คูณเลขสองชุดที่ลงท้ายด้วย 5 ในใจ
บางครั้งซื้อของ ต้องมีการคิดเลขในใจ เช่น ซื้อทุเรียน 3.5 กิโลกรัม กิโลกรัมละ 65 บาท ซึ่งตัวเลขที่พบบ่อย มีการลงท้ายด้วย 5
กรณีแรก เป็นกรณีเฉพาะ คือเลขลงท้ายด้วย 5 ยกกำลังสอง
มีวิธีคิดลัดกรณีนี้ที่ผมเคยอ่านเจอสมัยเด็ก อยากอ้างอิงแหละครับ แต่จำไม่ได้ และหาอ้างอิงไม่ได้แล้ว ผ่านมานานเกินไป
วิธีการคือ ให้นำเลขหน้า คูณกับ (เลขหน้า+1) แล้วเติม 25 ห้อยท้าย
เช่น 65 ยกกำลังสอง ก็จะหยิบเลขหน้า คือ 6 ออกมา
6 คูณกับ (6+1) = 6 x 7 = 42
เติม 25 ต่อท้าย ก็จะได้ 4225
กรณีที่สอง เป็นกรณีทั่วไป
เช่น 45 x 85
วิธีนี้ผมคิดเองตอนเด็ก แล้วบังเอิญใช้ได้ จะว่าคิดก็ไม่ใช่ซะทีเดียว ต้องเรียกว่ามองเห็น เพราะผมมองว่า น่าจะเอากรณีเลขยกกำลังสองนั่นแหละ มาปรับใช้
ปรับใช้ยังไง ?
ถ้าผมเอา 4 คูณ (8+1) ก็คงไม่ยุติธรรมกับ 8 x (4+1) จริงไหม ?
ในมุมกลับ ถ้าเอา 8 x (4+1) ก็คงไม่ยุติธรรมกับ 4 คูณ (8+1) เช่นกัน
เอาทั้งคู่ก็ไม่ได้ ต้องเอามารายการเดียว
เพื่อให้ยุติธรรม ก็ต้องแบ่งกัน
4 คูณ (8+1) มาแบ่งเฉลี่ยกับ 8 คูณ (4+1)
ก็คือ (36 + 40) หาร 2
ก็ได้ 38
คราวนี้ก็เติม 25 ตามหลัง ก็ได้ 3825 เสร็จเรียบร้อย
ลองตรวจสอบดู เอ๊ะ ตรง
หลังจากตรวจสอบดูหลาย ๆ ครั้ง เอ๊ะ ใช้ได้ แต่บางครั้งก็เจอกรณีที่เฉลี่ยแล้วไม่ลงตัว
ลองดูอย่างเช่น 75 x 45
ทำตามวิธีข้างต้น ได้ ((7 x 5) + (4 x 8)) / 2 = (35+32)/2 = 33.5
ทำไงกับ 0.5 ล่ะ ?
กรณีที่หารแล้วมี 0.5 ก็ให้ใช้ 75 เป็นตัวต่อท้าย
กรณีนี้ 75 x 45 จึงได้ 3375
หลังจากนั้น เมื่อเรียนพีชคณิต ผมก็ลองหยิบกรณีเหล่านี้มาพิสูจน์ดู ก็เห็นชัดว่า วิธีคิดลัดตามนี้ สอดคล้องกับหลักพีชคณิต
เช่น กรณีแรก เช่น 35 ยกกำลังสอง
ทำให้เป็นพีชคณิต ก็จะเป็น (10a+5) คูณ (10a+5)
ก็จะได้ 100 a*a+ 100 a + 25 = 100*a*(a+1) + 25
ซึ่งถ้าดูให้ดี การที่มี 100 มาคูณ a(a+1) เป็นการรับประกันว่า จะไม่มีส่วนไหนล้ำไปยังสองตำแหน่งหลังเลย เพราะไม่ว่าคูณกันได้เท่าไหร่ ก็เป็นเรื่องของระดับหลักร้อยล้วน ๆ ดังนั้น การต่อท้ายด้วย 25 จึงทำได้ทันที
ผลคือ 35 กำลังสอง ก็จะได้ 1225
ส่วนกรณีที่สอง เช่น 35 x 65
ก็คือกรณี (10a+5)(10b+5)
ก็จะได้ 100ab + 50a + 50b + 25
จำตรงนี้ไว้ดี ๆ นะครับ เพราะจะสามารถแตกแขนงไปสู่ข้อสรุปใหม่
ตรงนี้ ถ้าจับมาพิสูจน์เอกลักษณ์ ก็จะได้เท่ากับ 100{ [a(b+1) + b(a+1)]/2 } + 25 ซึ่งตรงกับที่ผมว่าไว้ตอนต้น
แต่จากพีชคณิตนี้ มีวิธีจัดเรียงใหม่ที่เรียบง่ายสวยงามกว่ามาก นั่นคือ จัดเรียงให้เป็น
100 [ab + (a+b)/2] + 25
ซึ่งสรุปเป็นการกระทำก็คือ ให้เลขเลขหน้าทั้งคู่คูณกันเอง บวกด้วยค่าเฉลี่ยของเลขหน้า ถ้าเฉลี่ยแล้วลงตัว ให้เติม 25 หรือถ้าเฉลี่ยแล้วไม่ลงตัว ให้เติม 75
ดังนั้น 35 x 65 ก็จะได้ว่า ข้างหน้า จะต้องเป็น (3 x 6 บวกค่าเฉลี่ยของ 3 และ 6) = 18 + 4.5 = 22.5 ดังนั้น คำตอบ จะกลายเป็น 2275
จากกรณีนี้ สอนใจผมว่า
- การแก้ปัญหาโดยเน้นความสมมาตรเชิงรูปภาพ เป็นวิธีการคิดแบบหนึ่ง เป็นการคิดเป็นภาพ ซึ่งบางครั้งอาจนำมาใช้แก้ปัญหาได้เหมือนกัน
- การลองผิดลองถูก ก็เป็นวิธีที่พอใช้ได้ แต่ต้องพิสูจน์กันหน่อยว่าไม่ได้สรุปผิด
- สมการ หรือปรากฎการณ์ อาจมีได้หลายหน้า บางหน้าอาจใช้ประโยชน์ได้ง่ายกว่า บางหน้าก็อาจใช้ยากกว่า บางหน้าเราเข้าใจง่าย บางหน้าเราอาจไม่เข้าใจ ดังนั้น เมื่อเจอสิ่งที่ไม่เข้าใจ ลองตั้งคำถามตัวเองว่าเรากำลังมองผิดมุมอยู่ไหม
ความเห็น (2)
เอ ทีบันทึกนี้เรารู้เรื่องค่ะ
พอใช้ได้นะคะ..อาจารย์ หมายถึงดิฉันน่ะค่ะ
สวัสดีครับ คุณหมอ
จริยา
- ทำไมถ่อมตัวยังงั้นล่ะครับ ?
- เรื่องเคล็ดพวกนี้ ดูให้ดี ๆ ก็ไม่ได้จำเป็น จึงไม่แปลกที่จะมีบางคนรู้ บางคนไม่รู้
- ไม่รู้ก็ไม่ได้เสียหายครับ
- ผมบังเอิญรู้ ก็มาเล่าให้ฟัง ให้เยาวชนได้เห็นเรื่องแปลกหูแปลกตาที่ประเทืองใจ