จำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะ

พอดีมีน้องคนนึงถามว่า พี่ช่วยอธิบายว่า จำนวนตรรกยะ กับจำนวนอตรรกยะ ให้ฟังหน่อย ก็อธิบายให้น้องเค้าฟังแบบคร่าวๆ มีการถามตอบกันบ้าง คิดว่าน้องเค้าเข้าใจได้ดีเลยทีเดียวและบอกผมว่า พี่ไม่เอาไปลงใน Blog อ่ะ เผื่อจะกลับมาอ่านอีกที ก็เลยจะลองเขียนลง Blog ดูหน่อย เผื่อจะมีประโยชน์กับน้องๆ ประถมหรือว่ามัธยมด้วยครับ

จำนวนตรรกยะ หรือภาษาอังกฤษเรียกว่า Rational Number ถ้าแปลตามตัวก็แปลว่า จำนวนที่สมเหตุสมผล, จำนวนที่เข้าใจได้ อะไรประมาณนี้ คำว่า Rational ก็ถูกนำไปใช้เยอะเหมือนกันครับ เช่น วิชาเศรษฐศาสตร์ก็มาจากพื้นฐานของคำว่า Human is rational หรือว่ามนุษย์เป็นสิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลในการเลือกและทำสิ่งต่างๆ (หนังสือบางเล่มใช้แปลว่า มนุษย์เป็นสัตว์ช่างเลือกแทน) ส่วนจำนวนอตรรกยะ ก็มาจาก Irraional Number ที่มาจาก Not rational หรือไม่สมเหตุสมผลนั่นเอง แล้วมันไม่สมเหตุสมผลยังไงก็ลองมาดูกันครับ

จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่เขียนในรูปของเศษส่วนได้ เช่น 1/2, 2/3, 1/3, 50/49, 1, -1, 0 เราใช้มันในชีวิตประจำวัน และรู้และเข้าใจได้อย่างชัดเจน กรณีนี้ครอบคลุมถืง เลขที่ประกอบด้วยจุดทศนิยมซ้ำด้วยเช่น 3.33333... เท่ากับ 10/3 หรือ 0.142857142857142857142857142857... เท่ากับ 1/7 (เลขที่มีทศนิยมซ้ำทุกตัวสามารถนำมาเขียนเป็นรูปเศษส่วนได้) ซึ่งดูๆ แล้วมันก็ดูสมเหตุสมผลและก็เข้าใจได้ไม่ยาก ถ้าเราเอาไม้บรรทัดมาวางไว้ เราจะบอกได้ว่าจำนวนตรรกยะ อยู่ตรงไหนของไม้บรรทัดได้ เช่น 1/3 เราก็เอาความยาวมาจำนวนหนึ่งและแบ่งเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน จำนวน 1/3 ก็จะอยู่ตรงส่วนแรกเราแบ่งไว้ ส่วนจำนวน 2/3 ก็จะอยู่ตรงส่วนที่สองที่เราแบ่งไว้

จำนวนอตรรกยะ

คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนอยู่ในรูปของเศษส่วน นั่นเอง ประวัติของมันคือ สมัยก่อนมีการแบ่ง วัดขนาด สร้างสิ่งต่างๆ ด้วยคณิตศาสตร์มาเสมอมา ก็มีการคำนวนด้วยเลขเศษส่วนเรื่อยมา แต่นักคิด และนักวิทยาศาสตร์ไม่ได้หยุดอยู่แค่นั้นหน่ะครับ เมื่อพบตัวเลข รากที่สองของสอง เป็นจำนวนอตรรกยะตัวแรก ซึ่งมาจาก สูตรหา ด้านที่สาม ของสามเหลี่ยมมุมฉาก c2 = a2 + b2 ซึ่งถ้าเราแทนค่าด้วย 1 ทั้งสองด้าน ด้านที่สามจะยาวเป็น รากที่สองของสอง ( _/2 )

ถ้าสามเหลี่ยมมุมฉากอันหนึ่งด้าน a และ ด้าน b ยาว 1 cm ด้าน c จะยาวเท่ากับรากที่สองของสอง cm หรือประมาณ 1.414 cm ที่ต้องบอกว่าประมาณเพราะว่าไม่รู้่ว่ามันยาวเท่าไหนกันแน่

ทำไมหล่ะ?

เพราะว่าถ้านำ รากที่สอง มาเขียนจริงๆ จะพบว่าไม่ได้ลงเอยที่ทศนิยมซ้ำ รากที่สอง ที่เครื่องคิดเลขคำนวนได้ 1.4142135623 และถ้าใช้เครื่องคิดเลขในคอมฯ จะคำนวนได้ 1.4142135623730950488016887242097 ถ้าผมมีเครื่องคิดเลขที่ประสิทธิภาพสูงกว่านี้ก็จะได้คำนวนได้ตัวเลขที่ยาวกว่านี้ แต่ไม่ว่าใช้เครื่องคิดเลขที่มีประสิทธิภาพขนาดได้ก็จะไม่มีวันได้พบจุดลงเอยเป็นทศนิยมซ้ำ แน่นอนว่า รากที่สอง ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ มันอาจจะประมาณ 7/5 แต่ก็ไม่ใช่ค่าจริงๆ ของมัน

แน่นอนว่าถ้าหาตำแหน่งที่แท้จริงของมันบนไม้บรรทัดก็คงจะปวดหัวน่าดู ลองคิดดูว่า คุณอยากรู้ว่าตำแหน่งของ รากที่สองของสองเซ็นติเมตร อยู่ตรงไหนของไม้บรรทัดอย่างแท้จริง คุณอาจจะจิ้มเอาตรง 1 cm 4 mm แต่ถ้าซูมเข้าไปดู ก็จะเห็นว่าไม่ใช่ ต้องขยับไปอีกนิดนึงทางด้านขวา เป็น 1 cm กับ 4 mm กับอีก 142 um แต่ก็ยังไม่ใช่ อยู่ดีเพราะว่าต้องขยับไปด้านขวาอีกนิดนึงเป็น เป็น 1 cm 4 mm 142 um 136 nm แต่ก็ยังไม่ตรงอีกต้องขยับไปทางด้านซ้าย ต่อให้คุณทำอย่างนี้เป็นล้านๆ ครั้ง คุณก็ยังต้องทำอย่างนี้ไปเรื่อยๆ ไม่มีที่สิ้นสุด

ซึ่งเพราะว่ามันดูไม่สมเหตุสมผล เมื่อเทียบกับจำนวนเศษส่วน 1/2, 1/3 มันจึงถูกเรียกว่า จำนวนอตรรกยะ นั่นเอง ยังมีเลขอื่นๆ ที่เป็นจำนวนอตรรกยะ เช่น รากที่สองของสาม (_/3), e, pi, ค่า phi, ฯลฯ

"ใช้ประโยชน์อะไรในชีวิตประจำวันได้ไหม"

เบื้องต้นก็คงบอกว่าไม่มี ยกเว้นว่าจะทำงานเกี่ยวกับวิศวกรรม วิทยาศาสตร์ สถาปนิก หรือว่า คณิตศาสตร์

บันทึกนี้เขียนที่ GotoKnow โดย 

 หมายเลขบันทึก: 473190
 เขียน:  
 อ่าน: คลิก 
 สัญญาอนุญาต: ครีเอทีฟคอมมอนส์แบบ แสดงที่มา-ไม่ใช้เพื่อการค้า-อนุญาตแบบเดียวกัน
 แจ้งลบ
 
 แจ้งลบ

ความเห็น

 อนุญาตให้แสดงความเห็นได้เฉพาะสมาชิก
 ไม่อนุญาตให้แสดงความเห็น
{{ kv.current_user.preferred_name }} - เพิ่มความเห็นเพิ่มความเห็น
 ใส่รูปหรือไฟล์
 
บันทึกก่อนนี้
บันทึกใหม่กว่า