ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อังกฤษ: Trigonometric function) คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ
ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้ายนิยามด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)
|
ฟังก์ชัน |
ตัวย่อ |
ความสัมพันธ์ |
|
ไซน์ (Sine) |
sin |
|
|
โคไซน์ (Cosine) |
cos |
|
|
แทนเจนต์ (Tangent) |
tan |
|
|
โคแทนเจนต์ (Cotangent) |
cot |
|
|
ซีแคนต์ (Secant) |
sec |
|
|
โคซีแคนต์ (Cosecant) |
csc |
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้ อยู่ในบทความเรื่อง เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด 90° (π/2 เรเดียน) ในที่นี้คือ C ส่วนมุม A กับ B นั้นเปลี่ยนแปลงได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A
เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้
ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ h
ด้านตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a
ด้านประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b
จะได้
1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
sin(A) = ข้าม/ฉาก = a/h
2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h
3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ
tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b
4). โคซีแคนต์ csc(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม
csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a
5). ซีแคนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด
sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b
6). โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม
cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a
วิธีจำ
วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า
ข้ามฉาก ... sin = ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ชิดฉาก ... cos = ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ข้ามชิด ... tan = ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
นิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ:
จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θกับแกน x ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด x และ y ของจุดตัดนี้จะเท่ากับ cos θและ sin θตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ =y/1 และ cos θ =x/1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ (เช่น มุม π/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม
ฟังก์ชัน f(x) = sin(x) และ f(x) = cos(x) ที่วาดบนระนาบคาร์ทีเซียน
สำหรับมุมที่มากกว่า 2πหรือต่ำกว่า −2πเราสามารถวัดมุมได้ในวงกลม ด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์และโคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบเท่ากับ 2π:
เมื่อ θเป็นมุมใดๆ และ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ
คาบที่เป็นบวกที่เล็กที่สุดของฟังก์ชันเป็นคาบ เรียกว่า คาบปฐมฐานของฟังก์ชัน คาบปฐมฐานของไซน์, โคไซน์, ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์ จะเท่ากับวงกลมหนึ่งวง นั่นคือเท่ากับ 2πเรเดียน หรือ 360 องศา คาบปฐมฐานของแทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ จะเท่ากับครึ่งวงกลม นั่นคือเท่ากับ πเรเดียน หรือ 180 องศา
จากข้างบนนี้ ค่าไซน์และโคไซน์ถูกนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยโดยตรง แต่สี่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือจะถูกนิยามโดย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O
ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (ตามรูปทางขวา) ซึ่งคล้ายกับการนิยามเชิงเรขาคณิตที่ใช้กันมาในสมัยก่อน ให้ AB เป็นคอร์ดของวงกลม ซึ่ง θเป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับคอร์ดนั้น จะได้
sin(θ) คือ ความยาว AC (ครึ่งหนึ่งของคอร์ด) นิยามนี้เริ่มใช้โดยชาวอินเดีย
cos(θ) คือระยะทางตามแนวนอน OC
versin(θ) = 1 −cos(θ) คือ ความยาว CD
tan(θ) คือ ความยาวของส่วน AE ของเส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุด A จึงเป็นที่มาของคำว่าแทนเจนต์นั่นเอง (tangent = สัมผัส)
cot(θ) คือ ส่วนของเส้นสัมผัสที่เหลือ คือความยาว AF
sec(θ) =OE และ
csc(θ) =OF เป็นส่วนของเส้นซีแคนต์ (ตัดวงกลมที่จุดสองจุด) ซึ่งสามารถมองว่าเป็นภาพฉายของ OA ตามแนวเส้นสัมผัสที่จุด A ไปยังแกนนอนและแกนตั้ง ตามลำดับ
exsec(θ) =DE = sec(θ) −1 (ส่วนของซีแคนต์ด้านนอก)
ด้วยวิธีสร้างเหล่านี้ ทำให้เห็นภาพฟังก์ชันซีแคนต์และแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ π/2 (90 องศา) และโคซีแคนต์และโคแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θเข้าใกล้ศูนย์ (เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติด้วยรูปภาพได้)
เวกเตอร์
(Vectors)
ปริมาณในทางฟิสิกส์ มี 2 ปริมาณคือ
1. ปริมาณสเกลาร์ (Scalar) เป็นปริมาณที่บอกขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น มวล , อัตราเร็ว , พลังงานฯลฯ
2. ปริมาณเวกเตอร์ (Vector) เป็นปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว , ความเร่ง , การกระจัด , แรงฯลฯ
1. การรวมเวกเตอร์
การรวมเวกเตอร์ หมายถึง การบวกหรือลบกันของเวกเตอร์ตั้งแต่ 2 เวกเตอร์ ขึ้นไป ผลลัพธ์ที่ได้เป็นปริมาณเวกเตอร์ เรียกว่า เวกเตอร์ลัพธ์ (Resultant Vector) ซึ่งพิจารณาได้ ดังนี้
1.1 การบวกเวกเตอร์โดยวิธีการเขียนรูปทำได้โดยเขียนเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้งจากนั้นเอาหางของเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกหรือผลต่าง มาต่อกับหัวของเวกเตอร์ตัวตั้งโดยเขียนให้ถูกต้องทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ลัพธ์หาได้โดยการวัดระยะทางจากหางเวกเตอร์แรกไปยังหัวเวกเตอร์สุดท้าย
จากรูปเวกเตอร ์ =
1.2 การบวกเวกเตอร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์
ให้ เวกเตอร์ ทำมุมกับ เป็นมุม q คำนวณหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้ดังนี้
ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์คำนวณได้จากกฎของโคไซน์
ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์หาได้จาก
a = ...........................................................(2)
หรือหาได้จากกฎของไซน์ ดังนี้
= = .......................................................(3)
ข้อสังเกต จากสมการที่ (1) พบว่า
เมื่อ q = (คือ และ อยู่ในทิศทางเดียวกัน) จะได้ขนาดของ = โดยทิศทางของ มีทิศเดียวกับ และ
เมื่อ q =
2.1 ถ้า > จะได้ = - และ
มีทิศเดียวกับ
2.2 ถ้า < จะได้ = - และ มีทิศเดียวกับ
3. เมื่อ q = จะได้
ขนาด R = และ a =
1.3 การลบเวกเตอร์
การลบเวกเตอร์ สามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้เช่นเดียวกับการบวกเวกเตอร์แต่ให้กลับทิศทางของเวกเตอร์ตัวลบ ดังนี้
.............................(4)
2. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย หมายถึงเวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วยในทิศทางใดๆ เช่น เวกเตอร์ สามารถเขียนได้ด้วยขนาดของ คูณกับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ซึ่งมีทิศทางเดียวกับ คือ
=
หรือ = .....................................................(5)
โดย คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีขนาดหนึ่งหน่วยและทิศเดียวกันกับ
ในระบบแกนมุมฉาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยบนแกน x , y และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ , และ ตามลำดับ จะได้
= ; = ; = ..............................(6)
เมื่อ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน x
คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน y
คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน z
3. เวกเตอร์องค์ประกอบ (Component Vector)
3.1 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 2 มิติ
ถ้า อยู่ในระนาบ x , y โดย ทำมุม q กับแกน x
องค์ประกอบของ ตามแกน x คือ โดย = Acosq
องค์ประกอบของ ตามแกน y คือ โดย = Asinq
ดังนั้น เวกเตอร์ เขียนแยกเป็นองค์ประกอบได้ ดังนี้
= + ............................(7)
หรือ
= Acosq + Asinq
โดยที่ ขนาดของ
= .................................(8)
3.2 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 3 มิติ
กำหนดให้ อยู่บนระนาบ x , y ,z โดยเวกเตอร์ ทำมุมกับแกน x , y , z เป็นมุม q x , q y , q z
ตามลำดับ เวกเตอร์ สามารถแยกเป็นองค์ประกอบตามแกน x , y , z ได้ ดังนี้
ขนาดของ แทนด้วย Ax = Acosq xโดยที่ cosq x =
ขนาดของ แทนด้วย Ay = Acosq yโดยที่ cosq y =
ขนาดของ แทนด้วย Az = Acosq zโดยที่ cosq z =
ดังนั้น =
=
ขนาด คือ
A = .......................................(9)
ทิศทางของเวกเตอร์ คือ มุมที่ ทำกับแกน x , y , z หาได้จาก
: :
4. เวกเตอร์ตำแหน่ง (Position Vector)
เวกเตอร์ตำแหน่ง หมายถึงเวกเตอร์ที่บอกตำแหน่งของวัตถุเทียบกับจุดใดจุดหนึ่ง เรียกว่าจุดอ้างอิง
จากรูปเวกเตอร์ และ เป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุด P และ Q เทียบกับจุด O ในระบบพิกัดโดย
จะได้
โดยขนาดของ คือ
.....................................(11)
ทิศทางของ หาได้จาก
; ; ...... (12)
5. การคูณเวกเตอร์ มี 2 แบบ ดังนี้
5.1 ผลคูณสเกลาร์ (Scalar product หรือ dot product แทนด้วยเครื่องหมาย " . " )
กำหนดให้ ทำมุม กับ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสองมีนิยามดังนี้
โดยที่ A และ B เป็นขนาดของเวกเตอร์ และ ตามลำดับ
คือมุมระหว่างเวกเตอร์ A กับ B
คุณสมบัติของผลคูณแบบสเกลาร์
ถ้า , , เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ , , เป็น unit vector ในแนวแกน x , y ,z จะได้ว่า
คุณสมบัติของผลคูณแบบสเกลาร์
ถ้า , , เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ , , เป็น unit vector ในแนวแกน x , y , z จะได้ว่า
ผลคูณเวกเตอร์ (Vector Product หรือ Cross Product แทนด้วยเครื่องหมาย “x” )
กำหนดให้ และ เป็นเวกเตอร์ที่ทำมุม q ต่อกัน และ เป็นเวกเตอร์ลัพธ์ โดย
ขนาดของ มีนิยามว่า
ทิศทางของ หาได้โดยใช้กฎมือขวา โดยปลายนิ้วทั้งสี่แทนทิศทางของ และหมุนไปหา จะได้นิ้วหัวแม่มือแทนทิศทางของ
คุณสมบัติของผลคูณแบบเวกเตอร์
หรือเขียนในรูปของดีเทอร์มิแนนท์ (Determinant) ได้ว่า
6. การหาอนุพันธ์ของเวกเตอร์
ถ้าเวกเตอร์ , และ เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ U ดังนั้น จะได้
