ตัวอย่างที่ 12 จงตรวจสอบว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ ก. f(x) = 1/x - 3
ข. g(x) = x2 + 2x + 1
|
|
ตัวอย่างที่ 13
ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลดในเซตที่กำหนดให้หรือไม่
ก. f(x) = 2x3+1,[-2,2]
ข. g(x) = 4-3x,R
ค. h(x) = 2-x2,R
|
|
ในการพิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดให้ว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลดในเซตที่กำหนดให้
ถ้าพบว่าไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่ม(หรือลด) จะสรุปว่าเป็นฟังก์ชันลด(หรือเพิ่ม)ไม่ได้
ต้องทำการตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชันลด(หรือเพิ่ม)หรือไม่ ตามบทนิยาม
และที่สำคัญจะต้องไม่เรียกฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่ม(หรือลด) ว่าฟังก์ชันไม่เพิ่ม(หรือไม่ลด)
เพราะคณิตศาสตร์มีบทเรียนเรื่องนี้อยู่ด้วย แต่เกรงว่าจะเป็นเรื่องที่ทำให้สับสนจึงไม่ได้เสนอไว้ในบทเรียนนี้
1.ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกแต่ละตัวในโดเมนของความสัมพันธ์นั้นไปจับคู่สมาชิกในเรนจ์
เพียงตัวเดียวเท่านั้น
2. ความสัมพันธ์จะไม่เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวในโดนเมนของความสัมพันธ์นั้นไปจับคู่
สมาชิกในเรนจ์มากกว่าหนึ่งตัว
3. ความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน จะมีลักษณะการจับคู่ของสมาชิกในโดเมนกับสมาชิกในเรนจ์ 2 แบ
ก.one to one |
XY
|
ข. many to one |
|
4. ความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นฟังก์ชัน จะมีลักษณะการจับคู่ของสมาชิกในโดเมนกับสมาชิกในเรนจ์
ดังนี้ one to many
5. ค่าของฟังก์ชัน f ที่ x
นิยาม ค่าฟังก์ชัน f ที่ x หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f(x)
ตัวอย่าง f(1) หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน f เมื่อ x=1
h(-3) หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน g เมื่อ x=2
หมายเหตุ
1. ถ้าโจทย์กำหนดว่า f(1) =2 ต้องรู้เองว่า ในฟังก์ชัน f ถ้า x=1 จะได้ y=2 หรือ (1,2) ....f
2. ถ้าโจทย์กำหนด f ={(1,a),(2,b),(3,c)} หมายถึง f(1) = a, f(2) = b,f(3) = c
6.จากบทนิยาม กล่าวง่าย ๆ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง คือฟังก์ชันที่สมาชิกแต่ละตัวในเรนจ์ของฟังก์ชันนั้น
มีสมาชิกในโดเมนเพียงตัวเดียวเท่านั้นมาจับคู่ และฟังก์ชันที่ไม่เป็น 1-1 ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวในเรนจ์
ของฟังก์ชันนั้นที่มีสมาชิกในโดเมนมากกว่าหนึ่งตัวมาจับคู่
7. วิธีการตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่
1. ถ้ากำหนดฟังก์ชันแบบแจกแจงสมาชิก
วิธีการตรวจสอบ "ให้ดูที่สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ"
ถ้าไม่ซ้ำกัน แสดงว่าฟังก์ชันเป็นแบบ1-1
ถ้ามีซ้ำกัน แสดงว่าไม่ใช่ฟังก์ชัน 1-1
ตัวอย่างโจทย์ f(1) = {(1,2),(1,3),(2,2),(3,4)}
จะเห็นว่ามีสมาชิกอยู่ 2 คู่ ที่มีสมาชิกตัวหลังซ้ำกัน สรุปได้ว่าไม่ฟังก์ชันเป็นแบบ 1-1
2. ถ้ากำหนดแบบบอกเงื่อนไข
วิธีตรวจสอบ "ให้สมมติให้ค่า y ที่อยู่ในเรนจ์ของฟังก์ชันนั้นขึ้นมา 1 ค่า แทนลงในเงื่อนไขของฟังก์ชัน
แล้วหาค่า x ออกมา"
ถ้าได้ค่า x ค่าเดียว แสดงว่า ฟังก์ชันนั้นเป็นแบบ 1-1
ถ้าได้ค่า x มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าไม่เป็นแบบ 1-1
ตัวอย่างโจทย์
f(x) = x2+2x-2 วิธีทำให้สมมติค่า f(x) = y =1 เมื่อแทนค่าแล้วจะได้ x=-3,1 ซึ่งแสดงว่า
เงื่อนไขนี้ไม่เป็นฟังก์ชันแบบ 1-1
3. ถ้ากำหนดเป็นกราฟ
วิธีการตรวจสอบ "ให้ลากเส้นตรงตั้งฉากกับแกน y ตัดกราหของฟังก์ชันนั้น"
ถ้าตัดกราฟเพียงจุดเดียว แสดงว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1
ถ้าตัดกราฟมากกว่า 1 จุด แสดงว่า ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1
8.วิธีการตรวจสอบว่า f เป็งฟังก์ชันจาก A ไป B หรือไม่
1. หา Df
ถ้า Df .A สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
ถ้า Df =.A ยังสรุปไม่ได้ต้องพิสูจน์ต่อไปว่า
2. หา Rf
ถ้า Rf B สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
ถ้า Rf B สรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
9. วิธีการตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B หรือไม่
1. หา Df
ถ้าDf A สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
ถ้าDf =.A ยังสรุปไม่ได้ต้องพิสูจน์ต่อไปว่า
2. หา Rf
ถ้า Rf B สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชัน A ไปทั่วถึง B
ถ้า Rf = B สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชัน A ไปทั่วถึง B