Eratosthenes

          วันนี้ได้สอนนักเรียนเกี่ยวกับ การร่อนหาจำนวนเฉพาะ โดยใช้ตะแกรงของ Eratosthenes จึงได้หาประวัติของ Eratosthenes of Cyrene มาฝากค่ะ

Eratosthenes : นักภูมิศาสตร์กรีกโบราณผู้ยิ่งใหญ่

    

        ปราชญ์กรีกในสมัยพุทธกาลมีความสนใจใคร่เรียนรู้เหตุการณ์ต่างๆ ที่เกิดในธรรมชาติมาก รวมถึงต้องการศึกษาเรื่องความจริง ปรัชญา และความนึกคิดด้านจริยธรรมต่างๆ ด้วย และหนึ่งในบรรดานักปราชญ์เหล่านั้นคือ Eratosthenes แห่งเมือง Cyrene ผู้มีความสามารถหลายด้าน เช่น เป็นกวี นักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ นักกรีฑา และนักภูมิศาสตร์ โดยเฉพาะในความสามารถด้านภูมิศาสตร์นั้น Eratosthenes เป็นบุคคลแรกที่ใช้คำว่า Geography (ภูมิศาสตร์) และสร้างวิทยาการด้านนี้ขึ้นมาด้วยการทำแผนที่ที่มีเส้นรุ้ง เส้นแวง อีกทั้งได้คำนวณเส้นรอบวงของโลกอย่างถูกต้องด้วย
       
       Eratosthenes เกิดเมื่อ 276 ปีก่อนคริสต์กาลที่เมือง Cyrene ซึ่งปัจจุบันอยู่ที่ประเทศ Libya แต่ขณะนั้นเป็นอาณานิคมหนึ่งของกรีซ ส่วนบิดาชื่อ Ariston แห่งเมือง Chios ในวัยหนุ่ม Eratosthenes ได้ไปเรียนหนังสือที่กรุง Athens โดยมี Lysanias เป็นครูสอนคณิตศาสตร์ให้ และได้ไปศึกษาต่อที่ Alexandria ซึ่งเป็นศูนย์กลางของวิทยาการในสมัยนั้น ขณะอยู่ที่นั่น กวี Callimachus เป็นผู้สอนวิธีการประพันธ์ให้ เพราะ Eratosthenes เรียนหนังสือและสอบได้ที่สองในแทบทุกวิชา ดังนั้นเพื่อนๆ จึงขนานนามว่า นาย Beta นอกจากจะเรียนหนังสือเก่งแล้ว Eratosthenes ยังเล่นกีฬาเก่งด้วย โดยเฉพาะด้านกรีฑา และมวยปล้ำ
       
       การมีความสามารถสูงทั้งเรียนและเล่นนี้เองที่ทำให้ Archimedes ผู้อาวุโสกว่า Eratosthenes 11 ปี เมื่อได้เรียบเรียงชื่อ The Method ขึ้นมา Archimendes ได้อุทิศคุณความดีของหนังสือนี้แก่ Eratosthenes ถึงคนทั้งสองจะเป็นเพื่อนที่ดีต่อกันแต่ความนึกคิดต่างๆ ก็แตกต่างกัน เช่น Archimedes แบ่งมนุษย์ออกเป็นสองพวก พวกแรกคือ คนกรีกที่มีความอารยะกับพวกที่ไม่ใช่กรีก ซึ่งเป็นพวกป่าเถื่อน แต่ Eratosthenes มิได้คิดเช่นนั้น เพราะเขาคิดว่าประชาชนของทุกชาติมีทั้งคนดีและคนเลว
       
       เมื่ออายุได้ 40 ปี จักรพรรดิ Ptolemy ที่3 Euergetes ได้ทรงโปรดให้ Eratosthenes เป็นพระอาจารย์สอนวิทยาการต่างๆ แก่พระราชบุตรที่เมือง Philopator เพราะทรงทราบว่า Eratosthenes ซึ่งขณะนั้นเป็นบรรณารักษ์อยู่ที่ห้องสมุด Alexandria มีความสามารถในแทบทุกแขนง และมีผลงานเขียนหนังสือมากมาย เช่น Good and Evil Measurement of the Earth, Comedy, Geography, Chronology, Constellation และ Duplication of the Cube โดยเฉพาะในหนังสือเล่มหลังสุดนี้ ตำนานเล่าว่า เมื่อครั้งที่กาฬโรคระบาดในเมือง Alexandria โหรประจำเมืองได้เสนอเจ้าเมืองให้สร้างแท่นบูชาพระผู้เป็นเจ้า ว่าถ้าแท่นใหม่มีปริมาตรเป็น 2 เท่า ของแท่งเดิม ซึ่งมีลักษณะเป็นลูกบาศก์ที่มีด้านยาว 1 เมตรซึ่งถ้าทำได้ ชาวเมืองก็จะปลอดภัย และ Eratosthenes จึงได้เสนอให้สร้างแท่นบูชาใหม่โดยให้มีความยาวด้านละ 1.26 เมตร
       
       นอกจากนี้ Eratosthenes ยังสนใจเรื่องทฤษฏีจำนวนด้วย โดยได้คิดวิธีหาเฉพาะ (Prime number) ด้วยการใช้ตะแกรง (Sieve of Eratosthenes) ซึ่งเทคนิคนี้ใช้วิธีเขียนจำนวนเต็มต่างๆ เรียงกันไป แล้วกำจัดจำนวนประกอบ (Composite number) ออกจนหมด ทำให้จำนวนเต็มที่เหลือ คือ จำนวนเฉพาะ การบุกเบิกการศึกษาคณิตศาสตร์ด้านนี้ คือ เป็นก้าวสำคัญ เพราะแต่ไหนแต่ไรมาตั้งแต่ Euclid เขียนตำรา The Elements แล้ว คนกรีกหันไปสนใจเรขาคณิตหมด จนแทบไม่มีใครสนใจทฤษฎีจำนวนเลย
       
       เมื่ออายุมากขึ้นสุขภาพของ Eratosthenes เริ่มทรุดโทรม ตาทั้งสองข้างเริ่มเป็นต้อหิน ทำให้มีความทุกข์ทรมานมากเพราะอ่านหนังสือไม่ได้ Eratosthenes จึงตัดสินใจอดอาหารจนเสียชีวิตที่เมือง Alexandria เมื่อ 192 ปีก่อน คริสตกาล
       
       ผลงานสำคัญของ Eratosthenes ที่ยังปรากฏอยู่จนทุกวันนี้ คือ วิธีการใช้คณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ในการศึกษาธรรมชาติ โดยได้คิดวิธีวัดเส้นรอบวงของโลกเป็นคนแรก และออกแบบ Grid ของเส้นขนานที่ใช้ในการเขียนแผนที่ และจากการศึกษานี้ Eratosthenes ก็ได้สรุปว่า การเดินทางรอบโลกเป็นเรื่องที่เป็นไปได้
       
       นับตั้งแต่สมัยโบราณ มนุษย์คิดว่าโลกมีลักษณะแบนราบเหมือนแผ่นกระดาษแต่เมื่อคนบนฝั่งที่เฝ้ามองเรือแล่นจากฝั่งออกสู้ทะเลลึก แล้วเห็นลำเรือค่อยๆ เลือนหายไปจากสายตา เขาจึงคิดว่าผิวโลกมีความโค้งเล็กน้อย และความโค้งนี้ได้บดบังเรือ เพราะถ้าโลกแบนภาพของเรือก็จะปรากฏต่อสายตาตลอดไป
       
       ถึงจะรู้แต่ก็ไม่มีใครสามารถวัดความโค้งนี้ได้ จนกระทั่ง 2,600 ปีก่อน Pythagoras ก็ได้ใช้หลักตรรกวิทยาว่า ในเมื่อบรรดาดาวต่างๆ ทั้งดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ ดาวอังคาร ฯลฯ ล้วนมีลักษณะกลม ดังนั้นโลกก็สมควรมีลักษณะกลมด้วย อีก 200 ปีต่อมา Aristotle ก็เห็นพ้องกับ Pythagoras ว่าโลกกลม
       
       ปัญหาที่ตามมาคือ มนุษย์จะมีวิธีวัดรัศมีของโลกหรือไม่ และนี่ก็คือผลงานที่สำคัญของ Eratosthenes เมื่อเขาได้สังเกตเห็นว่า ในวันแรกของฤดูร้อน (21 มิถุนายน summer solstice ) ขณะเที่ยงวัน ดวงอาทิตย์จะอยู่เหนือศรีษะของคนในเมือง Cyrene พอดี ทำให้วัตถุที่ปักตรงดิ่งจะไม่ทอดเงาใดๆ ดังนัน้นแสงอาทิตย์จะตกตรงถึงก้นบ่อได้ แต่ที่เมือง Alexandria ซึ่งตั้งอยู่ทางทิศเหนือของ Cyrene และอยู่ห่างออกไปเป็นระยะทาง 5,000 Stadia ดวงอาทิตย์มิได้อยู่เหนือศรีษะแต่เอียงทำมุมประมาณ 7.2 องศากับแนวดิ่ง (Stadium เป็นหน่วยวัดความยาวที่จักรพรรดิ Alexandria ทรงใช้ ซึ่งมีค่าประมาณ 0.16 กิโลเมตร และพหูพจน์ของ stadium คือ stadia)
       
       ในการคำนวณระยะทางระหว่าง Alexandria กับ Cyrene นั้น Eratosthenes ได้อาศัยการประมาณจากความรู้ว่าอูฐใช้เวลา 50 วัน ในการเดินทางระหว่างเมืองทั้งสอง และเมื่ออูฐเดินทางได้วันละ 100 stadia ดังนั้นระยะทางจึงเท่ากับ 50 x 100 = 5,000 stadia และเพราะโลกกลม ดังนั้น Eratosthenes จึงใช้อัตราส่วนที่ว่า
       
        7.2 องศา = 5,000 stadia
       ----------- ----------------
        360 องศา เส้นรอบวงของโลก
       
       สมการนี้จึงทำให้ค่าเส้นรอบวงของโลก = 250,000 stadia จึงคิดเป็นระยะทาง 40,000 กิโลเมตร ที่ใกล้เคียงกับเส้นรอบวงจริง 40,700 กิโลเมตรมาก และเพราะเส้นรอบวง = 2πr เมื่อ r คือ รัศมีของโลก ดังนั้น r จึงเท่ากับ 250,000/2 r = 39,789 stadia ที่คิดเป็นระยะทาง 6,366 กิโลเมตร ซึ่งใกล้เคียงกับตัวเลขรัศมีของโลกปัจจุบัน (6,488 กิโลเมตร) มาก ทั้งๆ ที่ Eratosthenes ไม่ต้องเดินทางออกจากอียิปต์เลย และระยะทางจาก Alexandria ถึง Cyrene ก็ไม่รายเรียบ อีกทั้งอุปกรณ์วัดมุมต่างๆ ก็ไม่ละเอียด แต่ผลคำนวณสุดท้ายก็ใกล้เคียงความจริงมาก
       
       Eratosthenes ได้เรียบเรียงวิธีวัดนี้ในหนังสือชื่อ Measurements of the Earth ซึ่งเป็นตำราที่มีข้อมูลภูมิศาสตร์ และดาราศาสตร์มากมาย เช่น มีข้อมูลว่า Eratosthenes ได้พยายามวัดระยะทางจากโลกถึงดวงจันทร์และดวงอาทิตย์ และพบว่าดวงอาทิตย์กับดวงจันทร์อยู่ห่างจากโลก 128,640 กิโลเมตรกับ 124,800 กิโลเมตร ตามลำดับโดยดวงอาทิตย์มีขนาดใหญ่กว่าโลก 27 เท่า (Eratosthenes ที่ได้ระบุชัดว่า ใหญ่กว่าในที่นี้หมายถึงปริมาตร หรือความยาวของเส้นผ่าศูนย์กลางกันแน่) หนังสือนี้ยังกล่าวถึงปรากฏการณ์สุริยุปราคา และจันทรุปราคาด้วย อีกทั้งยังระบุว่า ภูเขาที่สูงที่สุดของโลกสูง 1.6 กิโลเมตร
       
       ถึง Eratosthenes จะรู้ว่าโลกกลม แต่บรรดานักปราชญ์ นักบวช และกษัตริย์ต่างๆ ยังปักใจเชื่อว่าโลกแบน และงมงายในเรื่องนี้อีกนาน 1,500 ปี จนกระทั่ง Ferdinand Magellan สามารถเดินทางรอบโลกได้ และพิสูจน์ให้ทุกคนเห็นว่าโลกมีลักษณะกลมเหมือนผลส้ม จึงมีจุดศูนย์กลาง และจุดศูนย์กลางของโลก ก็คือ จุดศูนย์กลางของเอกภาพ
       
       สำหรับผลงานด้านภูมิศาสตร์ที่สำคัญอีกชิ้นหนึ่งของ Eratosthenes คือ การใช้ grid (ตารางขนาน) ในการบอกตำแหน่งของสถานที่ต่างๆ บนโลก โดย Eratosthenes ได้กำหนดให้มีเส้นมาตรฐานที่ลากผ่านเกาะ Rhodes และศูนย์กลางของทะเลเมดิเตอเรนียน และให้บริเวณที่อยู่เหนือและใต้เส้นนี้ เป็นเส้นโลกส่วนเหนือและโลกใต้ตามลำดับ จากนั้นก็ลากเส้นต่างๆ ในแนวตะวันออก-ตะวันตก ให้ขนานกับเส้นมาตรฐาน รวมทั้งลากเส้นตั้งฉากในแนวเหนือ-ใต้กับเส้นมาตรฐานด้วย โลกกลมของ Eratosthenes จึงถูกแบ่งออกเป็น 60 ส่วน ถึงขนาดของส่วนต่างๆ จะไม่เท่ากัน แต่แผนที่ก็สามารถใช้บอกตำแหน่งของเมืองต่างๆ ในโลกโบราณได้ และจากความคิดของ Eratosthenes นี้เองที่นักภูมิศาสตร์ได้ใช้ในการสร้าง เส้นรุ้งและเส้นแวง
       
       Eratosthenes ยังได้ครุ่นคิดว่ามีอะไรอยู่ทางทิศตะวันตกของทะเลเมดิเตอเรเนียน และทางตะวันออกของมหาสมุทรอินเดีย และเมื่อ Eratosthenes ได้พบว่าปรากฏการณ์น้ำขึ้นน้ำลงในทะเลต่างๆ มีรูปแบบเดียวกัน ดังนั้นเขาจึงคิดว่าทะเลทุกแห่งเป็นส่วนของพื้นน้ำเดียวกัน ดังนั้น การเดินเรือไปทางตะวันตกของเมดิเตอเรเนียน จะสามารถอ้อมโลกกลับมาสู่ที่เดิมได้
       
       ทฤษฎีโลกกลมของ Eratosthenes ได้รับการยืนยันในปี ค.ศ.1521 เมื่อ Ferdinand Magellan ประสบความสำเร็จในการเดินทางรอบโลกด้วยเรือ
       
       ณ วันนี้ หลุมอุกกาบาตหลุมหนึ่งบนดวงจันทร์ได้รับการตั้งชื่อว่า Eratosthenes