สรุปคณิตศาสตร์

บทนิยาม        ประพจน์ คือ ประโยค หรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
    ตัวอย่างเช่น  
    • เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้   → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ
    • ใครทำจานแตก → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ
    • -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง
      นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์

 

 

เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ

หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียก

สมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต"

 

• คู่อันดับ

          คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้
  สมบัติของคู่อันดับ
  1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b
  2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d
  3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d
           
• ผลคูณคาร์ทีเซียน

          ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B
  นั่นคือ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B }
  สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน
  กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว
 

1.

 A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A
  A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø
  A× B ≠ B × A ก็ต่อเมื่อ A ≠ B ≠ Ø
  2. A × Ø = Ø × A = Ø
  3. A × ( B ∪ C )
 
 = (A× B) ∪(A × C)
 

 

 (A ∪ B) × C = (A× C) ∪(B × C)
  4. A × ( B ∩ C ) = (A× B) ∩ (A × C)    
    (A ∩ B) × C = (A× B) ∩ (B × C)    
  5. A × ( B - C ) = (A× B) - (A × C)    
    (A - B) × C ) = (A× C) - (B × C)    
  6. ถ้า A ⊂ B แล้ว A × C ⊂ B × C
  7. ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว n( A × B ) = n(A) × n(B)
  8. ถ้่า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจำกัด ซึ่ง B ≠ Ø แล้ว A × B เป็นเซตอนันต์

 

 

• ฟังก์ชันจาก A ไป B
         f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย f : A → B
• ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
         f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A และเรนจ์เป็นของเซต B เขียนแทนด้วย f : A B
• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B
         f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า y ∈ R f
แล้วมี x ∈ Df เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ (x,y) ∈ f เขียนแทนด้วย f : B
         หรืออาจกล่าวอย่างง่ายๆได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อสำหรับ x1และ x2 ในโดเมน ถ้า
f( x1) = f( x2) แล้ว x1 = x2
• ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด
  ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R× R และ A ⊂ Df
  ♦ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A
 
ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) < f( x2)
  ♦ f เป็นฟังก์ชันลดใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A
 
ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) > f( x2)

 

 

บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง
                       
 

นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ
 
• สมบัติของค่าสัมบูรณ์
  1. |x| = |-x|
  2. |xy| = |x||y|
 
3. =
  4. | x - y | = | y - x |
  5. |x|2 = x2
  6. | x + y | ≤ |x| +|y|
  7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
      |x| < a หมายถึง -a < x < a
      |x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a
  8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
      |x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a
      |x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a