย์ wwibul

ขอบพระคุณมากครับที่ได้กรุณาเข้ามาเยี่ยมชมและทักทายครับ :D

[แพรว]

ไม่เข้าใจเรื่อง จำนวนจริงอ่าคะ

งงงงงง อย่างแรงคะ

ตอนนี้อยู่มอ 2 น๊า

ม่ายเข้าใจเลยจ้า

ช่วยอธิบายหน่อยนะค่ะ

[แพรว]

บทนิยามที่สามรถเข้าใจง่ายๆ ของจำนวน

อตรรกยะ

[งง]

งง ๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ555