การจัดการเรียนรู้แนวใหม่ สไตล์ ศตวรรษที่ 21

          เทคโนโลยีเข้ามามีบทบาทสำคัญในวงการการศึกษาเป็นอย่างมาก ในศตวรรษก่อนหน้านั้นมีทฤษฎีและแนวคิดเกี่ยวกับการเรียนรู้ และการสอนใหม่ ๆ เกิดขึ้น ทฤษฎีที่ได้รับความนิยมและก่อให้เกิดความเปลี่ยนแปลงทางด้านการเรียนการสอนเป็นอย่างมาก ยกตัวอย่างเช่น ทฤษฎีการสร้างความรู้ (Constructivism) ทฤษฎีการเรียนรู้แบบร่วมมือ รวมไปถึงผลการวิจัยทางด้านสมอง (Brain research) ซึ่งให้มุมมองเกี่ยวกับการเรียนรู้และการจัดการเรียนการสอนที่แตกต่างไปจากเดิม จากการสอนที่เน้นให้ครูเป็นผู้ถ่ายทอดความรู้ให้แก่ผู้เรียน โดยอาศัยความสามารถและจิตวิทยาการสอนส่วนตัว มาเป็นการให้ครูนำความรู้ทางด้านจิตวิทยาของการเรียนรู้มาใช้ในการจัดเตรียมการสอนการสอน โดยมุ่งเน้นให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้ได้ดี (Instruction) ดังนั้นการเรียนรู้จึงเป็นกระบวนการที่ผู้เรียนจะต้องลงมือปฏิบัติและกระทำด้วยตนเอง

        การจัดการเรียนรู้แนวใหม่ สไตล์ ศตวรรษที่ 21 สามารถทำได้จริงหรือไม่ เนื่องจากเทคโนโลยีที่ก้าวหน้าอย่างรวดเร็ว และเข้ามามีบทบาทในการเรียนรู้มากขึ้น การพัฒนาหลักสูตรการศึกษาของไทย ไดมีพัฒนาการ มาเป็นระยะ ๆ ตามกาลเวลาในสมัยต่าง ๆ เริ่มตั้งแต่สมัยก่อนกรุงสุโขทัย สมัยกรุงสุโขทัย สมัยกรุงศรีอยุธยา สมัยกรุงธนบุรี สมัยกรุงรัตนโกสินทร์ตอนต้น สมัยกรุงรัตนโกสินทร์ตอนกลาง การศึกษาสมัยปฏิรูปการศึกษา (2435-2475) สมัยหลังเปลี่ยนแปลงการปกครอง หลักสูตรพุทธศักราช 2521-2524

        หลักสูตรประถมศึกษา พุทธศักราช2521 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533) หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนต้น พุทธศักราช 2521 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533) หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลาย พุทธศักราช 2524

(ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533) มาจนถึงหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 และไดเปลี่ยนเป็นหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 หลักสูตรดังกล่าว เป็นหลักสูตรแกนกลางที่ใช้ในการจัดการศึกษาให้กับเยาวชนไทย และถึงแม้ว่าจะมีการจัดอบรมครูเกี่ยวกับหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐานหลายต่อหลายครั้ง ก็ยังไม่สามารถทำให้ครูเข้าใจถึงหลักสูตรแกนกลางอย่างถ่องแท้ว่าควรจะพัฒนาผู้เรียนไปในทิศทางใดจึงจะเหมาะสม ถูกต้อง และให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้ตามทักษะ และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ตามความต้องการได้

        หากจะพูดถึงผู้เรียนในปัจจุบัน มีการเปลี่ยนหลักสูตรบ่อยครั้งและใช้หลักสูตรไม่เหมาะสมกับสภาพความเป็นจริง และสภาพท้องถิ่น ส่งผลให้เด็กและเยาวชนขาดแรงจูงใจในการศึกษา ขาดต้นแบบที่ดี มีความมั่นใจในตนเองในทางที่ผิด มีค่านิยมและพฤติกรรมตามเพื่อนในกลุ่ม เห็นคุณค่าของวัตถุ ผู้มีทรัพย์สินและอำนาจมากกว่าความซื่อสัตย์สุจริต ความขยันหมั่นเพียรในการประกอบอาชีพ เด็กและเยาวชนจึงมีค่านิยมรักความสะดวกสบายมากกว่าความพยายาม ขาดวินัยและไม่ชินกับการทำงานหนัก บริโภคข้อมูลข่าวสารและสื่อสารสนเทศอย่างไม่ถูกต้อง ทำให้เกิดปัญหามากมายตามมา เช่น ขาดแบบแผนการดำเนินชีวิต ใช้สื่อที่ไม่เหมาะสม เด็กและเยาวชนตกเป็นเหยื่อโฆษณา บริโภคสินค้าฟุ่มเฟือยและมีการเลียนแบบพฤติกรรมอย่างไม่เหมาะสม เป็นหน้าที่ของครูที่จะจัดการเรียนรู้แนวใหม่ เพื่อให้นักเรียนมีคุณภาพตามมาตรฐานทางการศึกษาเสียที คำว่า “โรงเรียนมาตรฐานสากล” เข้ามีมีบทบาทมาก เนื่องจาก ปี 2558 ที่จะถึงนี้ ประเทศไทยจะก้าวเข้าสู่ยุคประชาคมอาเซียนซึ่งการจัดการเรียนรู้จะต้องเปลี่ยนแปลงไป ครูต้องเน้นให้ผู้เรียนสร้างความรู้ ความสามารถและคุณลักษณะอันพึงประสงค์ของผู้เรียนตามมาตรฐานสากล มีคำถามเกิดขึ้นว่า การจัดการเรียนรู้จะเป็นไปได้หรือไม่ ในเมื่อยุคสมัยเปลี่ยนไป อะไร ๆ ก็เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา

                แนวคิดในศตวรรษที่ 20 ที่กล่าวถึง ความหมายของการเรียนการสอน เอาไว้ว่า

        1. การเรียนการสอนต้องคำนึงถึงการเรียนรู้ของผู้เรียน

        2. การเรียนการสอนเป็นการถ่ายทอดความรู้ ทักษะ และเจตคติต่าง ๆ โดยมีการเตรียมการ วางแผนตามหลักวิชา มีขั้นตอนและกระบวนการสอนที่เป็นแบบแผนชัดเจน มีกิจกรรมการเรียนรู้ที่ให้ผู้เรียนมีส่วนร่วม โดยให้ครู เป็นผู้ถ่ายทอดความรู้ และทักษะต่าง ๆ

การนำทฤษฎี หลักการ และแนวคิดเกี่ยวกับการเรียนรู้ และการสอนจากอดีต มาสู่ศตวรรษที่ 21 แนวคิดเหล่านั้นยังมีอิทธิพลต่อการศึกษาเป็นอย่างมาก เพียงแต่ครูผู้สอนจะนำทฤษฎีการเรียนรู้เหล่านั้น มาสู่กระบวนการจัดการเรียนการสอนอย่างไร

             ทิศนา แขมมณี รองศาสตราจารย์ คณะครุศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ได้กล่าวถึง ทฤษฎีเกี่ยวกับการเรียนรู้ในช่วงศตวรรษที่ 20 และการประยุกต์สู่การสอนว่า “ทฤษฎีการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 20 นั้น เริ่มมีลักษณะของความเป็นวิทยาศาสตร์มากขึ้น มีการทดลองตามกระบวนการทางวิทยาศาสตร์เป็นลำดับ และสามารถจัดทฤษฎีการเรียนรู้เป็นกลุ่มใหญ่ ๆ ได้ 4 กลุ่ม คือ

1. ทฤษฎีการเรียนรู้กลุ่มพฤติกรรมนิยม (Behaviorism)

2. ทฤษฎีการเรียนรู้กลุ่มพุทธินิยม หรือกลุ่มความรู้ความเข้าใจ (Cognitivism)

3. ทฤษฎีการเรียนรู้กลุ่มมนุษยนิยม (Humanism)

4. ทฤษฎีการเรียนรู้กลุ่มผสมผสาน (Eclecticism)”

ซึ่งทฤษฎีเหล่านี้ ครูหลายท่านสามารถนำมาประยุกต์ใช้ในการจัดการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21 ได้

หากกล่าวถึงศตวรรษที่ 21 ถือเป็นช่วงเวลาที่ท้าทายความสามารถของครู เพราะเป็นยุคที่ต้องเผชิญหน้ากับการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นอย่างรวดเร็ว การรับรู้ข่าวสารต่าง ๆ สามารถรับรู้ได้เพียงแค่คลิกที่ปลายนิ้ว ครูจำเป็นต้องปรับแนวทางการจัดการเรียนรู้ เพื่อให้ผู้เรียนรักที่จะเรียนรู้ตลอดชีวิต มีทักษะชีวิต ทักษะการคิด และทักษะทางด้านไอที อย่างถูกต้องและเหมาะสม

The Flipped Classroom หรือ การจัดการเรียนรู้แบบ “พลิกกลับ” คือวิธีการเรียนแนวใหม่ที่พลิกจากการเรียนในตำราการเรียนการสอนแบบเดิม ๆ คือ เริ่มจากครูผู้สอน สอนในห้องเรียน ให้นักเรียนกลับไปทำการบ้านส่ง มาเปลี่ยนเป็นการจัดการเรียนรู้แบบพลิกกลับนั้น คือ ให้ผู้เรียนเป็นผู้ค้นคว้าหาความรู้ด้วยตนเองผ่าน “เทคโนโลยี” ที่ครูจัดหาให้ก่อนเข้าชั้นเรียน และมาทำกิจกรรมโดยมีครูคอยแนะนำในชั้นเรียนแทน จะเน้นให้ผู้เรียนได้เห็นและปฏิบัติจากประสบการณ์จริง ทำให้ผู้เรียนมีการจดจำและเกิดทักษะการเรียนรู้ได้ดีกว่าที่จะเรียนแบบเดิม ๆ

เกิดคำถามขึ้นมาอีกว่า “การจัดการเรียนการสอนแบบพลิกกลับนั้น ในประเทศไทยทำได้หรือไม่” คำตอบที่ได้คือ ทำได้หากเกิดจากความร่วมมือของทุกฝ่าย ไม่ว่าจะเป็นทั้งภาครัฐ ในเรื่องการสนับสนุนอุปกรณ์การเรียนรู้ที่ทันสมัยให้กับโรงเรียนทุกโรงเรียน ไม่ว่าจะในตัวเมือง หรือนอกเมือง ทุกโรงเรียนต้องได้รับการจัดสรรอุปกรณ์อย่างครบถ้วน เท่าเทียม ตามจำนวนนักเรียนที่มีอยู่จริง ความร่วมมือจากครูผู้สอน ที่จะเปลี่ยนแปลงตัวเองให้ยอมรับเทคโนโลยีใหม่ ๆ ยอมที่จะเรียนรู้สิ่งใหม่ ๆ ซึ่งเชื่อว่าครูไทยมีความรู้ ความสามารถมากในการเรียนรู้สิ่งใหม่ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ และไม่แพ้ชาติใดในโลกอย่างแน่นอน การเรียนรู้แบบพลิกกลับนั้น ต้องให้ผู้เรียนเกิดทักษะในศตวรรษที่ 21 ดังนี้

1. ทักษะพื้นฐาน (Core Skills) ได้แก่ สื่อสารสองภาษา การดำเนินงาน การแก้ปัญหา การใช้ ICT และการทำงานร่วมกับผู้อื่น

2. ทักษะการเรียนรู้และพัฒนาตน (Personal Learning & Development Skills) ได้แก่ เห็นคุณค่าและเชื่อมั่นในตนเอง ตระหนักรู้ในตนและรู้จักตนเอง มีทัศนะเชิงบวกต่อการเรียนรู้ จัดการหรือควบคุมตนเองได้ และคิดวิเคราะห์อย่างมีเหตุผล

3. ทักษะพลเมืองและความรับผิดชอบต่อสังคมโลก (Citizenship Skills) ได้แก่ มีส่วนร่วมกับกิจกรรมชุมชนหรือสังคม เคารพความหลากหลาย มีบทบาทหรือมีส่วนร่วมในการสร้างให้เกิดความเท่าเทียม ความยุติธรรมในสังคม ศึกษาหรือเห็นปัญหาในสังคม และลงมือทำเพื่อนำไปสู่การเปลี่ยนแปลง เข้าใจว่าสิทธิมาพร้อมความรับผิดชอบและปฏิบัติตามนั้น และมีขันติต่อความหลากหลายไม่เลือกปฏิบัติ

4. ทักษะการทำงาน (Employability Skills) ได้แก่ วางแผนงานหรือกิจกรรมได้ มีทักษะการจัดการตนเองและผู้อื่น ตรงเวลา มีวินัย ทำงานด้วยตนเองได้ จัดลำดับความสำคัญของงานและทำงานได้ตามเวลา สามารถทำงานร่วมกับคนอื่นได้ ตั้งใจเตรียมการล่วงหน้าและยืดหยุ่น และมีจริยธรรมในการทำงาน

ในศตวรรษที่ 20 ทักษะที่ต้องการให้ผู้เรียนเกิด คือ ทักษะพื้นฐาน แต่เมื่อจะก้าวเข้าสู่ประชาคมอาเซียน ผู้เรียนจะต้องมีทักษะด้านต่าง ๆ ดังกล่าวเพิ่มขึ้น ทักษะที่เกิดขึ้นล้วนแต่เป็นทักษะที่สามารถทำได้ในชีวิตประจำวัน และเป็นหน้าที่ของครูผู้สอนที่จะจัดกระบวนการเรียนรู้ให้ผู้เรียนเกิดทักษะนั้น ๆ อย่างมีประสิทธิภาพ

ที่มา : ทิศนา แขมมณี. ศาสตร์การสอน
         http://wachum.org/dewey/300/edthai2.pdf
          http://www.kroobannok.com/blog/29716

หัวข้องานวิจัยที่ตั้งใจจะศึกษาคือ

พัฒนาระบบการยืนยันตัวตนผู้ใช้ระบบอินเตอร์เน็ต เพื่อนำมาใช้เสริมแรงการเรียนการสอน ของนักเรียน ซึ่งมีส่วนที่ ต้องศึกษา และประยุกต์หลายส่วน คือ

1. การจัดการระบบ การยืนยันตัวตน ผู้ใช้อินเตอร์เน็ต  ซึ่งจะต้องทำการบริหารจัดการ การกำหนดสิทธิ์ ของผู้ใช้ โดยแยกตามกลุ่มและประเภทผู้เรียน ตามพฤติกรรมการเรียน เพื่อเป็นการเสริมแรง

2. รูปแบบการเสริมแรง ที่ต้องนำมาใช้กับนักเรียน ทั้งการเสริมแรงทางลบ และการเสริมแรงทางบวก

3. การพัฒนาบทเรียน ที่มีประสิทธิภาพ เพื่อนำบทเรียนมาใช้พัฒนาผู้เรียน โดยใช้ระบบการเสริมสร้างที่พัฒนาขึ้น

แอนนิโมมิเตอร์แบบเส้นลวดความร้อน (hot-wire anemometer) เป็นอุปกรณ์ใช้วัดการไหล ที่นิยมใช้วัดความเร็วลมหรือวัดการไหลของของไหลที่อยู่ในสถานะก๊าซ โครงสร้างของแอนนิโมมิเตอร์แบบเส้นลวดความร้อนประกอบด้วย เส้นลวดความต้านทานติดตั้งที่โพรบ (รูปที่ 1) โดยทั่วไปเส้นลวดความต้านทานทำจากแพลททินัมหรือทังสเตน อุปกรณ์วัดการไหลชนิดนี้ทำงานโดยอาศัยหลักการสูญเสียความร้อนของเส้นลวดที่ได้รับความร้อน เมื่อมีลมผ่านเส้นลวดความร้อนจะเย็นตัวลง โดยอัตราการเปลี่ยนแปลงความร้อนที่เกิดขึ้นที่เส้นลวดเป็นสัดส่วนโดยตรงกับอัตราเร็วของลมที่เคลื่อนที่ผ่านตัววัด ข้อดีของเครื่องมือวัดชนิดนี้ คือ ให้ค่าตอบสนองการวัดที่เร็ว ละเอียด และสามารถใช้วัดกระแสลมที่มีความเร็วต่ำได้ เนื่องจากเครื่องมือวัดมีความไว (sensitivity)ต่อการตรวจจับสูง

แอนนิโมมิเตอร์แบบเส้นลวดความร้อนแบ่งเป็น 2 ชนิด คือ ชนิดควบคุมกระแสไฟฟ้าคงที่ และชนิดควบคุมอุณหภูมิคงที่

• แอนนิโมมิเตอร์แบบเส้นลวดความร้อนชนิดควบคุมกระแสไฟฟ้าคงที่ เส้นลวดถูกทำให้ร้อนโดยการจ่ายกระแสไฟฟ้าคงที่ เมื่อมีลมพัดผ่านทำให้เกิดการถ่ายเทความร้อนจากเส้นลวดในลักษณะการพาความร้อน ทำให้อุณหภูมิ (temperature) ของเส้นลวดลดต่ำลง ส่งผลให้ค่าความต้านทานภายในเส้นลวดมีค่าลดลง ซึ่งการเปลี่ยนแปลงค่าความต้านทานดังกล่าวแสดงความสัมพันธ์กับค่าอัตราการไหลของของไหลที่ไหลผ่านเครื่องมือวัด อย่างไรก็ตาม เครื่องมือวัดการไหลชนิดนี้ให้ค่าถูกต้อง (accuracy) ก็ต่อเมื่ออุณหภูมิของไหลที่ต้องการวัดมีค่าคงที่

• แอนนิโมมิเตอร์แบบเส้นลวดความร้อนชนิดควบคุมอุณหภูมิคงที่ เมื่อมีลมพัดผ่านเส้นลวดความร้อนจะเย็นตัวลงเนื่องจากกลไกการพาความร้อน ดังนั้น หากต้องการรักษาอุณหภูมิเส้นลวดให้คงที่ ต้องจ่ายกระแสไฟฟ้าเพิ่มให้กับเส้นลวดเพื่อชดเชยความร้อนที่เส้นลวดสูญเสียไป โดยค่าพลังงานกระแสไฟฟ้าที่ต้องจ่ายให้กับเครื่องมือวัดแปรผันตามความเร็วลมที่พัดผ่าน

ที่มา : http://www.foodnetworksolution.com/wiki/word/7252/hot-wire-anemometer-แอนนิโมมิเตอร์แบบเส้นลวดความร้อน

โดย : ผศ.ดร.นวภัทรา หนูนาค

ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น

1. กราฟ

กราฟเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งใช้จำลองปัญหาบางปัญหาโดยเขียนแผนภาพที่ประกอบด้วยจุดและเส้น ปัจจุบันมีการนำทฤษฎีกราฟมาประยุกต์ใช้ในศาสตร์สาขาต่าง ๆ เช่น วิทยาศาสตร์ สังคมศึกษา เศรษฐศาสตร์ พันธุศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ เป็นต้น

บทนิยาม กราฟ G ประกอบด้วยเซตจำนวน 2 เซต คือ

1. เซตที่ไม่เป็นเวตว่างของจุดยอด (vertex) แทนด้วยสัญลักษณ์ V(G)

2. เซตของเส้นเชื่อม (edge) ที่เชื่อมระหว่างจุดยอดแทนด้วยสัญลักษณ์ E(G)

2. ดีกรี

ดีกรีของจุดยอด

ได้

 จะเห็นว่า เส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด a ได้แก่ เส้นเชื่อม ab และ ac ดังนั้น จำนวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด a คือ 2 สำหรับจุดยอด b มีเส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด b ได้แก่ เส้นเชื่อม ba, bc และ bb เป็นวงวน เกิดกับจุดยอด b กรณีที่มีเส้นเชื่อมเป็นวงวนจะกำหนดให้นับจำนวนเส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอดนั้นเพิ่มขึ้น โดยให้นับเส้นเชื่อมที่เป็นวงวน 1 วง วงวนเป็น 2 ดังนั้นจำนวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด b จึงเป็น 4บทนิยาม ดีกรี (Degree) ของจุดยอด V ในกราฟ คือ จำนวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด v

ต่อไปจะเรียกจำนวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอดว่า ดีกรี ใช้สัญลักษณ์ deg v แทนดีกรีของจุดยอด v ตัวอย่างที่ 1 กำหนดกราฟ ดังรูป

จากรูปจะได้ว่า deg a = 2

deg b = 1

deg c = 3

deg d = 4

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดกราฟ ดังรูป

จากรูปจะได้ว่า deg a = 5

deg b = 5

deg c = 5

deg d = 4

พิสูจน์ เนื่องจากเส้นเชื่อมแต่ละเส้นในกราฟเกิดกับจุดยอดเป็นจำนวน 2 ครั้ง ดังนั้นเส้นเชื่อมแต่ละเส้น

จะถูกนับ 2 ครั้งในผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด

นั่นคือ ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ

ข้อสังเกต ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเป็นจำนวนคู่เสมอ

ตัวอย่างที่ 3 จงหาจำนวนเส้นเชื่อมของกราฟที่มีผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเท่ากับ 22

วิธีทำ สมมติว่า กราฟมีเส้นเชื่อม n เส้น

จากทฤษฎีบท 1 ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุดจุดในกราฟเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ

ดังนั้น 22 = 2n

นั่นคือ n = 11

สรุปได้ว่า กราฟมีเส้นเชื่อม11 เส้น

ตัวอย่างที่ 4 จงหาจำนวนจุดยอดของกราฟที่มีเส้นเชื่อม 15 เส้น และมีจุดยอด 3 จุด ที่มีดีกรี 4 ส่วนจุดยอดที่เหลือมีดีกรี 3

วิธีทำ ให้ n เป็นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรี 3

ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ คือ (3)(4) + 3n

จากทฤษฎีบท 1 ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุดจุดในกราฟเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ

ดังนั้น (3)(4) + 3

เพราะฉะนั้น n = 6

ดังนั้น จำนวนจุดยอดทั้งหมดของกราฟ คือ 3 + 6 = 9 จุด

วิธีทำ สมมติว่า มีดีกรีที่มีจุดยอด 4 จุด และดีกรีของจุดยอดเท่ากับ 1, 1, 2 และ 3

ดังนั้น ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด คือ 1 + 1 + 2 + 3 = 7

ซึ่งเป็นจำนวนคี่ ขัดแย้งกับทฤษฎีบท 1

ดังนั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะมีกราฟดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 5 จงพิจารณาว่าเป็นไปได้หรือไม่ว่า จะมีกราฟที่มีจุดยอด 4 จุด และดีกรีของจุดยอด คือ 1, 1, 2 และ 3 ตามลำดับ

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดกราฟ ดังรูป

จากรูปจะได้ว่า deg a = 2

deg b = 3

deg c = 0

deg d = 3

deg e = 2

ดังนั้น จุดยอด a, c และ e เป็นจุดยอดคู่

จุดยอด b และ d เป็นจุดยอดคี่

ทฤษฎีบท2 ทุกกราฟจะมีจุดยอดคี่เป็นจำนวนคู่

พิสูจน์ ให้ G เป็นกราฟ

ถ้า G ไม่มีจุดยอดคี่ นั่นคือ G มีจำนวนจุดยอดคี่เป็นศูนย์

จึงได้ว่าG มีจำนวนจุดยอดคี่เป็นจำนวนคู่

ต่อไปสมมติว่า กราฟ G มีจุดยอดคี่ k จุด คือ v1, v2, v3, …, vk

และมีจุดยอดคู่ n จุด คือ u1, u2, u3, …, un จากทฤษฎีบท 1

จะได้ว่า (deg v1 + deg v2 + … + deg vk) + (deg u1 + deg u2 + … + deg un) = 2q

เมื่อ q คือ จำนวนเส้นเชื่อมของ G

ดังนั้น deg v1 + deg v2 + … + deg vk = 2q - (deg u1 + deg u2 + … + deg un)

เนื่องจาก deg u1 + deg u2 + … + deg un ต่างก็เป็นจำนวนคู่

ดังนั้น 2q - (deg u1 + deg u2 + … + deg un) เป็นจำนวนคู่

นั่นคือ deg v1 + deg v2 + … + deg vk เป็นจำนวนคู่

แต่เนื่องจาก deg v1 + deg v2 + … + deg vk เป็นจำนวนคี่

เพราะฉะนั้น k จะต้องเป็นจำนวนคู่ จึงจะทำให้ deg v1 + deg v2 + … + deg vk

เป็นจำนวนคู่ สรุปได้ว่า กราฟ G มีจุดยอดคี่เป็นจำนวนคู่

จากตัวอย่างที่ 5 เราให้เหตุผลโดยอาศัยทฤษฎีบท 2 ดังนี้

สมมติว่า มีกราฟที่มีจุดยอด 4 จุด และดีกรีของจุดยอด คือ 1, 1, 2 และ 3

จะได้ว่า กราฟมีจุดยอดคี่เป็นจำนวน 3 จุด ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบท 2 สรุปได้ว่า ไม่มีกราฟที่มีสมบัติดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 7 ถ้าในห้องประชุมแห่งหนึ่งมีผู้เข้าร่วมประชุมทั้งหมด 23 คน เป็นไปได้หรือไม่

ว่าผู้เข้าร่วมประชุมแต่ละคนจับมือทักทายผู้เข้าร่วมประชุมคนอื่นเพียง 7 คนเท่านั้น

วิธีทำ แปลงปัญหาดังกล่าวเป็นกราฟ โดยให้จุดยอดแทนผู้เข้าร่วมประชุม และเส้นเชื่อมแทน การจับมือทักทายของผู้เข้าร่วมประชุม

จะได้ว่า กราฟนี้มีจุดยอด 23 จุด และจุดยอดแต่ละจุดมีดีกรี 7

นั้นคือ กราฟมีจุดยอดคี่เป็นจำนวน 23 จุด ซึ่งเป็นจำนวนคี่ ขัดแย้งกับทฤษฎีบท 2

ดังนั้น เป็นไปไม่ได้ที่ผู้เข้าร่วมประชุมแต่ละคนจับมือกับคนอื่นเพียง 7 เท่านั้น

ที่มา : http://mathematics-pr.blogspot.com/p/blog-page_4945.html

  เคมี

  เคมี คือ  วิทยาศาสตร์สาขาหนึ่งที่ศึกษาเกี่ยวกับโครงสร้างและองค์ประกอบของสสาร  การเปลี่ยนแปลงซึ่งเกิดขึ้นในองค์ประกอบของสสารนั้น  และกลไกของปฏิกิริยาที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงเหล่านั้น
ความสำคัญของเคมี เคมีได้วิวัฒนาการมาจากการเข้าใจธรรมชาติ จึงมีความสำคัญต่อชีวิตประจำวันมากมาย เช่น

  - อาหาร เคมีทำให้รู้จักคุณค่าของอาหารและการถนอมอาหาร รวมทั้งการประดิษฐ์อาหารและผลิตภัณฑ์

  - เครื่องนุ่งห่ม เคมีทำให้รู้จักสีย้อมผ้า และเส้นใย

  - ยาและสุขภาพอนามัย เคมีทำให้เกิดการพัฒนาทางการแพทย์ และลดอัตราการตายของประชากร

  - ที่อยู่อาศัยและเครื่องใช้ เคมีสร้างความสะดวกสบายให้เกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน


 
    ขอบเขตเนื้อหาที่สนใจร่วมกันระหว่างวิทยาศาสตร์แขนงอื่นๆ และวิชาเคมี อาจแบ่งเป็น

1. เคมีอินทรีย์ (Organic Chemistry) เป็นวิชาเคมีที่ศึกษาเกี่ยวกับสารที่มีคาร์บอนเป็นองค์ประกอบ

2. เคมีอนินทรีย์ (Inorganic Chemistry) เป็นวิชาเคมีที่ศึกษาเกี่ยวกับสารที่เกิดมาจาก
แร่ธาตุต่างๆ โดยตรง

3. เคมีวิเคราะห์ (Analytical Chemistry) เป็นวิชาเคมีที่ศึกษาถึงวิธีหาส่วนประกอบของสารทั้งในด้านคุณภาพวิเคราะห์ และปริมาณวิเคราะห์

4. เคมีฟิสิกส์ (Physical Chemistry) เป็นวิชาเคมีที่ศึกษาถึงความจริง กฎ และทฤษฎีต่างๆ ที่ใช้อธิบายการเปลี่ยนแปลงของสาร

5. ชีวเคมี (Biochemistry) เป็นวิชาเคมีที่ศึกษาถึงกระบวนการทางเคมีที่เกิดขึ้นใน

  สิ่งมีชีวิตและสารต่างๆ ที่มีอยู่ในสิ่งมีชีวิต
นอกจากนี้ เคมียังแปรสาขาย่อยออกไปได้อีก เช่น เคมีไฟฟ้า เคมีนิวเคลียร์  เคมีธรณี เคมี-วิศวกรรม เคมีอุตสาหกรรม เคมีเภสัช เคมีเทคนิค เคมีอาหาร  เคมีเกษตร เคมีดาราศาสตร์ เคมีนิเวศวิทยา เป็นต้น

  ** ประวัติโดยย่อของเคมี **
  วิวัฒนาการของวิชาเคมีแบ่งออกเป็นยุคต่างๆ ดังนี้

  ยุคก่อนประวัติศาสตร์ - ค.ศ. 500

- ชาวอียิปต์เป็นชนชาติแรกที่รู้จักใช้วิธีการทางเคมี และคำว่า Chemeia มีปรากฏในภาษา
อียิปต์

- เดโมคริตัส (นักปราชญ์ชาวกรีก)  แสดงความคิดเห็นในเรื่องโครงสร้างของสารโดยคิดหาเหตุผลเพียงอย่างเดียว  ไม่ได้ทำการทดลองประกอบให้เห็นจริง

- อริสโตเติล รวบรวมทฤษฎีเกี่ยวกับสสาร โดยสรุปว่า สสารต่างๆ  ประกอบขึ้นด้วยธาตุ 4 อย่าง คือ ดิน น้ำ ลม ไฟ  ในสัดส่วนที่ต่างกันสำหรับสสารที่ต่างชนิดกัน

  ยุคการเล่นแร่แปรธาตุ

  ค.ศ. 500 - ค.ศ. 1500 (ตอนต้นของยุคนี้)
- นักเคมีสนใจในเรื่องการเล่นแร่แปรธาตุให้เป็นทองคำ แต่ไม่ค่อยพบความสำเร็จเลย

  ประมาณ ค.ศ. 1100
- ความรู้ทางเคมีได้แพร่เข้าสู่ยุโรป ในปลายยุคนี้นักเคมีล้มเลิกความสนใจการเล่นแร่แปรธาตุ
- เริ่มสนใจค้นคว้าหายาอายุวัฒนะที่ใช้รักษาโรค

  ยุคการเสาะแสวงหายาอายุวัฒนะ (ค.ศ. 1500 - 1600)

- เป็นยุค Latrochemistry

- นักเคมีพยายามค้นคว้าหายาอายุวัฒนะและบรรดายารักษาโรคต่างๆ

  ยุคปัจจุบัน (ค.ศ. 1627 - 1691)

- เริ่มต้นจาก Robert Boyle "ศึกษาเคมีเพื่อเคมี"

- Robert Boyle "ศึกษาเคมีเพื่อความเจริญรุ่งเรืองของเคมีโดยเฉพาะ" และ  "ใช้วิธีการทดลองประกอบการศึกษาเพื่อทดสอบความจริงและทฤษฎีต่างๆ"

- เลิกล้มทฤษฎีของอริสโตเติลที่เกี่ยวกับดิน น้ำ ลม ไฟ

  ลาวัวซิเยร์ (ค.ศ. 1743 - 1794) เป็นผู้ริเริ่มเคมียุคปัจจุบัน

  สตาฮ์ล (Stahl : ค.ศ. 1660 - 1734) ตั้งทฤษฎีฟลอจิสตัน (Phlogiston Theory)

  ลาวัวซิเยร์ ตั้งทฤษฎีแห่งการเผาไหม้ขึ้น ยังผลให้ทฤษฎีฟลอจิสตันต้องเลิกล้มไป

  John Dalton (ค.ศ. 1766 - 1844) ตั้งทฤษฎีอะตอม  ซึ่งเป็นรากฐานของเคมีสมัยใหม่ แต่ทฤษฎีอะตอมก็ต้องล้มเลิกไป  เนื่องจากอะตอมที่แสดงพฤติกรรมได้ทั้งอนุภาคและคลื่น
  สสารและการจำแนกสสาร

  สสาร คือ สิ่งที่ต้องการที่อยู่ มีมวล อาจสัมผัสได้ แบ่งออก 3 สถานะ คือ ก๊าซ ของเหลว และของแข็ง สมบัติของสสาร แบ่งออกได้เป็น

- สมบัติทางกายภาพ หมายถึง  สมบัติของสสารที่สังเกตได้โดยไม่ต้องใช้ปฏิกิริยาเคมี เช่น สี กลิ่น รส  หรือสถานะที่อุณหภูมิปกติ ปริมาณการละลายน้ำ การนำความร้อนและไฟฟ้า เป็นต้น

- สมบัติทางเคมี  เป็นสมบัติของสสาร  ซึ่งทราบโดยการสังเกตปฏิกิริยาของสารเมื่อสัมผัสกับสารเคมี เช่น  ไฮโดรเจนไหม้ไฟในออกซิเจน กรดสะเทินกับเบส เป็นต้น

  การเปลี่ยนแปลงของสสาร จำแนกออกเป็น

- การเปลี่ยนแปลงทางกายภาพ เป็น การเปลี่ยนแปลงที่ไม่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนองค์ประกอบของสาร  รวมทั้งการเปลี่ยนแปลงสถานะของสาร เช่น การหลอมเหลว การระเหย เป็นต้น

- การเปลี่ยนแปลงทางเคมี  เป็นการเปลี่ยนแปลงในสาร  ซึ่งองค์ประกอบของมันเปลี่ยนไปจากสารหนึ่งไปเป็นอีกสารหนึ่ง เช่น  การรวมตัวของซัลเฟอร์กับออกซิเจนเป็นซัลเฟอร์ไดออกไซด์ เป็นต้น

  การจำแนกสาร สามารถจำแนกได้เป็น

1. สารวิวิธพันธ์ คือ สสารที่มีส่วนต่างๆ และสมบัติแตกต่างกัน เช่น หินแกรนิต ดินปืน น้ำโคลน

2. สารเอกพันธ์ คือ สสารที่มีสมบัติเหมือนกันโดยตลอด แบ่งออกได้เป็น สารละลาย และสารบริสุทธิ์

  - สารละลาย คือ ของผสมที่มีเนื้อเดียวกันตลอด เช่น  น้ำตาลละลายน้ำ อากาศเป็นสารละลายของแก๊สต่างๆ โลหะผสม เช่น ทองเหลือง  (ทองแดงกับสังกะสี) จัดว่าเป็นสารละลายของแข็ง

  - สารบริสุทธิ์ คือ สารที่มีสมบัติอย่างเดียวกัน และมีองค์ประกอบที่แน่นอนอย่าง-เดียวกัน เช่น น้ำตาล น้ำ เกลือแกง ทองแดง โดยสารบริสุทธิ์แบ่งออกเป็น สารประกอบและธาตุ

  สารประกอบ คือ  สารบริสุทธิ์ ซึ่งสารอาจถูกแยกออกเป็นสารอื่นๆ 2 สาร หรือมากกว่า  โดยวิธีเคมีธรรมดา เช่น น้ำ เพราะสามารถแยกออกเป็นไฮโดรเจนและออกซิเจน

  ธาตุ คือ สารบริสุทธิ์ ซึ่งเป็นสารที่ไม่สามารถแยกสลายด้วยวิธีเคมีธรรมดา โดยมีธาตุร้อยละโดยมวลดังนี้


 
    โลหะ หมายถึง  ธาตุที่มีสมบัตินำความร้อนและไฟฟ้าได้ดี มีจุดหลอมเหลวสูง  เหนียวตีเป็นแผ่นได้ โลหะไม่รวมตัวกับโลหะ  แต่จะรวมตัวกับอโลหะเกิดสารประกอบได้

  อโลหะ หมายถึง ธาตุที่ไม่มีสมบัตินำไฟฟ้าและความร้อน จุดหลอมเหลวและความหนาแน่นต่ำ สามารถรวมตัวกันเองเกิดเป็นสารประกอบได้

  กึ่งโลหะ หมายถึง ธาตุที่มีสมบัติระหว่างโลหะกับอโลหะ

ข้อมูลจาก:http://www.kroobannok.com/blog/33026