การวัดค่ากลางของข้อมูล

การหาค่ากลางของข้อมูลที่เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมดเพื่อความสะดวกในการสรุปเรื่องราวเกี่ยวกับข้อมูลนั้นๆ จะช่วยทำให้เกิดการวิเคราะห์ข้อมูลถูกต้องดีขึ้น การหาค่ากลางของข้อมูลมีวิธีหาหลายวิธี แต่ละวิธีมีข้อดีและข้อเสีย และมีความเหมาะสมในการนำไปใช้ไม่เหมือนกัน ขึ้นอยู่กับลักษณะข้อมูลและวัตถุประสงค์ของผู้ใช้ข้อมูลนั้นๆ

ค่ากลางของข้อมูลที่สำคัญ มี 3 ชนิด คือ

1.        ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)

2.       มัธยฐาน (Median)

3.       ฐานนิยม (Mode)

   1.   ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)
         ใช้สัญลักษณ์ คือ  

1.1 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

ให้ x 1 , x 2 , x 3 , …, x N เป็นข้อมูล N ค่า

ตัวอย่าง จากการสอบถามอายุของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17

1) จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนกลุ่มนี้

2) ถ้ามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน และมีอายุเป็น 17 ปี ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นเท่าใด

3) เมื่อ 3 ปีที่แล้ว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนกลุ่มนี้เป็นเท่าใด

1) วิธีทำ

       ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนกลุ่มนี้ คือ 15.75 ปี

2) วิธีทำ
     เดิมมีนักเรียน 8 คน แต่มีนักเรียนเพิ่มใหม่อีก 1 คน รวมมีนักเรียน 9 คน

        ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ 15.89 ปี

3) วิธีทำ
เมื่อ 3 ปีที่แล้ว 11 13 11 14 13 11 15 14
      อายุปัจจุบัน 14 16 14 17 16 14 18 17

เมื่อ 3 ปีที่แล้ว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของนักเรียนกลุ่มนี้ คือ 12.75 ปี

1.2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

ถ้า f 1 , f 2 , f 3 , … , f k เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต x 1 , x 2 , x 3 ,…. , x k

ตัวอย่าง จากตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียน 40 คน ดังนี้ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

วิธีทำ

 =  

        =  

        =   34

    ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 34

สมบัติที่สำคัญของค่าเฉลี่ยเลขคณิต

1. =

2. = 0

3. น้อยที่สุด  เมื่อ M = หรือ   

       เมื่อ M เป็นจำนวนจริงใดๆ

 4.

5. ถ้า y 1 = a xi + b , I = 1, 2, 3, ……., N เมื่อ a , b เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว

= a + b

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม ( Combined Mean )

ถ้า เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1 , 2 , … , k ตามลำดับ

ถ้า N 1 , N 2 , … , N k เป็นจำนวนค่าจากการสังเกตในข้อมูลชุดที่ 1 , 2 ,… , k ตามลำดับ

       =  
      ตัวอย่าง ในการสอบวิชาสถิติของนักเรียนโรงเรียนปราณีวิทยา ปรากฏว่านักเรียนชั้น ม.6/1 จำนวน 40 คน ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 70 คะแนน นักเรียนชั้น ม.6/2 จำนวน 35 คน ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 68 คะแนน นักเรียนชั้น ม.6/3 จำนวน 38 คน ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 72 คะแนน จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนทั้ง 3 ห้องรวมกัน

วิธีทำ รวม =   

                                                                                          =    

                                                                                          =  70.05

2 .  มัธยฐาน (Median)
    ใช้สัญลักษณ์ Med คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด เมื่อได้เรียงข้อมูลตามลำดับ ไม่ว่าจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อย

   การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
   หลักการคิด
   1 ) เรียงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อยก็ได้
    2) ตำแหน่งมัธยฐาน คือ ตำแหน่งกึ่งกลางข้อมูล ดังนั้นตำแหน่งของมัธยฐาน =

        เมื่อ N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

    3) มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด

  ข้อควรสนใจ
1. เนื่องจากตำแหน่งกึ่งกลางเป็นตำแหน่งที่เราจะหามัธยฐาน ดังนั้น เราจะเรียกตำแหน่งนี้ว่า ตำแหน่งของมัธยฐาน
  2. เราไม่สามารถหาตำแหน่งกึ่งกลางโดยวิธีการตามตัวอย่างข้างต้น เพราะต้องเสีย เวลาในการนำค่าจากการสังเกตมาเขียนเรียงกัน        ทีละตำแหน่ง ดังนั้น เราจะใช้วิธีการคำนวณหา โดยสังเกตดังนี้
       ตำแหน่งมัธยฐาน =
3. ในการหามัธยฐาน ความสำคัญอยู่ที่ นักเรียนต้องหาตำแหน่งของมัธยฐานให้ได้ เสียก่อนแล้วจึงไปหาค่าของข้อมูล ณ ตำแหน่งนั้น

ตัวอย่าง กำหนดให้ค่าจากการสังเกตในข้อมูลชุดหนึ่ง มีดังนี้
                      5, 9, 16, 15, 2, 6, 1, 4, 3, 4, 12, 20, 14, 10, 9, 8, 6, 4, 5, 13
                       จงหามัธยฐาน
    วิธีทำ เรียงข้อมูล 1 , 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 8 , 9 , 9 , 10 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 20

   ตำแหน่งมัธยฐาน =

=

= 10.5

       ค่ามัธยฐาน = = 7

การหามัธยฐานของข้อมูลที่จัดเป็นอันตรภาคชั้น
   ขั้นตอนในการหามัธยฐานมีดังนี้
   (1)     สร้างตารางความถี่สะสม
   (2)หาตำแหน่งของมัธยฐาน คือ

        เมื่อ N เป็นจำนวนของข้อมูลทั้งหมด
   (3) ถ้า   เท่ากับความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใด อันตรภาคชั้นนั้นเป็นชั้น มัธยฐาน และมีมัธยฐานเท่ากับขอบบน

        ของอันตรภาคชั้นนั้น ถ้า ไม่เท่าความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใดเลย อันตรภาคชั้นแรกที่มีความถี่สะสมมากกว่า  

        เป็นชั้นของมัธยฐาน และหามัธยฐานได้จากการเทียบบัญญัติไตรยางค์ หรือใช้สูตรดังนี้
        จากข้อมูลทั้งหมด N จำนวน ตำแหน่งของมัธยฐานอยู่ที่

        Med =

          เมื่อ L คือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

    คือ ผลรวมของความถี่ของทุกอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

      f M คือ ความถี่ของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

         I คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

       N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

ตารางที่มีชั้นแบบเปิด จะหา ไม่ได้ แต่หามัธยฐานและฐานนิยมได้ ถ้าตำแหน่ง
เท่ากับความถี่สะสม ( หรือเป็นตัวสุดท้ายของชั้น ) ให้ตอบขอบบนของชั้นนั้น

3.  ฐานนิยม (Mode)

  การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
  หลักการคิด
- ให้ดูว่าข้อมูลใดในข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมด มีการซ้ำกันมากที่สุด( ความถี่สูงสุด) ข้อมูลนั้นเป็นฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น
   หมายเหตุ
- ฐานอาจจะไม่มี หรือ มีมากกว่า 1 ค่าก็ได้

  สิ่งที่ต้องรู้
1. ถ้าข้อมูลแต่ละค่าที่แตกต่างกัน มีความถี่เท่ากันหมด เช่น ข้อมูลที่ประกอบด้วย 2 , 7 , 9 , 11 , 13 จะพบว่า แต่ละค่าของข้อมูลที่แตกต่างกัน จะมีความถี่เท่ากับ 1 เหมือนกันหมด ในที่นี้แสดงว่า ไม่นิยมค่าของข้อมูลตัวใดตัวหนึ่งเป็นพิเศษ  ดังนั้น เราถือว่า ข้อมูลในลักษณะดังกล่าวนี้ ไม่มีฐานนิยม
  2. ถ้าข้อมูลแต่ละค่าที่แตกต่างกัน มีความถี่สูงสุดเท่ากัน 2 ค่า เช่น ข้อมูลที่ ประกอบด้วย 2, 4, 4, 7, 7, 9, 8, 5 จะพบว่า 4 และ 7 เป็นข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดเท่ากับ 2 เท่ากัน ในลักษณะเช่นนี้ เราถือว่า ข้อมูลดังกล่าวมีฐานนิยม 2 ค่า คือ 4 และ 7
   3. จากข้อ 1, 2, และตัวอย่าง แสดงว่า ฐานนิยมของข้อมูล อาจจะมีหรือไม่มีก็ได้ ถ้ามีอาจจะมีมากกว่า 1 ค่าก็ได้

การหาฐานนิยมของข้อมูลที่มีการแจกแจงเป็นอันตรภาคชั้น
   การประมาณอย่างคร่าวๆ

   ฐานนิยม คือ จุดกึ่งกลางชั้นที่มีความถี่สูงสุด

   ตัวอย่าง จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ จงหาฐานนิยมโดยประมาณอย่างคร่าวๆ

อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด คือ 40-49

                                                จุดกลางชั้น คือ

ดังนั้น ฐานนิยมโดยประมาณ คือ 44.5

คุณสมบัติที่สำคัญของฐานนิยม
1.     ฐานนิยมสามารถหาได้จากเส้นโค้งของความถี่ และฮิสโทแกรม
2.    ในข้อมูลแต่ละชุด อาจจะมีฐานนิยมหรือไม่มีก็ได้ ถ้ามี อาจจะมีเพียงค่าเดียว หรือหลายค่าก็ได้
3.   ให้ X 1, X 2, X 3, ….., X N เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีฐานนิยมเท่ากับ Mo
       ถ้า k เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า X 1+k, X 2+k, X 3+k, …., X N+k เป็นข้อมูลที่มีฐานนิยมเท่ากับ Mo + k
4.   ให้ X 1, X 2, X 3, …., X N เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีฐานนิยมเท่ากับ Mo
       ถ้า k เป็นค่าคงตัว ซึ่ง k =/= 0 จะได้ว่า kX 1, kX 2, kX 3, …, kX N จะเป็นข้อมูลที่มีฐานนิยมเท่ากับ kMo
       คุณสมบัติข้อที่ 3 และ 4 ก็เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐาน กล่าวคือ ถ้านำค่าคงตัวไปบวก หรือคูณกับค่าจากการสังเกตทุกตัวในข้อมูลชุดหนึ่ง ฐานนิยมของข้อมูลชุดใหม่นี้ จะเท่ากับ ฐานนิยมของข้อมูลชุดเดิม บวกหรือคูณกับค่าคงตัวดังกล่าว ตามลำดับ ( อย่าลืม ! ถ้าเป็นการคูณ ค่าคงตัวที่นำไปคูณไม่เท่ากับศูนย์)