สมาชิก
แลกเปลี่ยน

สับเซตและเพาเวอร์เซต

มาเริ่มเรียนสับเซตและเพาเวอร์เซตกันเถอะ

 

จุดประสงค์

1. สามารถหาสับเซต เพาเวอร์เซต และแสดงเซตโดยใช้แผนภาพได้

 1.2  สับเซต ( Subset ) 

นิยาม  เซต A เป็นสับเซต ของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ เซต A เป็นสมาชิกของเซต  B

                สัญลักษณ์             เซต A เป็นสับเซตของเซต B  แทนด้วย                          A Ì B

เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B  แทนด้วย                     A Ë B

หมายเหตุ              เซต A ไม่เป็นสับเซต ของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกอย่างน้อย 1 ตัวของ

เซต A ไม่เป็นสมาชิกของเซต B

                ตัวอย่างที่ 10 กำหนดให้

A = { 1 , 2 }

B = { 2 , 3 }

C  = { 1 , 2 , 3 }

D  = { 1 , 2 , 3 , 4 }

จงตรวจสอบดูว่า  เซตใดเป็นสับเซตของเซตใด

วิธีทำ             A Ë B  ,  A Ì C  ,  A Ì D

                       B Ë A  ,  B Ì C  ,  B Ì D

                       C Ë A  ,  C Ë B  ,  C Ì D

                       D Ë A  ,  D Ë B  ,  D Ë C

ตัวอย่างที่ 11        ให้  A = { 1 , 2 , 3 , 4 } , B = { 2 , 1 , 4 , 3 }

ตรวจสอบดูว่า

1.       เซต A เป็นสับเซตของเซต B หรือไม่

2.       เซต B เป็นสับเซตของเซต A หรือไม่

วิธีทำ      1. AÌ B  เพราะ  สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B

                2. B Ì A  เพราะ  สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A

หมายเหตุ             A = B ก็ต่อเมื่อ  A Ì B และ B Ì A

ตัวอย่างที่  12       กำหนดให้ A = { a , b , c }  จงหาสับเซตทั้งหมดของ A

                วิธีทำ      สับเซตทั้งหมดของ A ได้แก่

                                Æ , {a} , {b} ,{c} , {a,b} , {a ,c} , {b,c} , {a,b,c}

  

ตัวอย่างที่  13       กำหนดให้ B = { 1 , {2} }  จงหาสับเซตทั้งหมดของ B

                วิธีทำ      สับเซตทั้งหมดของ Bได้แก่

                                Æ , {1} , {{2}} , {1,{2}}

 

สมบัติของสับเซต

1)      AÌA            (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)

2)      A Ì U          (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)

3)      Æ ÌA         (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)

4)      ถ้า AÌÆ แล้ว A = Æ

5)      ถ้า A Ì  B และ B Ì C แล้ว A Ì C  (สมบัติการถ่ายทอด)

6)      A = B   ก็ต่อเมื่อ A Ì  B และ B Ì A

7)      ถ้า A  มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2n สับเซต

สับเซตแท้

นิยาม            A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ  AÌB และ A ¹ B

ตัวอย่างที่ 14  กำหนดให้ A = { a , b , c }  จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

                วิธีทำ      สับเซตแท้ของ A ได้แก่

                                Æ , {a} , {b} ,{c} , {a,b} , {a ,c} , {b,c}

                                มีจำนวนสมาชิกทั้งสิ้น  7 สับเซต

                หมายเหตุ  ถ้า A  มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตแท้ของเซตA จะมีทั้งสิ้น 2n –1 สับเซต

              ตัวอย่างที่  15  กำหนดให้  A = { Æ , a , b ,{c} , {d , e}} จงพิจารณาข้อต่อไปนี้ข้อใดถูกข้อใดผิด

1)      Æ Î A

2)      Æ Ì A

3)      {Æ} Ì A

4)      {a} Ì A

5)      จำนวนสับเซตทั้งหมดของ A มีทั้งสิ้น  32 ตัว

วิธีทำ      1. Æ Î A            ถูกต้อง  เพราะในเซต A  มีสมาชิก 5 ตัว และ เป็นสมาชิกตัวหนึ่ง

2.  Æ Ì A           ถูกต้อง  สมบัติของสับเซต  เซตว่าง เป็นสับเซตของทุกเซต

3.  {Æ} Ì A      ถูกต้อง เพราะ Æ เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของ  A

4.  {a} Ì A          ถูกต้อง เพราะ a  เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของ  A

5.       จำนวนสับเซตทั้งหมด =  32 เซต ถูกต้อง เพราะ A มีสมาชิก  5  ตัว( 25 = 32 )

 

กิจกรรมที่ 1.2

  

 

คำชี้แจง     ให้นักเรียนใช้เวลาทำ 20 นาที แล้วอภิปรายร่วมกัน  และตรวจคำตอบ

1.       ข้อความต่อไปนี้ข้อใดถูก  และข้อใดผิด

..........................  1)  { 2 } Ì { 1 , 2 , 3 }

..........................  2)  5 Ì { 3 , 4 , 5 }

..........................  3)  Æ Ì { 0 }

..........................  4)  { 3 } Ì { 1 , 2 { 3 }}

..........................  5)  { a , b , c } Ì { a , b , c }

..........................  6)  {{ 5 }} Ì { 3 , 4 , { 5 }}

..........................  7)  Æ Ì { Æ }

..........................  8)  {{  }} Ì {  }

..........................  9)   A Ì { A }

..........................  10)  { 1 , 2 } เป็นสับเซตแท้ของ { 1 , 2 , 3 }

 

2.  ให้ A = { a,b,c }             B = { b,c,d }         C = { a,b,c,d }      D = { b,c,d,e }

      จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ถูก หรือ ผิด เพราะเหตุใด

1) AÌB =......................................................................................................................................

2) BÌC =......................................................................................................................................

3) BÌA =.....................................................................................................................................

4) CÌB =......................................................................................................................................

5) BÌD =......................................................................................................................................

6) CÌD =......................................................................................................................................

7) AÌD =......................................................................................................................................

8) AÌC =......................................................................................................................................

9) BÌB =......................................................................................................................................

10) AÌA =....................................................................................................................................

    

3.   จงหาจำนวนสับเซตของ A เมื่อ

1)      A มีสมาชิก 1 ตัว                  ..................................................

2)      A มีสมาชิก 2 ตัว                  ..................................................

3)      A มีสมาชิก 3 ตัว                  ..................................................

4)      A เป็นเซตว่าง                      ..................................................

5)      A มีสมาชิก n ตัว                  ..................................................

4. จงหาจำนวนสับเซตแท้ของ A เมื่อ

1)      A เป็นเซตว่าง                      ..................................................

2)      A มีสมาชิก 1 ตัว                  ..................................................

3)      A มีสมาชิก 2 ตัว                  ..................................................

4)      A มีสมาชิก 3 ตัว                  ..................................................

5)      A มีสมาชิก n ตัว                  ..................................................

เพาเวอร์เซต ( Power Set )

นิยาม      ถ้า A เป็นเซตใดๆ  เพาเวอร์เซตของเซต A คือเซตที่มีสมาชิกเป็นสับเซตทั้งหมด

ของ A แทนด้วย P(A)

P(A) = { x | x Ì A }

ตัวอย่างที่ 16  กำหนด A = { a , b , c }  จงหา P(A)

                วิธีทำ      P(A)  = { {a} , {b} ,{c} , {a,b} , {a ,c} , {b,c} , Æ }

ตัวอย่างที่ 17  กำหนด A = { Æ , {a}}  จงหา P(A)

                วิธีทำ      P(A)  = { {Æ} , {{a}} , {Æ ,{a}} ,Æ }

ตัวอย่างที่ 18  กำหนด B = { }  จงหา P(B)

                วิธีทำ      P(B)  = {{ }}

ตัวอย่างที่ 19  กำหนด A = {a}  จงหา P(P(A))  และ จำนวนสมาชิกของ P(P(P(A)))

                วิธีทำ      P(A)                        = {Æ ,{a}}  หรือ {Æ ,  A }

                                จำนวนสมาชิกของ   21 = 2 เซต

                                P(P(P(A)))           = {Æ ,{a} , {{a}} , {Æ, {a}}}  หรือ

                                                                = {Æ ,{a} , {{a}} , P(A) }

                                จำนวนสมาชิก = 2 2 = 4 เซต

                                จำนวนสมาชิกของ P(P(P(A))) = 24 = 16  เซต

                               

สมบัติของเพาเวอร์เซต

ให้ A , B เป็นเซตใดๆ

1)      Æ Î P(A)

2)      A Î P(A)

3)      P(A) ¹ Æ

4)      P(A) Ì P(B) ก็ต่อเมื่อ A Ì B

5)      ถ้า A  มีสมาชิก n ตัว P(A) จะมีสมาชิก 2n   ตัว

 

กิจกรรมที่ 1.2 (ต่อ)

   

 

1.  จงหาเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปนี้

1)      กำหนด A = { a }  จงหา P(A)

......................................................................................................................................................

2)      กำหนด B = { 5 , 3 }  จงหา P(B)

......................................................................................................................................................

 

3)      กำหนด C = { 2 , a , c }  จงหา P(C)

......................................................................................................................................................

 

4)      กำหนด D = { b , { 5 } }  จงหา P(D)

......................................................................................................................................................

 

5)      กำหนด E = { Æ }  จงหา P(E)

......................................................................................................................................................

        

แผนภาพของเวนน์ออยเลอร์

(Venn-Euler Diagram )

การเขียนแผนภาพเกี่ยวกับเรื่องเซต  นักคณิตศาตร์ 2 ท่านคือ จอห์น เวนน์ (John Venn) และ ลีอองฮาร์ดออยเลอร์ (Leohard Euuler ) เป็นผู้ริเริ่มใช้ก่อน  จึงนิยมเรียกแผนภาพที่แสดงเกี่ยวกับเรื่องเซตว่า แผนภาพของเวนน์ออยเลอร์

หลักการเขียนแผนภาพเวนน์ออยเลอร์

1.       ใช้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ U

2.       ใช้วงกลมหรือ วงรีหรือรูปปิดใดๆ  แทนเซตต่างๆ ที่เป็นสับเซตของ U

U

 

A

U

     

 

                         แผนภาพแสดงเอกภพสัมพัทธ์                               แผนภาพแสดงเซต A ซึ่งเป็นสับเซตของ U

U

 

    A                           B

U

 

A                             B

แผนภาพแสดงเซต A และ B ซึ่งมีสมาชิกซ้ำกันบ้างบางตัว ทั้ง A และ B ต่างก็เป็นสับเซตของเซต U

แผนภาพแสดงเซต A และ B ซึ่งไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย แต่ A และ B ต่างก็เป็นสับเซตของเซต U

     

 

               

 

  

B

A

U

A

B

U

     

 

                แผนภาพแสดงเซต A เป็นสับเซตของ B                                        แผนภาพแสดงเซต A = B

                (สมาชิกทุกตัวของ A เป็นของ B ด้วย )                                    (สมาชิกทุกตัวของ A และ B เหมือนกัน )

   

ตัวอย่างที่ 20 กำหนดให้

U = { 1 , 2 , 3 , … , 14 }                              A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 7 , 8 }

B = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9 }                             C = { 7 , 8 , 9 , 10 ,11 }                              D = { 10 }

จงเขียนแผนภาพแสดงเซตต่างๆ  ที่กำหนดให้

U

A

B

C

D

10

12

13

14

1

2                        

5

6                        

7

8

9

11

3

4         &nb

บันทึกนี้เขียนที่ GotoKnow โดย 

บันทึกก่อนนี้
บันทึกใหม่กว่า
· คำสำคัญ: สับเซต เพาเวอร์เซต 
· หมายเลขบันทึก: 113817 · เขียน:  
· ความเห็น:
18
 · อ่าน: แสดง
· สัญญาอนุญาต: สงวนสิทธิ์ทุกประการ
แจ้งลบ
แจ้งลบ
na
เขียนเมื่อ Fri Aug 17 2007 16:25:42 GMT+0700 (ICT)

หนูจะพยายามคะ

ซากุระ 11
IP: xxx.151.232.70
เขียนเมื่อ Wed Jun 11 2008 17:21:56 GMT+0700 (ICT)

ขอบคุณค่ะ อาจารย์กำลังให้หาอยู่พอดี เเต่จะมีข้อเสนอเเนะก็คือ บางครั้งเเต่ละที่ก็เขียนสมบัตฺของสัปเซต เเละเพาเว...ต่างกันน่ะคะ งง มากๆๆๆๆๆๆๆ

Aonnidaa
IP: xxx.123.199.207
เขียนเมื่อ Wed Apr 29 2009 21:47:38 GMT+0700 (ICT)

งง มากเรื่องนี้ ยิ่งเรียนและยิ่งมึน!

555555555555

ปลายปากกา
IP: xxx.174.105.63
เขียนเมื่อ Thu May 21 2009 19:26:14 GMT+0700 (ICT)

ดีมากครับกำลังงงอยู่พอดีขอบคุณครับ...........♥♥♥

fah
IP: xxx.128.39.147
เขียนเมื่อ Sun May 24 2009 19:20:57 GMT+0700 (ICT)

ขอบุณนะค่ะ

Or
IP: xxx.27.113.151
เขียนเมื่อ Sun Jun 07 2009 11:08:27 GMT+0700 (ICT)

คืออยากถามว่า A เป็นสับเซตของ P(A)รึเปล่าคะ

แตน
IP: xxx.173.114.16
เขียนเมื่อ Sun Jun 14 2009 14:46:45 GMT+0700 (ICT)

ครูผู้สอนโดยส่วนใหญ่จะมีเนื้อหาสอนนักเรียนอยู่แล้ว แต่สิ่งที่ขาดคือ แบบฝึกหัดที่หลากหลาย และครูผู้สอนส่วนใหญ่ก็มีหนังสือ มากมาย แต่ที่สำคัญคือ ความยากลำบากในการพิมพ์ วันนี้มีเข้ามาอ่านเนื้อหา และดีใจมากที่ที่นี้มีแบบฝึกด้วย ส่วนมากมีแต่เนื้อหา แบบฝึกมีน้อยมาก ในความคิดของแตน คิดว่า ใครก็ตามที่มีความสามารถ น่าจะช่วยรวบรวมแบบฝึกในเรื่องเซต ให้มากๆ เพื่อทำให้นักเรียนฝึกนะคะ คือหมายถึง โรงเรียนขนาดเล็ก ที่ไม่มีเทคโนโลยี นอกจาก กระดาษ ต้องการมาก

วิเชียรมาตุ
IP: xxx.53.9.87
เขียนเมื่อ Sun Jun 14 2009 15:14:37 GMT+0700 (ICT)

ง่ายจะตายไป

พลอย
IP: xxx.67.218.51
เขียนเมื่อ Fri Jun 19 2009 18:01:11 GMT+0700 (ICT)

เริ่มเข้าใจบ้างแล้วค่ะ แรกๆก็เรียนไม่ยากนะค่ะ

แต่หลังๆเริ่มมึนกับโจทย์

ดีดี
IP: xxx.155.226.231
เขียนเมื่อ Thu Jul 09 2009 20:59:22 GMT+0700 (ICT)

ตอนแรกๆก้อง่ายพักหลังนี้...มีแผนภาพแวนออยเลอร์ กะโจทย์

โอ๊ย กลุ้ม

ULTRAMAN
IP: xxx.172.122.203
เขียนเมื่อ Sat Nov 28 2009 16:15:58 GMT+0700 (ICT)

DDDDDDD^_^

ที่สุดเลยข๊ะ

THANK YOU

FROM YOU

อัชราพรรณ โฮมละคร
IP: xxx.172.132.177
เขียนเมื่อ Sun Nov 29 2009 12:53:47 GMT+0700 (ICT)

มีเเบบฝึกด้วยดีจัง

อรพิมย์ โยธา
IP: xxx.122.175.80
เขียนเมื่อ Tue Dec 08 2009 20:43:31 GMT+0700 (ICT)

ไม่เข้าใจเลยค่ะมีค่อยมีฟื้นฐานมาเรียนทีเดียวเลยงงๆ

2bath
IP: xxx.9.109.66
เขียนเมื่อ Wed Feb 03 2010 16:38:15 GMT+0700 (ICT)

งงงงง

ติดกานยาววววววว

supan
IP: xxx.28.68.202
เขียนเมื่อ Sat Jun 26 2010 12:29:05 GMT+0700 (ICT)

ดีมากครับ ถ้าผมได้ A ผมจะขอขอบคุณเป็นอย่างมวกครับขอบคุณครับ

เอ็ม
IP: xxx.49.205.33
เขียนเมื่อ Thu Sep 23 2010 18:19:53 GMT+0700 (ICT)

กำลังหาพอดีเลย ขอบคุนค่ะ

Bow
IP: xxx.122.196.39
เขียนเมื่อ Wed Jul 13 2011 17:02:56 GMT+0700 (ICT)

งงจังเลยค่ะ

ทำยังไงจะทำได้

tip
IP: xxx.93.133.101
เขียนเมื่อ Thu Aug 15 2013 17:26:14 GMT+0700 (ICT)

ดีที่สุดเลยเจ้า

อนุญาตให้แสดงความเห็นได้เฉพาะสมาชิก
ไม่อนุญาตให้แสดงความเห็น
{{ kv.current_user.preferred_name }} - เพิ่มความเห็นเพิ่มความเห็น
ใส่รูปหรือไฟล์