ลองมาดูที่มาของ หา natural log ด้วย Square root (1) ว่า มีเหตุผลเบื้องหน้าเบื้องหลังอย่างไร
ประการแรก เรารู้ว่่า ถอดรากที่สองไปหลาย ๆ ครั้ง ตัวเลขจะลู่เข้าหา 1 เสมอ
ประการที่สอง จากสูตรการอินทิเกรทของ 1/(1+x)
ค่านี้ เป็นอนุกรมอนันต์
1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ...
ถ้าอินทิเกรททั้งสองข้างพร้อมกัน
ข้างซ้ายจะเป็น ln (1+x)
ข้างขวา จะเป็น x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 +
หรือหาก x น้อยมาก ๆ ก็ได้ว่า
ln(1+x) ~ x
การที่ผมถอดรากที่สองของตัวเลขอะไรก็ตามไปซ้ำ ๆ N ครั้ง ก็เหมือนถอดรากที่ (2 ยกกำลัง N)
เช่น
รากที่ 4096 ของ 5 มีค่า 1.000 393 06
หรือนั่นคือ ถ้ามองว่า 1.000 393 06 คือ 1+x
ln(รากที่ 4096 ของ 5) ~ 0.000 393 06
แต่
ln(รากที่ 4096 ของ 5) = (1/4096) คูณ ln 5
ดังนั้น
ln 5 ~ 4096 * 0.000 393 06 ~ 1.60975
นี่คือที่มาของวิธีการในตอนก่อนครับ
กลับมาดูสูตร ln(1+x) อีกที
ซึ่งหาก x มีค่าน้อยมาก ๆ เราสามารถตัดเหลือ 1 หรือ 2 พจน์แรก
จะได้ว่า ln(1+x) ~ x - 0.5*x^2
ถ้าทำให้เทอมที่สองน้อยมากกว่าเทอมแรกมาก ๆ เราตัดเทอมที่สองทิ้งได้ด้วยซ้ำ
เมื่อไหร่ที่เริ่มตัดเทอมที่สองทิ้งได้ ?
ก็เมื่อกดเครื่องคิดเลขไปถึงจุดที่ "ครึ่งหน้าเป็นระเบียบ ครึ่งหลังไม่เป็นระเบียบ"ไงครับ
เพราะถ้าครึ่งหลัง เป็น x
การยกกำลังสองของ x จะไปกระทบตรงตัวเลขที่ถูกซ่อนอยู่ลึก ๆ ไปหลัง "ครึ่งหลังที่ไม่เป็นระเบียบ" ทำให้ผลจาก x^2 หายไปจากจอเครื่องคิดเลขพอดี
มันก็จะไม่มีผลกระทบต่อการคำนวณอีก
ถ้าเรากดเครื่องคิดเลขเพลินไปกว่าที่ควร ทำให้เป็นระเบียบเกือบตลอดแถวล่ะ ?
ก็จะทำให้เราสูญเสียจำนวนหลักของเลขนัยสำคัญไปโดยใช่เหตุ ก็จะทำให้ความผิดพลาดในการคำนวณ กลับเพิ่มขึ้นมาใหม่
จุดที่ "ครึ่งหน้าเป็นระเบียบ ครึ่งหลังไม่เป็นระเบียบ" จะเป็นจุดสมดุลที่ผลจาก x^2 น้อยที่สุด และเลขนัยสำคัญ มีจำนวนหลักมากที่สุด นี่คือจุดที่ดีที่สุดสำหรับการ "คิดด่วน" ด้วยเครื่องคิดเลขร้าย ๆ
หมายเหตุแนบท้าย
หากคิดจะทดสอบที่ผมว่ามา อย่าใช้ Excel นะครับ เพราะเขาเก็บตัวเลขไว้มากกว่าที่แสดงให้เราดู ถ้าเข้าใจไม่ผิดคือใช้จริงด้วยเลขนัยสำคัญ 16 หลัก แต่แสดงไว้แค่ 8 หลัก จะเห็นผลที่ไม่เป็นไปดังที่ว่านี้
ไม่มีความเห็น