สมาชิก
แลกเปลี่ยน

เมทริกซ์

การบวก

เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)

นิยาม

           เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น

\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & -3 & -4 \end{bmatrix}

           เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 1
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5

            เราเรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว และ n หลัก เรียกว่า เมทริกซ์  m \times  n เราเรียกจำนวน m และ n

ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์

เราใช้สัญญลักษณ์ A = (a_{i,j})_{m \times n} เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ A ซึ่งมี m แถว และ n หลัก โดยที่ ai,j (หรือ aij) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว i และ หลัก j ของเมทริกซ์

A=A_{m \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & \cdots & a_{2n}\\ \vdots &        & \ddots &        & \vdots\\ \vdots &        &        & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & \cdots & a_{mn}\\ \end{bmatrix}

 

การบวกและคูณเมทริกซ์ 

การบวก

          ให้ A = (a_{i,j})_{m \times n} และ B = (b_{i,j})_{m \times n} เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก A + B ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด m \times n ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก C = (c_{i,j})_{m \times n} = A+B แล้ว ci,j = ai,j + bi,j ยกตัวอย่างเช่น
   \begin{bmatrix}     1 & 3 & 2 \\     1 & 0 & 0 \\     1 & 2 & 2   \end{bmatrix} +   \begin{bmatrix}     0 & 0 & 5 \\     7 & 5 & 0 \\     2 & 1 & 1   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     1+0 & 3+0 & 2+5 \\     1+7 & 0+5 & 0+0 \\     1+2 & 2+1 & 2+1   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     1 & 3 & 7 \\     8 & 5 & 0 \\     3 & 3 & 3   \end{bmatrix}

การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง

 การคูณด้วยสเกลาร์

        กำหนดเมทริกซ์ A = (a_{i,j})_{m \times n} และจำนวน c เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์ cA ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด m \times n ที่คำนวณโดยการนำ c ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ A กล่าวคือ หาก B = (b_{i,j})_{m \times n} = cA แล้ว bi,j = cai,j ยกตัวอย่างเช่น

2   \begin{bmatrix}     1 & 8 & -3 \\     4 & -2 & 5   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\     2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     2 & 16 & -6 \\     8 & -4 & 10   \end{bmatrix}

            จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด m \times n ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ mn ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง

การคูณ

         ถ้า A = (a_{i,j})_{m \times n} และ B = (b_{i,j})_{n \times p} เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวนแถวของ B แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ AB ว่าเป็นเมทริกซ์ C = (c_{i,j})_{m \times p} โดยที่

c_{i,j} = a_{i,1} b_{1,j} + a_{i,2} b_{2,i} + \cdots + a_{i,n} b_{n,i} = \sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j}

          กล่าวคือสมาชิกในแถว i หลัก j ของผลคูณ AB คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก i ของ A และสมาชิกของคอลัมน์ B ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง n ผลคูณนั้นมาบวกกัน

          ปฏิบัติการนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ a_i = (a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots, a_{i,n}) เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว i ของ A และให้ b_j = (b_{1,j}, b_{2,j}, \ldots, b_{n,j}) เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก j ของ B แล้ว เราจะได้ว่า c_{i,j} = a_i \cdot b_j เมื่อ a_i \cdot b_j คือผลคูณจุดของ ai และ bj เช่น

ให้  A =    \begin{bmatrix}     a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\     a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\   \end{bmatrix} =     \begin{bmatrix}     a_1 \\     a_2 \\   \end{bmatrix} และ  B =    \begin{bmatrix}     b_{1,1} & b_{1,2} \\     b_{2,1} & b_{2,2} \\     b_{3,2} & b_{3,2} \\   \end{bmatrix} =     \begin{bmatrix}     b_1 & b_2 \\   \end{bmatrix}
           แล้ว  A \times B =     \begin{bmatrix}     a_1 \cdot b_1  &  a_1 \cdot b_2 \\     a_2 \cdot b_1  &  a_2 \cdot b_2 \\   \end{bmatrix}

                   และ

   \begin{bmatrix}     1 & 0 & 2 \\     -1 & 3 & 1 \\   \end{bmatrix} \times   \begin{bmatrix}     3 & 1 \\     2 & 1 \\     1 & 0   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}      (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\     (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     5 & 1 \\     4 & 2 \\   \end{bmatrix}

การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้

  • สมบัติการเปลี่ยนหมู่: (AB)C = A(BC) สำหรับเมทริกซ์ A ขนาด k \times m, B ขนาด m \times n, และ C ขนาด n \times p ใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
  • สมบัติการแจกแจงทางขวา: (A + B)C = AC + BC สำหรับเมทริกซ์ A และ B ขนาด m \times n และ C ขนาด n \times p ใดๆ
  • สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: C(A + B) = CA + CB สำหรับเมทริกซ์ A และ B ขนาด m \times n และ C ขนาด k \times m ใดๆ

         คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากมันไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์ A ขนาด m \times n และ B ขนาด n \times p ใดๆ

  • ถ้า m \neq p แล้ว ผลคูณ BA ไม่มีนิยาม
  • แม้ m = p แต่ถ้า m \neq n แล้ว AB เป็นเมทริกซ์ขนาด m \times m ส่วน BA เป็นเมทริกซ์ขนาด n \times n ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด
  • แม้ m = n = p แต่ส่วนมากแล้ว AB มักจะมีค่าไม่เท่ากับ BA ยกตัวอย่างเช่น
 \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 10 & 12 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 8\\ 5 & 12 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}
 

บันทึกนี้เขียนที่ GotoKnow โดย 

บันทึกก่อนนี้
บันทึกใหม่กว่า
· คำสำคัญ: นิยาม มิติ แถว การคูณ การบวกเมทริกซ์ 
· หมายเลขบันทึก: 200674 · เขียน:  
· ความเห็น:
3
 · อ่าน: แสดง
· สัญญาอนุญาต: สงวนสิทธิ์ทุกประการ
แจ้งลบ
แจ้งลบ
นายประจักษ์ ปานอินทร์
เขียนเมื่อ Wed Aug 13 2008 16:35:21 GMT+0700 (ICT)
  • อาจารย์เก่งจังเลย
  • วันแรกเขียนบันทึกได้เยี่ยมมาก

ดร.p
IP: xxx.174.130.156
เขียนเมื่อ Sat Nov 08 2008 18:45:51 GMT+0700 (ICT)

โง่.................

แนน
IP: xxx.147.40.178
เขียนเมื่อ Thu Jan 29 2009 09:45:13 GMT+0700 (ICT)

ขอบคุณสำหรับข้อมูล

ที่ให้ศึกษานะค่ะ

อนุญาตให้แสดงความเห็นได้เฉพาะสมาชิก
ไม่อนุญาตให้แสดงความเห็น
{{ kv.current_user.preferred_name }} - เพิ่มความเห็นเพิ่มความเห็น
ใส่รูปหรือไฟล์