ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อังกฤษ: Trigonometric function) คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ

ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้ายนิยามด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)

ฟังก์ชัน	ตัวย่อ	ความสัมพันธ์
ไซน์ (Sine)	sin
โคไซน์ (Cosine)	cos
แทนเจนต์ (Tangent)	tan (หรือ tg)
โคแทนเจนต์ (Cotangent)	cot (หรือ ctg หรือ ctn)
ซีแคนต์ (Secant)	sec
โคซีแคนต์ (Cosecant)	csc (หรือ cosec)

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้ อยู่ในบทความเรื่อง เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด 90° (π/2 เรเดียน) ในที่นี้คือ C ส่วนมุม A กับ B นั้นเปลี่ยนแปลงได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A

เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้

ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ h

ด้านตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a

ด้านประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b

จะได้

1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ

sin(A) = ข้าม/ฉาก = a/h

2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ

cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h

3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ

tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b

4). โคซีแคนต์ csc(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม

csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a

5). ซีแคนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด

sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b

6). โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม

cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a

วิธีจำ

วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า

ข้ามฉาก ... sin = ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ชิดฉาก ... cos = ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ข้ามชิด ... tan = ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด

นิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย

วงกลมหนึ่งหน่วย

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ:

จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θ กับแกน x ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด x และ y ของจุดตัดนี้จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = y/1 และ cos θ = x/1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ (เช่น มุม π/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม

ฟังก์ชัน f(x) = sin(x) และ f(x) = cos(x) ที่วาดบนระนาบคาร์ทีเซียน

สำหรับมุมที่มากกว่า 2π หรือต่ำกว่า −2π เราสามารถวัดมุมได้ในวงกลม ด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์และโคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบเท่ากับ 2π:

เมื่อ θ เป็นมุมใดๆ และ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ

คาบที่เป็นบวกที่เล็กที่สุดของฟังก์ชันเป็นคาบ เรียกว่า คาบปฐมฐานของฟังก์ชัน คาบปฐมฐานของไซน์, โคไซน์, ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์ จะเท่ากับวงกลมหนึ่งวง นั่นคือเท่ากับ 2π เรเดียน หรือ 360 องศา คาบปฐมฐานของแทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ จะเท่ากับครึ่งวงกลม นั่นคือเท่ากับ π เรเดียน หรือ 180 องศา

จากข้างบนนี้ ค่าไซน์และโคไซน์ถูกนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยโดยตรง แต่สี่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือจะถูกนิยามโดย

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (ตามรูปทางขวา) ซึ่งคล้ายกับการนิยามเชิงเรขาคณิตที่ใช้กันมาในสมัยก่อน ให้ AB เป็นคอร์ดของวงกลม ซึ่ง θ เป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับคอร์ดนั้น จะได้

sin(θ) คือ ความยาว AC (ครึ่งหนึ่งของคอร์ด) นิยามนี้เริ่มใช้โดยชาวอินเดีย

cos(θ) คือระยะทางตามแนวนอน OC

versin(θ) = 1 − cos(θ) คือ ความยาว CD

tan(θ) คือ ความยาวของส่วน AE ของเส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุด A จึงเป็นที่มาของคำว่าแทนเจนต์นั่นเอง (tangent = สัมผัส)

cot(θ) คือ ส่วนของเส้นสัมผัสที่เหลือ คือความยาว AF

sec(θ) = OE และ

csc(θ) = OF เป็นส่วนของเส้นซีแคนต์ (ตัดวงกลมที่จุดสองจุด) ซึ่งสามารถมองว่าเป็นภาพฉายของ OA ตามแนวเส้นสัมผัสที่จุด A ไปยังแกนนอนและแกนตั้ง ตามลำดับ

exsec(θ) = DE = sec(θ) − 1 (ส่วนของซีแคนต์ด้านนอก)

ด้วยวิธีสร้างเหล่านี้ ทำให้เห็นภาพฟังก์ชันซีแคนต์และแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ π/2 (90 องศา) และโคซีแคนต์และโคแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ศูนย์ (เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติด้วยรูปภาพได้)

ความน่าจะเป็น

ในชีวิตประจำวันเราอยู่กับเหตุการณ์ต่าง ๆ และมีคำถามอยู่ในใจตลอดเวลา เช่น

พรุ่งนี้ฝนจะตกหรือไม่
บางทีเราต้องไปทำงานวันนี้
นายกอาจลาออกและยุปสภาเร็ว ๆ นี้
ทีมฟุตบอลทีมใดจะได้เป็นแชมป์โลก
ใครชนะเลือกตั้งในสมัยหน้า

คำว่า "ความน่าจะเป็น" หรือ "probability" เป็นวิธีการวัดความไม่แน่นอนในรูปแบบคณิตศาสตร์ เช่น เมื่อโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นของเหรียญที่จะออกหัวหรือก้อยเท่ากับ 0.5

ดังนั้นเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในอาณาคตเป็นสิ่งที่ยากจะคาดเดาได้ถูกต้องร้อยเปอร์เซนต์ นักอุตุนิยมวิทยาจึงใช้หลักการของความน่าจะเป็นเข้ามาทำนาย เช่น ความน่าจะเป็นของการเกิดฝนตกใน กรุงเทพมหานคร ในวันพรุ่งนี้มีค่าเท่ากับ 0.7

ความน่าจะเป็น เป็นค่าที่อาจมีความหมายที่หลายคนเข้าใจได้ไม่ยาก ความน่าจะเป็น เป็นศาสตร์ที่มีความละเอียดอ่อนที่จะนำไปประยุกต์ใช้ โดยเฉพาะเหตุการณ์ในชีวิตประจำวันต่าง ๆ ความน่าจะเป็นมีการกำหนดค่าเป็นเศษส่วนหรือเป็นเปอร์เซนต์หรือให้มีค่าระหว่าง 0 ถึง 1 เช่น ถ้านำลูกเต๋า ทอยลงบนพื้น โอกาสที่จะปรากฎหน้า 1 มีค่าเท่ากับ 1/6 หรือ 16.6 เปอร์เซนต์ ถ้าโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ และให้ตกบนพื้น (โยนแบบยุติธรรม) โอกาสที่จะปรากฏหัวเท่ากับ 1/2 หรือ 0.5

เราจะวัดหาค่าความน่าจะเป็นได้อย่างไร?

เราสามารถวัดหาค่าความน่าจะเป็นได้สองวิธี (บางทีเป็น 3 วิธี) ขึ้นกับสภาวะแวดล้อม

เมื่อเหตุการณ์ปรากฏมีลักษณะเหมือน ๆ กัน

สมมุติว่าเราทอยเหรียญจะมีโอกาสที่เป็นไปได้สองแบบคือ หัว หรือก้อย ถ้าเหรียญเป็นเหรีญญปกติ การทอยทอยอย่างยุติธรรม ผลที่เกิดหัวหรือก้อยมีลักษณะเท่าเทียมกัน

ทำนองเดียวกันที่เราทอยลูกเต๋า โอกาสที่ลูกเต๋าจะปรากฎหน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 มีได้เท่ากัน ดังนั้นความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าให้ปรากฎหน้าที่เป็นเลขคู่

ประชากรคนไทยยังนิยมการเสี่ยงโชค รัฐบาลได้ออกฉลากกินแบ่งหรือที่รู้จักกันในนามลอตเตอรี่ หรือ หวยรัฐบาล ตัวเลขของฉลากกินแบ่ง มี 6 ตัวเลข ซึ่งก็มีจำนวนฉลากทั้งสิ้น 1 ล้าน ฉบับ มีรางวัลที่หนึ่งมี 1 รางวัล รางวัลที่สอง มี 5 รางวัล รางวัลที่สามมี 10 รางวัล รางวัลที่สี่มี 50 รางวัล รางวัลที่ห้ามี 100 รางวัล

โอกาสที่จะถูกรางวัลที่หนึ่ง คือ

โอกาสที่จะถูกรางวัลที่ 1 ถึง 5 มี

ดังนั้นถ้าเหตุการณ์ที่ปรากฎแต่ละครั้งมีโอกาสเท่าเทียมกับสิ่งที่เป็นความน่าจะเป็นคือ

ลักษณะที่กล่าวมานี้เห็นว่าโอกาสหรือสิ่งที่เป็นเหตุการณ์แต่ละครั้งที่ปรากฎ จะมีโอกาสความน่าจะเป็นเท่ากัน ลักษณะจึงเหมือนการทอยเหรียญ ลูกเต๋า หรือการซื้อลอตเตอรี่ ทุกครั้งที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นขึงมีความน่าจะเป็นที่ชัดเจน

เมื่อเหตุการณ์ปรากฏมีลักษณะเหมือน ๆ กัน

ทำนองเดียวกันที่เราทอยลูกเต๋า โอกาสที่ลูกเต๋าจะปรากฎหน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 มีได้เท่ากัน ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าให้ปรากฎหน้าที่เป็นเลขคู่

โอกาสที่จะถูกรางวัลที่หนึ่ง คือ

โอกาสที่จะถูกรางวัลที่ 1 ถึง 5 มี

สถิติและข้อมูล

ความหมายของสถิติ การศึกษาวิชาสถิตินั้นมีหลายระดับ สำหรับมัธยมศึกษาตอนปลายนี้ เป็น

การศึกษาวิชาสถิติระดับเบื้องต้น ซึ่งเรียกว่า สถิติเชิงพรรณนา(Descriptive Statistics)ซึ่งการศึกษาระดับนี้ จะทำให้ผู้เรียนมีความรู้ความเข้าใจ ในการเก็บรวบรวมข้อมูล ที่จำเป็นต่ออาชีพของตนและนำเอาไปใช้ได้, สามารถทำ ความเข้าใจเกี่ยวกับรายงานหรือ ตัวเลขสถิติ ในรูปตาราง แผนภูมิแผนภาพและกราฟ ได้ดี

สถิติเชิงพรรณนา จะว่าด้วยวิธี การสรุปข้อมูลแต่ละชุด ด้วยการวัดค่าวัดแนวโน้มสู่ส่วนกลาง (ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมัธยฐาน ฐานนิยม) และ วัดค่าการกระจาย(ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานพิสัย ฯลฯ) การแจกแจงความถี่ของข้อมูลและการนำเสนอผลสรุปดังกล่าว ด้วยตารางและภูมิวงกลม แผนภูมิแท่ง แผนภาพการกระจาย และกราฟเส้นเพื่ออธิบายข้อมูลชุดนั้นสถิติเชิงอนุมาน(Inferential Statistics)เป็นศาสตร์ที่ให้วิธีการ

1) จะเลือกตัวแทน(ตัวอย่าง) จากข้อมูลทั้งหมด(ประชากร) ได้อย่างไรจึงจะเป็นตัวแทนที่ดีของประชากรหรือ

2)กำหนดแบบแผนการทดลองอย่างไรจึงจะได้คำตอบที่ต้องการได้เพื่อนำไปอ้างอิงถึงข้อมูลทั้งหมด แท้จริงแล้วสถิติมีความหมาย กว้างขวาง ส่วนใหญ่มักจะรู้จัก สถิติในรูปของ ตัวเลข ตาราง แผนภูมิและ กราฟ

สถิติ

สถิติเป็นศาสตร์ที่ว่าด้วยการเก็บรวบรวมและการวิเคราะห์ข้อมูลเพื่อ หาข้อสรุปจากข้อมูลนั้นๆหาคำตอบ

คำถามหรือประเด็นปัญหาที่สนใจโดยอาศัยข้อมูลที่ได้จากการเกิดซ้ำๆของปรากฏการณ์นั้นๆ

สถิติ จำแนกออกได้เป็น 2 ความหมายคือ

1. สถิติ หมายถึงศาสตร์ ที่เกี่ยวข้องกับหลักการและระเบียบวิธีการทางสถิติซึ่ง

ประกอบด้วยขบวนการที่สำคัญ 4อย่างคือ

- การเก็บรวบรวมข้อ้อมูล

- การนำาเสนอข้อ้อมูล

- การวิเคราะห์ข์ข้อ้อมูล

- การตีความหมายข้อ้อมูล

ซึ่งจะกล่าวในรายละเอียดภายหลัง

2. สถิติ หมายถึงตัวเลข ซึ่งตัวเลขนี้เป็นค่าสำเร็จที่เกิดจากการจัด การคิดคำนวณจากข้อมูลที่เก็บรวบรวมมา ตามหลักเกณฑ์

จากการวิเคราะห์ การ

เปรียบเทียบหรือการคำนวณทางสถิติ

- เช่นคะแนนเฉลี่ยของวิชาคณิตศาสตร์ในการสอบ

เข้ามหาวิทยาลัยปีการศึกษา2547

- รายได้โดยเฉลี่ยของคนไทยต่อคนต่อปี ประจำปี

2546

- ยอดรวมของสินค้าทางเกษตรที่ส่งออกในปี

2547 เป็นต้น

ความหมายของคำต่าง ๆ ที่ใช้ในวิชาสถิติ มิได้หมายถึงคนอย่างเดียว แต่หมายถึง ข้อมูลทั้งหมดที่เราจะเก็บรวบรวมเพื่อศึกษาถ้าพูดในลักษณะของเซต

1. ประชากร(Population)

-ประชากร คือ เซตของสิ่งต่างๆ ที่เราต้องการศึกษาทั้งหมด เช่น

- ถ้าเราสนใจเกี่ยวกับรายได้ขอคนไทยประชากรคือ คนไทยทั้งหมดที่มีรายได้

- ถ้าเราสนใจเกี่ยวกับรถยนต์ในประเทศไทยประชากรคือรถยนต์ในประเทศไทยทั้งหมด

โดยทั่วไปประชากรจะแบ่งได้เป็น 2

ประเภทคือ

1) ประชากรที่มีจำนวนแน่นอน (Finite Population) ได้แก่ประชากรที่มี สมาชิกจำนวนจำกัด

และสามารนับได้

2) ประชากรที่มีจำนวนอนันต์ (Infinite Population) ได้แก่ประชากรที่มีจำนวนสมาชิก ที่ไม่

สามารถวัดหรือนับได้แน่นอน ว่ามีจำนวนเท่าไร เช่น

- ปริมาณปลาในมหาสมุทรอินเดีย

- จำนวนประชนทั้งหมดในโลก

2. ตัวอย่าง(Sample)

3. พารามิเตอร์(Parameter) หมายถึง ค่าต่าง ๆ ที่แสดงถึงลักษณะ ของประชากร ซึ่งค่าดังกล่าวได้มาจาก

การนำข้อมูลจากประชากรมาคำนวณ

เช่น

- รายได้ของประชากรคนไทยทั้งประเทศ ในปี 2544 โดยเฉลี่ย ต่อคนต่อปี เท่ากับ 2,500 บาท ในลักษณะนี้ พารามิเตอร์คือ 2,500 บาท

4. ค่าสถิติ(Statistic) คือ ค่าต่าง ๆ ที่แสดงลักษณะของตัวอย่าง ค่าสถิติจะมีลักษณะเหมือนกับพารามิเตอร์

ต่างกันที่ว่า ค่าสถิตินั้น เป็นค่าที่คำนวณ ได้จาก ข้อมูลของตัวอย่างเป็นค่าที่ใกล้เคียงกับพารามิเตอร์

5. ค่าจากการสังเกต

คือ ค่าแต่ละค่าที่ได้จากการเก็บรวบรวม

ข้อมูล เช่นข้อมูลประกอบด้วย

2,7,6,9,5 ตัวเลขแต่ละตัวเรียกว่าค่าจาก

การสังเกต

การหาตำแหน่งของข้อมูล

การหาตำแหน่งที่ของข้อมูล ( เปอร์เซ็นไทล์ )
           การหาตำแหน่งหรือลำดับที่ของข้อมูลใน แต่ละชุด เช่น นาย A สอบได้ที่ 10 เราไม่สามารถบอกได้ว่าผลการสอบของนาย A เป็นอย่างไรของกลุ่ม ถ้าในกลุ่มของนาย A มีนักเรียน 45 คน ก็สรุปว่านาย A เป็นคนเก่งในกลุ่ม ถ้าในกลุ่มมีเพียง 10 คน ก็สรุปว่านาย A เป็นคนที่เรียนไม่เก่ง และสอบได้ที่สุดท้าย เพื่อช่วยให้การกล่าวถึงตำแหน่งเป็นไปโดยมีความหมาย คือ สามารถบอกได้ทันที่ว่าตำแหน่งนั้นดีไม่ดีเพียงไรในกลุ่ม จึงได้มีการหาวิธีการบอกตำแหน่งโดย บอกตำแหน่งด้วย ควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์
            เปอร์เซ็นไทล์ เป็นค่าที่แบ่งข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน เมื่อข้อมูลถูกเรียงจากน้อยไปหามาก เนื่องจากค่าที่แบ่งจำนวนข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน มีอยู่ 99 ค่า ดังนั้นเราจึงตั้งชื่อแต่ละค่าว่า
           เปอร์เซ็นไทล์ที่หนึ่ง ใช้สัญลักษณ์ P1   คือค่าที่มีจำนวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ 1 ใน100 ของข้อมูลทั้งหมด
           เปอร์เซ็นไทล์ที่สอง ใช้สัญลักษณ์ P2 คือค่าที่มีจำนวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ 2 ใน100 ของข้อมูลทั้งหมด
           จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงเปอร์เซ็นไทล์ที่เก้าสิบเก้า ใช้สัญลักษณ์ P99
           การหาเปอร์เซ็นไทล์ ก็เช่นเดียวกับการหาควอร์ไทล์และเดไซล์ คือต้องหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ก่อน ให้ N เป็นจำนวนข้อมูลหรือความถี่ทั้งหมด

           1.กรณีที่ข้อมูลยังไม่แจกแจงความถี่
           ตำแหน่งของ P1 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 1/100 )
           ตำแหน่งของ P2 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 2/100 )
           จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงตำแหน่งของ P99 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 99/100 )
           โดยทั่วไป ตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ r คือ
           ตำแหน่งของ Pr คือตำแหน่งที่ ( N + 1 )( r/100 )

           2.กรณีที่ข้อมูลแจกแจงความถี่
           ตำแหน่งของ P1 คือตำแหน่งที่ N( 1/100 )
           ตำแหน่งของ P2 คือตำแหน่งที่ N( 2/100 )
           จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงตำแหน่งของ P99 คือตำแหน่งที่ N( 99/100 )
           โดยทั่วไป ตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ r คือ
           ตำแหน่งของ Pr คือตำแหน่งที่ ( Nr/100 )

          หมายเหตุ     การหาเปอร์เซ็นไทล์ เราจะใช้ในกรณีที่มีข้อมูลดังกล่าวมีจำนวนมากๆ เพราะว่าเปอร์เซ็นไทล์เป็นค่าที่แบ่งจำนวนข้อมูลออกเป็น   100   ส่วนเท่าๆกัน    ดังนั้นในกรณีที่ข้อมูลมีจำนวนน้อยไม่เหมาะที่จะหาเปอร์เซ็นไทล์ควรจะไปใช้ ควอร์ไทล์ หรือ เดไซล์จะดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1       ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 44 คน ได้คะแนนเรียงตามลำดับดังนี้   11, 12, 13, 18, 19, 24, 27, 28, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 45, 46, 47, 50, 54, 54, 55, 55, 56, 46, 56, 58, 58, 59, 60 จงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75
                   วิธีทำ

                             Pr อยู่ในตำแหน่งที่ คือ    ( N + 1 )( r /100 )

                             P75 อยู่ในตำแหน่งที่ คือ (44 + 1)( 75/100 ) = 33.5

                                ตำแหน่งที่ 33 ของข้อมูลข้างต้น คือ 50
                                ตำแหน่งที่ 34 ของข้อมูลข้างต้น คือ 54
                                ตำแหน่งต่างกัน 1 ค่าของเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4
                                ตำแหน่งต่างกัน 0.75 ค่าเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4 x 0.75 = 3

                               ดังนั้น ค่าเปอร์เซ็นไทล์ ที่ 75 เท่ากับ 53

ตัวอย่างที่ 2    กำหนดข้อมูล 30, 42, 25, 34, 28, 36, 33, 44, 18 จงหาว่าข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด
          วิธีทำ    เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก ได้ 18 , 25 , 28 , 30 , 33 , 34 , 36 , 42 , 44 ให้ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่ง ที่ r ดังนั้น 30 เท่ากับ Pr ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งที่ 4

                    แต่ตำแหน่ง Pr = ( 9 + 1 )( r/100 ) ได้   10r/100 = 4

                    ดังนั้น      r = 40

                    ดังนั้น ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 40 หรือ P40

           สรุป ขั้นตอนการหาค่าเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น
                 1. เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก
                 2. หาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ โดย ตำแหน่ง Pr คือ ( N + 1 )( r/100 )

           ใช้ตำแหน่ง Pr เทียบบัญญัติไตรยางค์หาข้อมูลที่ตรงกับตำแหน่ง Pr นั้น

มัธยฐาน ( Median )

มัธยฐาน หมายถึง ค่ากึ่งกลางของข้อมูลชุดนั้น หรือค่าที่อยู่ในตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูลชุดนั้น เมื่อได้จัดเรียงค่าของข้อมูลจากน้อยที่สุดไปหามากที่สุดหรือจาหมากที่สุกไปหาน้อยที่สุด ค่ากึ่งกลางจะเป็นตัวแทนที่แสดงว่ามีข้อมูลที่มากกว่าและน้อนกว่านี้อยู่ 50 % ค่ามัธยฐานจะอยู่ตำแหน่ง

( N คือ จำนวนข้อมูล )

การหาค่ามัธยฐาน (Median) ของข้อมูลที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่ (Ungrouped Data)

ให้เรียงข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดไปหาข้อมูลที่มีค่ามากที่สุด หรือจากมากที่สุดไปหาน้อยที่สุด แล้วหาคะแนนที่อยู่ในตำแหน่งกึ่งกลาง

ตัวอย่างที่ 6 จงหามัธยฐานของข้อมูลต่อไปนี้ 9, 5, 11, 16, 6, 10, 13, 14, 17,

วิธีทำ เรียงข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดไปหาข้อมูลที่มีค่ามากที่สุดคือ 3, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 16

Median จะอยู่ตำแหน่งที่

ดังนั้น ค่ามัธยฐานเท่ากับ 5

ตัวอย่างที่ 7 จงหามัธยฐานของข้อมูลต่อไปนี้

40, 35, 24, 28, 26, 29, 36, 31, 42, 20, 23, 32

วิธีทำ เรียงข้อมูลจากข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดไปหาข้อมูลทีมีค่ามากที่สุดคือ 20, 23, 24, 26, 28, 29ล 31, 32, 35, 36, 40, 42, ซึ่ง n = 12

ตำแหน่งมัธยฐาน

ข้อมูลตำแหน่ง ที่ 6.5 อยู่ระหว่าง 29 กับ 31

มัธยฐานเท่ากับ

มัธยฐาน คือ

การหาค่าของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่ ( Grouped Data ) หรือคะแนนที่มีการแจกแจงความถี่ ทำได้ 2 วิธี

วิธีที่ 1 คำนวณจากสูตร

Mdn = มัธยฐาน ( Median )

L = ขีดจำกัดล่างที่แท้จริงของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่

i = อันตรภาคชั้น

F = ความถี่สะสมชั้นที่อยู่ก่อนชั้นที่มีมัธยฐานไปหาคะแนนน้อย

f = ความถี่ของคะแนนในชั้นที่มีมัธยฐาน

= ตำแหน่งของมัธยฐาน

ตัวอย่างที่ 8 จากข้อมูลในตารางแจกแจงความถี่ จงหาค่ามัธยฐาน

คะแนน

ความถี่ (f_i)

5 – 9

10 – 14

15 – 19

20 – 24

25 – 29

30 – 34

35 – 39

40 – 44

N = 30

หาค่ามัธยฐานของข้อมูล

วิธีทำ

หาความถี่สะสม
หาตำแหน่งของมัธยฐาน

คะแนน

ความถี่(f_i)

ความถี่สะสม (F)

5 – 9

10 – 14

15 – 19

20 – 29

25 – 29

30 – 34

35 – 39

40 – 44

N = 32

สูตร

= 16 ค่ามัธยฐานที่อยู่ในชั้น 20 – 24

L = 19.5

I = 5

F = 13

f = 5

แทนค่า Mdn = = = 23.7

ดังนั้น มัธยฐานคือ 23.7

ฐานนิยม (Mode)

ฐานนิยมคือ ค่าของคะแนนที่ซ้ำกันมากที่สุดหรือ ค่าคะแนนที่มีความถี่สูงที่สุดในข้อมูลชุดนั้น

การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่ ( Ungrouped Data ) พิจารณาค่าของข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุด คือฐานนิยม

ตัวอย่าง 5.9 จงหาฐานนิยมของข้อมูลต่อไปนี้ 3, 2, 4, 5, 6, 4, 8, 4, 7, 10

ข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุดคือ 4

ฐานนิยมคือ 4

ข้อมูลบางชุดอาจมีฐานนิยม 2 ค่า เช่น 10, 14, 12, 10, 11, 13, 12, 14, 12, 10

ข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุดคือ 10 กับ 12

ฐานนิยม คือ 10 กับ 12

ข้อมูลบางชุดอาจจะไม่มีฐานนิยมซึ่ง ได้แก่ ข้อมูลที่มีรายการซ้ำจำนวนเท่ากันหลายชุด เช่น 5, 2, 3, 4, 7, 8, 2, 3, 5, 9, 10, 2, 3, 5, 7, 9, 8, 7, 8

ข้อมูลที่ไม่มีรายการซ้ำกันเลย เช่น 8, 9, 10, 11, 13, 15

การหาฐานนิยมของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่ ( Grouped Data ) ในการหาฐานนิยมของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่

วิธีที่ 1 ให้สูตร

เมื่อ Mo = ฐานนิยม (Mode)

L = ขีดจำกัดล่างของคะแนนในชั้นที่มีความถี่สูงสุด

I = อันตรภาคชั้น

= ผลต่างของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นก่อนหน้า

= ผลต่างของความถี่มากที่สุดกับความถี่ของชั้นที่ถัดไปทางคะแนนมาก

ตัวอย่างที่ 10 จากข้อมูลในตารางแจกแจงความถี่ จงหาฐานนิยม

คะแนน

ความถี่ (f_i)

5 – 9

10 – 14

15 – 19

20 – 29

25 – 29

30 – 34

35 – 39

40 – 44

ความเห็น

บทความในวันเดียวกัน