การสื่อสารคณิตศาสตร์

การสื่อสารคณิตศาสตร์ คืออะไร?

การสื่อสารคณิตศาสตร์ (Mathematics Communication) ตามแนวคิดของ Emori (2005)

แปลและเรียบเรียงโดย

สัมพันธ์ ถิ่นเวียงทอง

คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น

แนวคิดพื้นฐานของบทความที่จะนำเสนอต่อไปนี้ก็คือ การสื่อสารเป็นกระบวนการซึ่งสร้างขอบเขตความเข้าใจร่วม (consensus domain) ซึ่งอาศัยการสื่อสารเมนทอลสเปซ (mental spaces) ของผู้ที่เข้าร่วมในการสื่อสารนั้น ในบทความนี้ เราพิจารณาถึงชนิดของเมนทอลสเปซที่เฉพาะเจาะจงซึ่งถูกสร้างขึ้นมาโดยความรู้ (knowledge) และความเข้าใจ (sense) ซึ่งได้รับการส่งเสริมให้เกิดขึ้นในขณะที่เรียนรู้คณิตศาสตร์ และเราจะนิยาม “การสื่อสารคณิตศาสตร์” ในฐานะที่เป็นการสื่อสารที่อาศัยเมนทอลสเปซชนิดต่างๆ ที่จะกล่าวถึงต่อไปนี้

1. เมนทอลสเปซและการสื่อสารคณิตศาสตร์ (Mental Spaces and Mathematics Communication)

Fauconnier (1994) ได้ให้คำนิยามของ “เมนทอลสเปซ (mental spaces)” ว่าเป็นสิ่งที่สร้างขึ้นในสมอง (mind) ของเรา ซึ่งถูกทำให้เกิดขึ้นในขณะที่มีการแสดงออกทางภาษา เขากล่าวว่าแต่ละการแสดงออกทางภาษานั้นล้วนเกี่ยวข้องกับเมนทอลสเปซเสมอ และเขายังกล่าวไว้ว่าคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์เชิงวิชาการที่ทำหน้าที่ก่อให้เกิดเมนทอลสเปซชนิดหนึ่ง และในบทความนี้เราก็เน้นไปที่เมนทอลสเปซชนิดนี้ ซึ่งมันมีความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับกิจกรรมการคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์เชิงการสื่อสาร (communicating mathematics) ของพวกเรา ดังนั้นเราจึงนิยาม “การสื่อสารคณิตศาสตร์ (mathematics communication)” เป็นการสื่อสารที่เฉพาะเจาะจงซึ่งก่อให้เกิดเมนทอลสเปซดังกล่าว

2. องค์ประกอบของเมนทอลสเปซ (Components of Mental Space)

สำหรับการมีส่วนร่วมในการสื่อสารคณิตศาสตร์ มันมีความจำเป็นต้องเข้ารหัส (code) และถอดรหัส (decode) ข้อความ (messages) ด้วยการใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์บางส่วน ชิ้นส่วนของความรู้เหล่านี้ไม่ได้แยกกันอยู่อย่างกระจัดกระจาย แต่ละชิ้นส่วนความรู้มีความเกี่ยวข้องและสัมพันธ์กันกับชิ้นส่วนความรู้อื่นๆ เมื่อชิ้นส่วนเหล่านั้นถูกจดจำไว้ในฐานะที่เป็นความรู้ กลไกเกี่ยวกับความจำของเราสามารถระลึกถึงเซตของความรู้ที่มีความสัมพันธ์กัน มีลักษณะเชื่อมโยงเป็นห่วงโซ่และถูกสร้างขึ้นมาสำหรับเป็นสิ่งเร้าข้อความ (messages) เชิงภาษาจากคนอื่น ในบทความนี้ เราพยายามที่จะอธิบายเหตุผลว่าทำไมการสื่อสารมันถึงนำมาซึ่งสารสนเทศ (information) มากกว่าการถอดรหัสการกระทำเชิงภาษา ซึ่งจะอธิบายโดยอาศัยทฤษฎี relevance theory (Sperber & Wilson, 1993)

3. ขอบเขตความเข้าใจร่วม (Consensus Domain)

มันไม่เป็นจริงเลยที่ว่า เมนทอลสเปซของแต่ละคนที่เข้าร่วมในการสื่อสารนั้นจะตรง (congruent) กันกับเมนทอลสเปซของคนอื่น แต่เราก็ตั้งสมมติฐานว่า บางขอบเขตของเมนทอลสเปซจะตรงกับเมนทอลสเปซของคนอื่นซึ่งมีลักษณะเข้าคู่กัน (counterpart) เราเรียกขอบเขตนี้ว่า “ขอบเขตความเข้าใจร่วม (consensus domain)” เราเสนอแนะว่าขอบเขตความเข้าใจร่วมนี้เป็นฐานสำหรับการกำหนดการสื่อสารของเรา นอกจากแนวความคิดนี้แล้วก็มีแนวความคิดอื่นๆ อีกเกี่ยวกับประเด็นที่ว่า “consensual domain” คืออะไร ซึ่ง Richard (1991) ได้นำคำศัพท์นี้มาจากชีววิทยา (biology) และนำมาใช้ศึกษาในคณิตศาสตรศึกษา เขาได้ให้คำจำกัดความของ “consensual domain” ว่าหมายถึงสถานการณ์ที่คนเราสามารถแลกเปลี่ยนเรียนรู้แนวความคิดทางคณิตศาสตร์บางอย่าง ดังนั้น แนวความคิดเกี่ยวกับ “consensus domain” ในที่นี้ จึงต่างจากแนวความคิดเกี่ยวกับ“consensual domain” ที่ Richard กล่าวไว้

4. โมเดลและห่วงโซ่พื้นฐานของการสื่อสารคณิตศาสตร์ (Fundamental Model and Chains of Mathematics Communication)

(1) โมเดลเชิงการเข้ารหัสและโมเดลเชิงการอ้างอิง (Code model and inferential model)

มีความสอดคล้องกับทฤษฎีที่เกี่ยวข้องที่ว่า การสื่อสารจะประสบความสำเร็จโดยการเข้ารหัสกับการถอดรหัสข้อความ (messages) ในบางกรณี หรือโดยการนำเสนอสิ่งเร้าบางอย่างซึ่งเป็นสิ่งที่ส่งไปยังผู้รับ สำหรับการนำไปสู่การอ้างอิงที่คล้ายคลึงในฐานะที่เป็นความคาดหวังของผู้ส่งสารสู่ผู้รับสารในกรณีอื่นๆ ด้วย Sperber & Wilson (1993) ได้กล่าวถึงทั้งโมเดลเชิงการเข้ารหัส (code model) และโมเดลเชิงการอ้างอิง (inferential model) ว่าเป็นสิ่งที่สามารถใช้สำหรับการอธิบายการสื่อสารของเรา เพื่อยืนยันว่าเป็นโมเดลพื้นฐานของการสื่อสาร ในบทความนี้ เราเห็นด้วยกับ Sperber & Wilson โดยยอมรับว่าโมเดลทั้งสองนั้นเป็นโมเดลพื้นฐานของการสื่อสาร

(2) ห่วงโซ่ที่มีความเข้าใจร่วม (Coordinate chain)

ในระยะเริ่มแรกของการสื่อสารของเรา เรามีความตั้งใจที่จะทำให้เกิดขอบเขตความเข้าใจร่วมโดยการเข้ารหัสและการถอดรหัสข้อความที่สั้นที่สุด เราให้คำจำกัดความของห่วงโซ่เชิงการสื่อสารชนิดนี้ว่า “ห่วงโซ่ที่มีความเข้าใจร่วม (coordinate chain)” ตัวอย่างเช่น ถ้าเราต้องการเข้าใจการสื่อสารซึ่งไม่ได้มีการส่งหรือการรับข้อความนั้นเลย ลองพิจารณาข้อความ “วงกลมวงหนึ่งมีรัศมี 1 เซนติเมตรซึ่งถูกเขียนขึ้น (inscribed) ด้วยวงกลมที่มีรัศมี 2 เซนติเมตร” มันจำเป็นสำหรับเราว่าต้องมีความรู้ทางคณิตศาสตร์สำหรับการถอดรหัส (ถอดความหมาย) คำว่า “วงกลมวงหนึ่งมีรัศมี 2 เซนติเมตร(หรือ 1 เซนติเมตร)” และคำว่า “ถูกเขียนขึ้น (inscribed)” รวมทั้งความหมายเชิงคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิต (topology) การพูดเกี่ยวกับเรขาคณิตถึงตำแหน่งที่แน่นอนของวงกลมที่มีรัศมี 1 เซนติเมตร เป็นสิ่งที่ไม่ได้กำหนดไว้ในการสื่อสารนี้แต่ก็ไม่ใช่ปัญหาสำหรับทุกๆ คน ภาพที่เกิดขึ้นในใจ (mental image) สำหรับวงกลมสองวงนี้จะถูกกำหนดขึ้นในเมนทอลสเปซของผู้ส่งสารและผู้รับสารซึ่งแยกกันอยู่ ถ้าภาพที่เกิดขึ้นในใจเหมือนกันแล้ว ความคิดรวบยอดอื่นๆ ที่สัมพันธ์กันก็จะถูกสร้างขึ้นในเมนทอลสเปซของผู้ส่งสารและผู้รับสาร ดังนั้นเราจึงสามารถสร้างขอบเขตความเข้าใจร่วมได้ ขอบเขตความเข้าใจร่วมนี้เป็นหัวใจของการพัฒนาเมนทอลสเปซของผู้เข้าร่วมสื่อสารในขณะที่กำลังสื่อสารกันอยู่ มันเป็นส่วนหนึ่งของเมนทอลสเปซส่วนบุคคลและมันถูกสร้างขึ้นโดยผ่านกระบวนการเชิงสังคม เพราะฉะนั้น มันจึงมีความจำเป็นสำหรับการสร้างขอบเขตความเข้าใจร่วมในการสื่อสารแต่ละครั้ง

(3) ห่วงโซ่แบบกลมกลืนกัน (Resonant chain)

โดยปกติการสื่อสารของเราไม่เพียงแต่ทำให้เราถอดรหัสข้อความเท่านั้น แต่ยังทำให้เราระลึกถึงเซตของความรู้ที่เกี่ยวข้องกับการเข้ารหัสด้วย กลไกนี้นำเราไปเกี่ยวข้องกับเรื่องเศรษฐศาสตร์ของการสื่อสาร กล่าวคือ มีความเป็นไปได้ที่จะส่งข้อมูลได้มากกว่าสิ่งที่ผู้ส่งสารพูดถึง ข้อมูลส่วนที่เพิ่มเข้ามาก็ขึ้นอยู่กับว่าผู้ส่งสารตั้งใจที่จะส่งสารอะไร ณ ขณะเวลานั้นๆ เราให้คำจำกัดความของห่วงโซ่เชิงการสื่อสารชนิดนี้ว่า “ห่วงโซ่แบบกลมกลืนกัน (resonant chain)” และในห่วงโซ่แบบกลมกลืนกันนี้ ปรากฏการณ์เกี่ยวกับความกลมกลืนของความคิดจะทำให้เกิดห่วงโซ่เชิงการสื่อสารขึ้น

(4) ห่วงโซ่ที่เหนือกว่า (Transcendent chain)

ในขณะที่มีห่วงโซ่ที่มีความเข้าใจร่วม (coordinate chain) หรือห่วงโซ่แบบกลมกลืนกัน (resonant chain) โดยปกติแล้ว เมนทอลสเปซเริ่มแรกของผู้ส่งสารจะใหญ่กว่าเมนทอลสเปซที่ผู้รับสารสร้างขึ้นจากข้อความที่ได้รับ แต่ในกรณีที่เป็นการสื่อสารระหว่างผู้เข้าร่วมที่มีความรู้แตกต่างกันมาก เช่น กรณีของการสื่อสารระหว่างนักเรียนและครู มีความเป็นไปได้บางอย่างที่ครูสามารถสร้างเมนทอลสเปซที่ใหญ่กว่าเมนทอลสเปซเริ่มแรกของนักเรียน มันไม่เพียงพอสำหรับการอธิบายกระบวนการสื่อสารของเรา ถ้ามีเพียงแค่การเข้ารหัส (coding) และการถอดรหัส (decoding) ข้อความในฐานะที่เป็นห่วงโซ่ที่มีความเข้าใจร่วม รวมถึงความตั้งใจของผู้ส่งสารผ่านการระลึกถึงความรู้ที่เกี่ยวข้องในฐานะที่เป็นห่วงโซ่แบบกลมกลืนกัน รวมทั้งการสะท้อนกลับ (feeding back) ถึงความเข้าใจของผู้รับสารว่า ผู้ส่งสารมีความตั้งใจที่จะสื่อสารอะไร เราจึงเสนอว่ามีกรณีอื่นๆ ที่ผู้รับสารสามารถสร้างเมนทอลสเปซที่ใหญ่กว่าเมนทอลสเปซที่ผู้ส่งสารคาดหวังไว้ เรานิยามชนิดของห่วงโซ่เชิงการสื่อสารแบบนี้ว่า ห่วงโซ่ที่เหนือกว่า (transcendent chain) ในความหมายที่ว่า ผู้รับสารมีความสามารถมากกว่าผู้ส่งสาร

(5) ห่วงโซ่แบบอิมเมอร์เจนท์ (Emergent chain)

ในส่วนนี้ เราพิจารณาอีกชนิดหนึ่งของห่วงโซ่เชิงการสื่อสารจากมุมมองที่เกี่ยวกับการสร้างแนวความคิดใหม่ผ่านการสื่อสารซึ่งมีอยู่ 2 ประเภท ที่เกี่ยวกับระดับการสร้างแนวคิดใหม่ ประเภทแรกคือการค้นพบหรือการสร้างแนวความคิดใหม่โดยได้รับการช่วยเหลือจากผู้อื่นที่เข้าร่วมในการสื่อสาร ซึ่งเป็นผู้ที่มีแนวความคิดนั้นอยู่ก่อนแล้ว กระบวนการเกี่ยวกับการค้นพบหรือการสร้างแนวความคิดใหม่แบบนี้ถูกจัดให้อยู่ในฐานะที่เป็นห่วงโซ่แบบกลมกลืนกันจากมุมมองของการศึกษานี้ ประเภทที่สองคือการสร้างแนวความคิดใหม่ที่ปรากฏขึ้นในสถานการณ์ที่ไม่รู้แนวความคิดนั้นมาก่อน กล่าวคือ แนวความคิดนั้นเป็นแนวความคิดใหม่สำหรับทุกคนที่เข้าร่วมสื่อสาร ในกรณีนี้ แนวความคิดที่ถูกสร้างขึ้นใหม่ไม่ได้เกิดจากความตั้งใจของผู้ส่งสารหรือไม่ได้ถูกนำมาโดยผู้รับสารเพียงคนเดียว แนวความคิดที่ถูกสร้างขึ้นใหม่นั้นไม่ได้ถูกเก็บไว้ก่อนหน้านี้ทั้งผู้ส่งและผู้รับสาร มันถูกสร้างขึ้นโดยผ่านการแลกเปลี่ยนแนวความคิดของเขาเหล่านั้นและสิ่งเร้าบางอย่างซึ่งเป็นสิ่งที่อยู่ภายนอกข้อความที่ต้องการสื่อสาร เรานิยามชนิดของห่วงโซ่เชิงการสื่อสารนี้ว่า “ห่วงโซ่แบบอิมเมอร์เจนท์ (emergent chain)” ในห่วงโซ่แบบอิมเมอร์เจนท์นี้ อะไรก็ตามที่ผู้ส่งสารได้ส่งไปกระตุ้นความคิดของผู้รับสาร สิ่งนั้นจะมีขอบเขตกว้างขวางกว่าเมนทอลสเปซเริ่มแรกของผู้ส่งสาร ในเมนทอลสเปซที่ถูกเร้าและถูกกระตุ้นของผู้รับสาร เซตที่ไม่ได้ถูกเชื่อมโยงมาก่อนและเครือข่ายความรู้ที่ไม่ได้ตระหนักมาก่อนจะถูกเชื่อมโยงอย่างเหมาะสม ดังนั้นแล้ว เครือข่ายความรู้ที่ถูกสร้างขึ้นใหม่จะทำให้เกิดแนวความคิดใหม่นั่นเอง

5. ประสิทธิภาพของการสื่อสารสู่การคิดเชิงคณิตศาสตร์ (Effectiveness of Communication toward Mathematical Thinking)

การสื่อสารเป็นกิจกรรมสำหรับการสร้างขอบเขตความเข้าใจร่วมบนเมนทอลสเปซของพวกเรา การสื่อสารให้โอกาสกับผู้เข้าร่วมทุกคนเพื่อปรับโครงสร้างเมนทอลสเปซ ซึ่งดูเหมือนว่าจะเป็นเรื่องยากมากๆ สำหรับพวกเราที่จะเปลี่ยนแปลงหรือปรับโครงสร้างเมนทอลสเปซโดยตัวเราเพียงลำพัง

เอกสารอ้างอิง

Emori, H. (1997). Mathematics Communication. In K. Tejima (Ed.). Rethinking Lesson Organization in School Mathematics. (pp.44-60). Japan: Japan Society of Mathematics Education.

Emori, H. (2005). The Workshop for Young Mathematics Educations in Thailand 2005 Building up the Research Agenda for the next 10 year, 2006 -2015. Khon Kean: Khon Kean University.

[ช.โชติรส]

เป็นวิทยาทานแก่ผู้ที่สนใจมากค่ะ