เผ่าพันธุ์กระต่ายกับ Fibonacci number

อธิบายอนุกรมเลขฟีโบนัชชีด้วยการขยายเผ่าพันธุ์กระต่าย

ประชากรกระต่ายในมหาลัยแห่งหนึ่ง (ภาพจากวิกิพีเดีย)

สมัยผมยังเรียนปริญญาตรี วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ที่ธรรมศาสตร์ ผมได้เรียนเรื่องเลขฟีโบนัชชี ในชั่วโมงเรียนผมไม่ค่อยได้สนใจอะไรมากหรอกนะว่าเลขดังกล่าวน่าสนใจอย่างไร จนกระทั่งผมได้ยินอาจารย์บอกว่า เลขนี้อธิบายด้วยเรื่องราวการขยายเผ่าพันธุ์ของกระต่าย!

เลขฟีโบนัชชี เป็นตัวเลขอนุกรมหรือลำดับที่เรียงกัน และก็เรียงกันอย่างมีแบบแผน อนุกรมดังกล่าวค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีนามว่า Leonardo Pisano Bigollo หรือรู้จักกันกว้างขวางในนามว่า Fibonacci อันเป็นชื่อของเลขอนุกรมนี้นี่เอง หากอธิบายแบบคณิตศาสตร์ เลขฟีโบนัชชีอธิบายได้ดังนี้

F[n] = F[n-1] + F[n-2]

โดย n คือจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ขึ้นไป และกำหนดค่าตั้งต้นของ F[0] = 0 และ F[1] = 1 ถ้าอธิบายด้วยศัพท์ง่ายๆก็คือ เลขฟีโบนัชชีเกิดจากการบวกกันของเลขฟีโบนัชชีที่มีลำดับอยู่ก่อนหน้านี้ 2 ตัวติดกัน ดังนั้น อนุกรมเลขฟีโบนัชชี 10 จำนวนแรกมีดังนี้ 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

อธิบายให้เห็นการคำนวณได้ดังนี้ 

0, 1, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13+ 21 = 34

กลับมาสู่หัวข้อกันต่อว่าเผ่าพันธุ์กระต่ายไปเกี่ยวอะไรกับเลขฟีโบนัชชี

เวลาอธิบายอนุกรมของเลขฟีโบนัชชีกันเนี่ย เขายกตัวอย่างผ่านเรื่องราวการผสมพันธุ์ของกระต่าย โดยเป็นเผ่าพันธุ์กระต่ายในอุดมคติ (หรือเผ่าพันธุ์กระต่ายที่สมมติขึ้นมา ไม่มีอยู่จริงในธรรมชาติ) เพื่อให้การเล่าเรื่องการผสมพันธุ์ของกระต่าย เอ้ย! เพื่อให้การเล่าเรื่องเลขฟิโบนัชชีฟังดูเพลิดเพลิน เรามาตั้งข้อสมมติ (หรือ assumption) ของเผ่าพันธุ์กระต่ายนี้กันเถอะ (ผมอาจอธิบายต่างจากบางตำรา ก็เพื่อลดความยุ่งยากในการอธิบาย)

ข้อสมมติ มีดังนี้

1. เมื่อใดที่กระต่ายกำเนิดขึ้น กระต่ายสามารถผสมพันธุ์ได้เมื่อมีอายุครบ 1 เดือน
2. กระต่ายตัวผู้ผสมพันธุ์กับกระต่ายตัวเมียเท่านั้น (จริงๆข้อนี้เป็นที่เข้าใจกันอยู่แล้ว แฮๆ)
3. กระต่ายเมื่อมีคู่แล้ว จะไม่นอกใจ โดยจะผสมพันธุ์กับคู่รักของมันเท่านั้น และกระต่ายจะผสมพันธุ์กับคู่รักทุกๆเดือน (ไม่มีเดือนไหนว่างเว้น)
4. เมื่อกระต่ายคู่นึงผสมพันธุ์กันแล้ว กระต่ายตัวเมียจะตั้งท้อง และจะคลอดกระต่ายคู่ใหม่ 1 คู่ในเดือนถัดไป (ตั้งท้อง 1 เดือนแล้วจึงคลอด) ลูกกระต่ายที่เกิดขึ้นจะเป็นตัวผู้และตัวเมียอย่างละตัว โดยกระต่ายคู่ใหม่นี้จะเกิดมาเป็นคู่รักกัน และจะผสมพันธุ์กันเมื่อพร้อม (นั่นคือ อายุครบ 1 เดือน)
5. กระต่ายพันธุ์นี้ไม่มีวันตาย ไม่มีเหน็ดเหนื่อย เมื่อมีการผสมพันธุ์ ตัวเมียสามารถตั้งท้องและคลอดลูกได้ปลอดภัยแน่นอน

อย่าลืมว่า นี่เป็นการสมมตินะ ไม่มีกระต่ายสายพันธุ์เช่นนี้เกิดขึ้นจริง

สัญลักษณ์

1. เพื่อความง่ายในการเรียกชื่อคู่ของกระต่าย ผมขอใช้สัญลักษณ์ P(x) แทนคู่ของกระต่ายตัวผู้กับตัวเมียที่เป็นคู่รักกัน โดย x คือหมายเลขคู่ เป็นเลขที่เรียงลำดับการเกิดขึ้นก่อนหลังของคู่กระต่ายด้วย โดยกระต่ายคู่แรกมีหมายเลข 1 ดังนั้น P(1) แทนกระต่ายคู่แรกที่ถือกำเนิดขึ้นในโลกนั่นเอง
2. ขอกำหนดสัญลักษณ์ P(x)+ หมายถึง กระต่ายตัวผู้ตัวเมียคู่ที่ x ที่เพิ่งเกิดใหม่และยังไม่พร้อมผสมพันธุ์ โดยจะผสมพันธุ์กันได้ก็ต่อเมื่อกระต่ายคู่นี้มีอายุครบ 1 เดือน และเมื่อกระต่ายคู่นี้พร้อมผสมพันธุ์จึงสามารถใช้สัญลักษณ์ P(x) แบบไม่มีเครื่องหมาย "บวก" ได้
3. ขอกำหนดสัญลักษณ์ F[n] สำหรับนับจำนวนคู่กระต่ายทั้งหมดในเผ่าพันธุ์ของเดือนที่ n
4. กำหนดให้ F[0] คือช่วงเวลาก่อนที่จะมีกระต่ายถือกำเนิดขึ้นมา หรือ F[0] = 0

อธิบายการขยายเผ่าพันธุ์ของกระต่าย

ในช่วงเวลาๆใดๆ ยังไม่มีกระต่ายพันธุ์นี้ถือกำเนิดขึ้น เราเรียกช่วงเวลานี้ว่า เดือนที่ 0 โดย F[0] = 0 จนกระทั่งอยู่มาวันนึง กระต่ายคู่แรกได้ถือกำเนิดขึ้น และเดือนที่ 1 ของเผ่าพันธุ์กระต่ายจึงได้เริ่มต้นขึ้น

1. เดือนที่ 1 กระต่ายคู่แรกหรือ P(1)+ เกิดขึ้น อีกครั้งว่า ที่เป็น P(1)+ (มีเครื่องหมาย "บวก") หมายถึง คู่นี้ยังไม่โตพอที่จะผสมพันธุ์กันได้ ดังนั้น ในเดือนแรก F[1] = 1 หรือมีกระต่ายทั้งหมดเพียง 1 คู่ นั่นคือ P(1)+
2. เดือนที่ 2 กระต่ายคู่แรกผสมพันธุ์กันได้ จึงเรียกคู่นี้ว่า P(1) (ไม่มีเครื่องหมาย "บวก" แล้ว) และตัวเมียตั้งท้อง โดยในเดือนที่สอง ก็ยังมีกระต่ายแค่คู่เดียว หรือ F[2] = 1 เพราะตัวเมียเพิ่งตั้งท้อง ยังไม่ได้คลอดลูกกระต่ายออกมา (โดยใช้เวลาตั้งท้อง 1 เดือน)
3. เดือนที่ 3 กระต่ายคู่แรกให้กำเนิดลูกกระต่ายคู่ใหม่ คือ P(2)+ ทำให้ F[3] = 2 โดยมีคู่กระต่ายทั้งหมด ได้แก่ P(1), P(2)+
4. เดือนที่ 4 กระต่ายคู่แรกหรือ P(1) ให้กำเนิดลูกคู่ใหม่คือ P(3)+ ส่วน P(2) เพิ่งสามารถผสมพันธุ์ได้ ดังนั้น F[4] = 3 โดยมีคู่กระต่ายทั้งหมด ได้แก่ P(1), P(2), P(3)+
5. เดือนที่ 5 คู่ P(1) และ P(2) ให้กำเนิดกระต่าย 2 คู่ใหม่คือ P(4)+ และ P(5)+ ส่วน P(3) เพิ่งพร้อมผสมพันธุ์ ดังนั้น F[5] = 5 โดยมีคู่กระต่ายทั้งหมด ได้แก่ P(1), P(2), P(3), P(4)+, P(5)+
6. เดือนที่ 6 คู่ P(1), P(2), P(3) ให้กำเนิดกระต่าย 3 คู่ใหม่คือ P(6)+, P(7)+ และ P(8)+ ส่วน P(4) และ P(5) เพิ่งสามารถผสมพันธุ์ได้ ดังนั้น F[6] = 8 โดยมีคู่กระต่ายทั้งหมด ได้แก่ P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6)+, P(7)+, P(8)+

ขออธิบายถึงแค่ 6 เดือนก็พอนะ จะเห็นได้ว่า F[6] หรือจำนวนคู่ของกระต่ายในเดือนที่หกมีทั้งหมด 8 คู่ด้วยกัน เอ๊ะ! สังเกตเห็นอะไรไหมครับ ลองกลับไปดูสมการ F[n] = F[n-1] + F[n-2] ด้านบนอีกที (คุ้นๆไหมเอ่ย)  ลองเขียนออกมาเป็น F[6] = F[5] + F[4] ดูซิ ซึ่งแทนค่า F[5] กับ F[4] เข้าไป จึงได้ว่า F[6] = 5 + 3 = 8 อ้อ! นั่นคือ เลขฟิโบนัชชีตัวที่ 6 ที่เกิดจากเลขฟิโบนัชชีตัวที่ 5 กับตัวที่ 4 รวมกันนั่นเอง

โดยสรุปจากเรื่องราวของกระต่าย F[n] ก็คือ จำนวนคู่รักของกระต่าย และก็เป็นเลขฟิโบนัชชีด้วยประการฉะนี้แล 

โพสต์ครั้งแรกที่ JavaBoom Collections